Exercices corrigés - Nombres complexes : différentes écritures

Donner la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué des nombres complexes suivants : $$ \begin{array}{lllll} z_1=-2i+5&\quad&z_2=15&\quad&z_3=3i\\ z_4=i(2+3i) \end{array}$$

Exercice 2 - Forme algébrique - Somme et produits ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z_1=(2+5i)+(i+3)&\quad \mathbf{2.}\ z_2=4(-2+3i)+3(-5-8i)&\quad\mathbf{3.}\ z_3=(2-i)(3+8i)\\ \displaystyle\mathbf{4.}\ z_4=(1-i)\overline{(1+i)}&\quad\mathbf{5.}\ z_5=i(1-3i)^2& \quad\mathbf{6.}\ z_6=(1+i)^3 \end{array} $$ Attention! Il y a un symbole de conjugaison dans $z_4$.

Exercice 3 - Forme algébrique - quotients ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z_1=\frac1{1+i}&\quad{\mathbf 2.}\ z_2=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}& \quad\mathbf{3.}\ z_3=\frac{1-2i}{3+i}\\ \displaystyle{\mathbf 4.}\ z_4=\frac{(3+5i)^2}{1-2i}&\displaystyle\quad{\mathbf 5.}\ z_5=\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2+\frac{3+6i}{3-4i}\\ \end{array} $$

Exercice 4 - Avec la formule du binôme ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Simplifier les nombres complexes suivants : $(1+i)^5$, $(1-i)^4$.

Exercice 5 - Calculs avec des conjugués ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $z$ un nombre complexe non nul, de forme algébrique $z=x+iy$. Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z_1=\frac{\overline z}{z}&\quad\mathbf{2.}\ z_2=\frac{iz}{\overline z}. \end{array}$$

Exercice 6 - Équations du premier degré ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $z\in\mathbb C$ : $$ \begin{array}{lll} {\mathbf 1.}\ z+2i=iz-1&\quad&{\mathbf 2.}\ (3+2i)(z-1)=i\\ {\mathbf 3.}\ (2-i)z+1=(3+2i)z-i&\quad&{\mathbf 4.}\ (4-2i)z^2=(1+5i)z. \end{array}$$ On écrira les solutions sous forme algébrique.

Exercice 7 - Équations avec des conjuguées. ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Résoudre les équations suivantes : $$ \begin{array}{lll} \displaystyle{\mathbf 1.}\ 2z+i=\overline z+1&\displaystyle{\mathbf 2.}\ 2z+\overline z=2+3i&\displaystyle{\mathbf 3.}\ 2z+2\overline z=2+3i. \end{array}$$

Exercice 8 - ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Résoudre les systèmes suivants, d'inconnues les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2z_1-z_2&=&i\\ -2z_1+3iz_2&=&-17 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{rcl} 3iz_1+iz_2&=&i+7\\ iz_1+2z_2&=&11i \end{array}\right.$$

On donnera les résultats sous forme algébrique.

Exercice 9 - Entiers de Gauss ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On appelle ensemble des entiers de Gauss noté $\mathbb Z[i]$ l'ensemble des nombres complexes qui s'écrivent $a+ib$, avec $a$ et $b\in\mathbb Z.$

Soit $z$ et $z'$ deux entiers de Gauss. Démontrer que $z-z'$ et $zz'$ sont des entiers de Gauss.
Pour tout nombre complexe $z$, on note $N(z)=z\bar z.$
1. Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $N(z)N(z')=N(zz').$
2. Démontrer que, pour tout entier de Gauss $z$, $N(z)$ est un entier naturel.
3. Soit $z$ un entier de Gauss non nul tel que $1/z$ est un entier de Gauss. Démontrer que $N(z)=1$.
4. Déterminer l'ensemble des entiers de Gauss tels que $1/z$ est un entier de Gauss.

Exercice 10 - Déterminer des fonctions complexes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On se propose dans cet exercice de déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb C\to\mathbb C$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

$\forall z\in\mathbb R$, $f(z)=z$.
$\forall (z,z')\in\mathbb C^2$, $f(z+z')=f(z)+f(z')$.
$\forall (z,z')\in\mathbb C^2$, $f(z\times z')=f(z)\times f(z')$.

Vérifier que les fonctions définies par $f(z)=z$ et $f(z)=\bar z$ sont solutions du problème.
Réciproquement soit $f$ une fonction du problème.
1. Démontrer que $f(i)=i$ ou $f(i)=-i$.
2. On suppose que $f(i)=i$. Démontrer que, pour tout $z\in\mathbb C$, $f(z)=z$.
3. On suppose que $f(i)=-i$. Démontrer que, pour tout $z\in\mathbb C$, $f(z)=\bar z$.
Qu'a-t-on démontré dans cet exercice?

Exercice 11 - Forme exponentielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} {\mathbf 1.}\ z_1=1+i\sqrt 3&\quad\mathbf 2.\ z_2=9i&\quad{\mathbf 3.}\ z_3=-3\\ \displaystyle{\mathbf 4.}\ z_4=\frac{-i\sqrt 2}{1+i}&\displaystyle \quad\mathbf{5.}\ z_5=\frac{(1+i\sqrt 3)^3}{(1-i)^5}&\quad{\mathbf 6.}\ z_6=\sin x+i\cos x. \end{array} $$

Exercice 12 - Forme exponentielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}},\;z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}},\;z_3=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_1z_2$, $\frac{z_1z_2}{z_3}$.

Exercice 13 - Module, argument et opérations ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in\mathbb R$. Soit $n$ un entier naturel non nul. Donner le module et un argument des nombres complexes suivants : $$z^2,\ \overline{z},\ \frac 1z,\ -z,\ z^n.$$

Exercice 14 - Les deux à la fois - avec application ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On considère les nombres complexes suivants : $$z_1=1+i\sqrt 3,\ z_2=1+i\textrm{ et }z_3=\frac{z_1}{z_2}.$$

Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$.

