$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Conseils de rédaction pour vos textes mathématiques

Lorsqu'on rédige un texte mathématique (par exemple une copie de devoir, un mémoire, pourquoi pas un article...), un certain nombre de règles sont à respecter. Cette page en propose quelques-unes.

Un texte mathématique est d'abord un texte en langue française

Un texte mathématique doit respecter les règles de la langue française. Ainsi, une phrase commence par une majuscule et se termine par un point. On se doit de respecter les règles de grammaire, et aussi de ne pas faire de fautes d'orthographes, en particulier pour les termes qu'on utilise le plus souvent. Une liste de fautes d'orthographes courantes à éviter se situe plus loin. On évite aussi de commencer une phrase par un symbole mathématique.

Pour rendre la démarche plus claire, on n'hésite pas à annoncer ce que l'on désire faire, en mettant clairement en évidence les hypothèses et ce que l'on cherche à démontrer.

Par ailleurs, l'emploi de la 3ème personne du singulier (on) ou de la première personne du pluriel (nous) sont largement recommandés. On réserve le "je" à des remarques personnelles.

Il faut introduire tous les objets dont l'on parle

Lorsque on introduit un nouvel objet, il doit être explicitement déclaré et typé avant son introduction. Par exemple, la rédaction suivante est à proscrire :

On note $\mathcal P_n$ la propriété $$\mathcal P_n="1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2".$$

En effet, qui est ce $n$??? Il faut au contraire écrire : Soit $n\geq 1$ un entier. On note $\mathcal P_n$ la propriété etc... On écrira aussi par exemple :

  • Soit $z$ un nombre complexe non nul.
  • Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\mathbb R_+$ par $f(x)=3\sqrt x+7.$
  • Soit $f$ la fonction : $$\begin{array}{rcl} \mathbb R_+&\to&\mathbb R\\ x&\mapsto &3\sqrt{x}+7. \end{array} $$
On évite de mélanger du texte et des symboles

Dans un texte, on évite l'emploi de symboles mathématiques. En particulier, on n'emploie JAMAIS les symboles $\forall$ et $\exists$ dans une phrase rédigée en français. D'autres symboles sont tolérés, comme $\in,$ $\leq,$ les symboles désignant les ensembles ($\mathbb N$, $\mathbb Q,$...). Ainsi, il ne faut pas écrire :

$\forall m,n\in\mathbb Z,$ $m+n$ est un entier

mais plutôt

Pour tous $m,n\in\mathbb Z,$ $m+n$ est un entier.
On met en évidence les articulations logiques

Dans un texte mathématique, on met en valeur les articulations logiques entre les propositions. Pour cela, on utilise un des nombreux mots ou expressions de liaison offerts par le français : donc, par conséquent, or, puisque, mais, en outre,... On évite d'employer les symboles $\implies$ et $\iff$ et surtout on ne les mélange pas avec du texte en français.

Lorsqu'on passe d'une ligne à l'autre, on indique les propriétés utilisées. Par exemple, dans la résolution d'une inéquation, on écrit :

$$e^{3x+2}\geq e^{2x+1}\iff 3x+2\geq 2x+1$$ car la fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb R.$

Quand on applique un théorème, on vérifie les hypothèses une à une avant de donner la conclusion.

On réfléchit à la nature des objets utilisés

Lorsqu'on parle des propriétés d'un objet, on fait très attention à la nature de l'objet utilisé et au vocabulaire employé à propos de cet objet. Par exemple,

  • $f(x)$ n'est pas une fonction, mais un réel.
  • $u_n$ n'est pas une suite, mais un réel.
  • une fonction n'admet pas de solutions. En revanche, si $f$ est une fonction, on peut discuter des solutions de l'équation $f(x)=0$. De même, une fonction n'admet pas de tangente mais cela peut être le cas de sa courbe représentative.

Il faut aussi être vigilant dans l'utilisation des variables muettes. Lorsqu'une variable a été définie, elle ne peut plus être utilisée comme variable muette. Par exemple, la formulation suivante est interdite : pour tout $x\in\mathbb R,$ posons $$f(x)=\int_0^x \exp(-x^2)dx.$$

Une propriété doit être contextualisée

Certaines propriétés n'ont pas de sens si on ne précise pas où elles sont vérifiées. Par exemple, dire qu'une fonction est croissante n'a pas de sens. Il faut dire qu'elle est croissante sur un certain intervalle. Cela est valable pour de nombreuses autres propriétés, comme la convergence normale, etc...

Quelques autres conseils divers
  • on n'écrit pas le symbole $\lim$ avant d'avoir prouvé l'existence de la limite.
  • la phrase "La fonction $\exp(x)\sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb R$" n'est pas correcte, car $\exp(x)\sin(x)$ ne désigne pas une fonction (qui est ce $x$ d'ailleurs?). On peut écrire la fonction $\exp\cdot\sin$ est dérivable sur $\mathbb R$, ou la fonction $x\mapsto \exp(x)\sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb R.$
  • lors de la résolution d'un système linéaire, on numérote les lignes et on indique les opérations que l'on effectue à chaque équivalence.
  • lorsqu'on étudie la série de terme général $(u_n)_{n\geq 0}$ les symboles $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ et $\sum_{n\geq 0}u_n$ ont des significations précises. La notation $\sum_{n\geq 0}u_n$ désigne la série de terme général $u_n$ qui peut ou non converger. Si on introduit pour tout $n\geq 0$ la $n$-ème somme partielle $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$, alors $\sum_{n\geq 0}u_n$ est le même objet que la suite des sommes partielles $(S_n)_{n\geq 0}$. Lorsque la série converge, la notation $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ désigne la somme de la série, c'est-à-dire que $$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Si la série est à termes positifs (et seulement dans ce cas-là), il est toléré d'écrire $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n<+\infty$ pour exprimer que la série est convergente. Pour une série qui n'est pas à termes positifs, on n'écrira JAMAIS $$\left|\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right|<+\infty.$$ Si on veut prouver la convergence absolue, on travaille directement sur le module du terme général $|u_n|$.
  • lorsqu'on étudie une intégrale impropre $\int_a^b f(t)dt$, la notation $\int_a^b f(t)dt$ est ambigüe : elle désigne à la fois le problème de convergence de l'intégrale (est-ce que $X\mapsto \int_a^X f(t)dt$ admet une limite lorsque $X$ tend vers $b$) et la valeur de la limite si l'intégrale converge. Comme pour les séries, lorsque $f$ est à valeurs positives, on pourra écrire $\int_a^b f(t)dt<+\infty$ pour exprimer que l'intégrale est convergente, mais on n'écrira jamais $\left|\int_a^b f(t)dt\right|<+\infty$ si $f$ n'est pas positive. Si on veut prouver la convergence absolue, on travaillera directement avec $|f(t)|$.
Quelques fautes d'orthographe à éviter

Voici une liste de quelques fautes d'orthographe courantes et agaçantes dans les copies :

  • il faut prendre garde à la conjugaison du verbe résoudre (on écrit on résout);
  • hypoténuse ne prend pas de h après le t;
  • longueur n'a pas de e final;
  • inclus se termine par un s;
  • Bernoulli ne comporte pas de i au milieu (moyen mnémotechnique : Bernoulli n'est pas une nouille!);
  • le verbe s'annuler ne comporte qu'un l (mais bien deux n);