Exercices corrigés - Exercices d'oraux Mines / Ponts PSI

1. On peut bien sûr supposer $R>0$ et $R'>0.$ D'après la définition du rayon de convergence, on sait que \begin{align*} R&=\sup\{x\geq 0:\ (|a_n|x^n)\textrm{ est bornée}\}\\ R'&=\sup\{y\geq 0:\ (|a_n^{-1}|y^n)\textrm{ est bornée}\}. \end{align*} En particulier, si $x\in]0,R[$ et si $y\in ]0,R'[,$ on a $(|a_n|x^n)$ et $(|a_n^{-1}|y^n)$ bornées.
   On fait un raisonnement par l'absurde et on suppose que $RR'>1.$ Alors il existe $x\in ]0,R[$ et $y\in ]0,R'[$ tel que $x y>1.$ Pour tout $n\in\mathbb N,$ on écrit $$|a_n|x^n\times \frac1{|a_n|}y^n =(x y)^n.$$ Étant le produit de deux suites bornées, la suite $((xy)^n)$ est bornée. Mais ceci contredit que $xy>1.$
2. Si on cherche un exemple classique, pour lequel le rayon de convergence n'est pas $+\infty,$ on trouve $R=R'=1$ (par exemple $\sum z_n$ ou $\sum_n nz^n$...). Ceci nous invite à chercher un exemple où ce qui se passe sur les termes pairs et impairs va être différent. Posons $a_{2n}=2^n$ et $a_{2n+1}=1.$ Alors la suite $(a_nx^n)$ est bornée si et seulement si la suite $(2^n x^{2n})$ est bornée, donc si et seulement $|x|\leq\frac1{\sqrt 2}$. On a donc $R=1/\sqrt 2.$ D'autre part, on a $a_{2n}^{-1}=2^{-n}$ et $a_{2n+1}^{-1}=1.$ La suite $(|a_n^{-1}|y^n)$ est donc bornée si et seulement si $|y|\leq 1$ et donc $R'=1.$ Ainsi, $RR'=1/\sqrt 2<1.$
3. Puisque $R=+\infty$, la suite $(a_nx^n)$ est bornée pour tout $x>0.$ Si $R'>0,$ alors il existe $y>0$ tel que la suite $(a_n^{-1} y^n)$ est bornée. Ainsi, toujours en effectuant le produit de ces deux suites, on obtient que la suite $((xy)^n)$ est bornée, et ceci pour tout $x>0$. Choisissant $x=2/y,$ on obtient une contradiction.

On va raisonner par analyse-synthèse. Supposons d'abord que $x\mapsto 1/\cos(x)$ est développable en série entière en $0.$ Soit $R>0$ son rayon de convergence et soit $(b_k)_{k\in\mathbb N}$ une suite de nombres réels telle que, pour tout $x\in]-R,R[,$ $$\frac 1{\cos(x)}=\sum_{k=0}^{+\infty} b_{k}x^{2k}$$ (par parité, on n'a que des termes d'ordre pair). On sait aussi que, pour tout $x\in\mathbb R,$ on a $$\cos(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}.$$ Par le théorème concernant le produit de deux séries, on sait que pour tout $x\in]-R,R[,$ $$\cos(x)\times\frac 1{\cos(x)}=\sum_{n=0}^{+\infty}c_{n}x^{2n}$$ où, pour tout $n\geq 0,$ $c_{n}$ est défini par $$c_{n}=\sum_{k=0}^n b_{{n-k}}\frac{(-1)^k}{(2k)!}.$$ Par unicité, on sait que $c_0=1$ et que, pour tout $n\geq 1,$ $c_n=0.$ On obtient donc, pour $n=0,$ $b_0=1$ et, pour tout $n\geq 1,$ $$b_{n}=-\sum_{k=1}^n b_{{n-k}}\frac{(-1)^k}{(2k)!}.$$ Réciproquement, soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et pour $n\geq 1,$ $b_n=-\sum_{k=1}^n b_{{n-k}}\frac{(-1)^k}{(2k)!}.$ On va démontrer que la série entière $\sum_{n}b_n x^{2n}$ a un rayon de convergence strictement positif. Pour cela, on va essayer de majorer $|b_n|.$ Pour conjecturer un majorant possible, on remarque que $b_0=1,$ $b_1=1/2,$ $b_2=5/24$. On va démontrer par récurrence sur $n\geq 0$ que $|b_n|\leq 1$ pour tout $n\in\mathbb N.$ La propriété est vraie pour $n=0$ et si elle est vraie au rang $n-1,$ pour $n\geq 1,$ alors $$|b_n|\leq \sum_{k=1}^{n-1}\frac{|b_{n-k}|}{(2k)!}\leq \sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{(2k)!}= \textrm{cosh}(1)-1\leq 1.$$ Ainsi, la série $\sum_n b_n x^n$ a pour rayon de convergence $R\geq 1$. En notant $f$ sa somme et en remontant les calculs de l'analyse, on obtient que pour tout $x\in]-1,1[$, $\cos(x) f(x)=1,$ et donc $1/\cos(x)=f(x)$ si $x\in]-1,1[.$ La fonction $x\mapsto 1/\cos(x)$ est donc développable en série entière en $0$.

1. On écrit $$f_{a,b,c}(t)=a\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}e^t\\-e^t\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}e^{-t}\\0\\e^{-t}\end{pmatrix}=aU(t)+bV(t)+cW(t).$$ Ainsi, $F=\textrm{vect}(U,V,W)$ est un espace vectoriel. On va ensuite vérifier que la famille $(U,V,W)$ est libre. Si $aU+bV+cW=0,$ alors pour tout $t\in \mathbb R,$ on a $be^t+ce^{-t}=0.$ Faisant tendre $t$ vers $+\infty$ puis vers $-\infty,$ on trouve $b=c=0.$ On en déduit que $a=0,$ par exemple en étudiant la troisième coordonnée de $f_{a,b,c}.$ Ainsi, $(U,V,W)$ est une base de $F$ et $\dim(F)=3.$
2. On va utiliser le résultat suivant : si $M$ est diagonalisable, $(u_1,u_2,u_3)$ une base de vecteurs propres associés aux valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,$ alors les solutions de l'équation $X'=MX$ sont les fonctions $X(t)=ae^{\lambda_1 t}u_1+be^{\lambda_2 t}u_2+ce^{\lambda_3 t}u_3.$ Il est donc naturel ici de choisir $\lambda_1=0,$ $\lambda_2=1,$ $\lambda_3=-1$ et $$u_1= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix},\ u_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\ u_3=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.$$ Nous posons donc $$P=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&0\\1&0&1\end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix},\ M=PDP^{-1}.$$ Ceci a un sens, car il est facile de vérifier que $P$ est inversible. Alors $M$ est diagonalisable, $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de vecteurs propres associés aux valeurs propres $0,1,-1$ et donc l'ensemble des solutions de $X'=MX$ est exactement $F.$