Corrigé 
On va noter $q=1-p$. On commence par remarquer que $Z$ prend ses valeurs dans $\mathbb N.$
On a $Z=0$ si et seulement $X=Y$ et donc
\begin{align*}
P(Z=0)&=P(X=Y)\\
&=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k,Y=k)\\
&=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)P(Y=k)\\
&=\sum_{k=1}^{+\infty}q^{2k-2}p^2\\
&=p^2\sum_{k=0}^{+\infty}q^{2k}\\
&=\frac{p^2}{1-q^2}.
\end{align*}
De la même façon, pour $k>0,$ on a
$$Z=k\iff \exists \ell\geq 1,\ (X=\ell\textrm{ et }Y=k+\ell)\textrm{ ou }(Y=\ell\textrm{ et }X=k+\ell).$$
On en déduit
\begin{align*}
P(Z=k)&=\sum_{\ell=1}^{+\infty}\big(P(X=\ell,Y=k+\ell)+P(X=k+\ell,Y=\ell)\big)\\
&=2\sum_{l=1}^{+\infty} q^{\ell-1}q^{k+\ell-1}p^2\\
&=2p^2 q^k\sum_{\ell=1}^{+\infty}q^{2\ell-2}\\
&=\frac{2p^2q^k}{1-q^2}.
\end{align*}
On en déduit que
\begin{align*}
E(Z)&=\frac{2p^2}{1-q^2}\sum_{k=1}^{+\infty}kq^k\\
&=\frac{2p^2}{1-q^2}\times \frac{q}{(1-q)^2}\\
&=\frac{2q}{1-q^2}.
\end{align*}