Exercice 15 - Forme algébrique, le retour ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $$\mathbf 1. z_1=(2+2i)^6\quad \mathbf 2. z_2=\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}\quad\mathbf 3. z_3=\frac{(1+i)^{2000}}{(i-\sqrt 3)^{1000}}.$$

Exercice 16 - Identité du parallélogramme ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Démontrer que $$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2).$$

Exercice 17 - Exponentielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Résoudre l'équation $e^z=3\sqrt 3-3i$.

Exercice 18 - Réel positif ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Trouver les entiers $n\in\mathbb N$ tels que $(1+i\sqrt 3)^n$ soit un réel positif.

Exercice 19 - Formule d'Euler ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Donner l'écriture exponentielle du nombre complexe suivant : \begin{equation*} \frac{1-e^{i\frac{\pi}{3}}}{1+e^{i\frac{\pi}{3}}}. \end{equation*}

Exercice 20 - Forme exponentielle et formule d'Euler ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $a,b\in]0,\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$\mathbf 1.\ z_1=1+e^{ia}\quad \mathbf 2.\ z_2=1-e^{ia}\quad \mathbf 3.\ z_3=e^{ia}+e^{ib}\quad \mathbf 4. z_4=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$

Exercice 21 - Transformation de Cayley ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module 1 tels que $zz'\neq -1$. Démontrer que $\frac{z+z'}{1+zz'}$ est réel, et préciser son module.

Exercice 22 - Une inégalité sur les modules ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $Z$ un nombre complexe. Démontrer que $$1+|Z|^2+2\Re e(Z)\geq 0.$$
Soit $z$ et $w$ deux nombres complexes. Démontrer que l'on a $$|z-w|^2\leq (1+|z|^2)(1+|w|^2).$$

Exercice 23 - Le même module ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer les nombres complexes non nuls $z$ tels que $z$, $\frac 1z$ et $1-z$ aient le même module.

Exercice 24 - Homographie ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $z$ un nombre complexe, $z\neq 1$. Démontrer que : $$|z|=1\iff \frac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R.$$

Exercice 25 - Sommes d'arctan ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Quelle est la forme algébrique de $(1+i)(1+2i)(1+3i)$?
En déduire la valeur de $\arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(3)$.

Exercice 26 - Homographie du cercle unité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $U=\left\{z\in\mathbb C:\ |z|=1\right\}$ le cercle unité et soit $a\notin U$. Démontrer que $f_a(z)=\frac{z+a}{1+\bar a z}$ définit une bijection de $U$ sur lui-même et donner l'expression de $f_a^{-1}$.

Exercice 27 - Module de la somme et de la différence ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $z=\rho e^{i\theta}$ et $z'=\rho'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que $$|z+z'|=|z-z'|\Longleftrightarrow{\theta'=\theta+\frac{\pi}{2}[\pi]}.$$

Exercice 28 - Un ensemble de complexes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On rappelle que $j=e^{2i\pi/3}.$ On note $E=\{z\in\mathbb C:\ \exists(a,b)\in\mathbb Z^2,\ z=a+jb\}.$

Soit $z=a+jb\in E$, avec $(a,b)\in\mathbb Z^2.$ Montrer que $|z|=1$ si et seulement si $$(2a-b)^2+3b^2=4.$$
En déduire explicitement tous les éléments de $U=\{z\in E:\ |z|=1\}$ en fonction de $1$, de $-1$, de $j$ et $-j.$

Exercice 29 - Entiers somme de deux carrés ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.

Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.
On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?
En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.
Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.

Exercice 30 - Automorphisme du disque ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $a$ un complexe de module $|a|<1$.

Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $1-\bar a z\neq 0$, $$1-\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\bar a z|^2}.$$
Déterminer les nombres complexes $z$ vérifiant $\displaystyle \left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\leq 1.$

Exercice 31 - Inégalité triangulaire itérée, et cas d'égalité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Justifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a $\Re e(z)\leq |z|$. Dans quel cas a-t-on égalité?
Démontrer que pour tout couple $(z_1,z_2)$ de nombres complexes, on a $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$.
On suppose de plus que $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes non nuls. Justifier que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que $z_2=\lambda z_1$.
Démontrer que pour tout $n$-uplet $(z_1,\dots,z_n)$ de nombres complexes, on a $$|z_1+\cdots+z_n|\leq |z_1|+\cdots+|z_n|.$$
Démontrer que si $z_1,\dots,z_n$ sont tous non nuls, alors l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si il existe des réels positifs $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tels que, pour tout $k=1,\dots,n$, on a $z_k=\lambda_k z_1$.

Écrivons le nombre complexe $z$ sous la forme $z=x+iy$. Alors on a $$\textrm{Re}(z)\leq |\textrm{Re}(z)|=|x|= \sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2 +y^2},$$ la dernière inégalité étant une conséquence de la croissance de la fonction racine carrée. Pour déterminer les cas d'égalité, la méthode est simple : on repère toutes les inégalités utilisées, et on aura égalité si et seulement si ces inégalités sont des égalités. Ici, les deux inégalités utilisées sont $\textrm{Re}(z)\leq |\textrm{Re}(z)|$ et $\sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}$. On a donc égalité si et seulement si $|x|=x$ et $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2}$, c'est-à-dire si et seulement si $x\geq 0$ et $y=0$. On a donc égalité si et seulement si $z$ est un réel positif ou nul.
C'est une question de cours! Quand on travaille avec des modules, on a tout intérêt à se souvenir que ce qui est facile à calculer, c'est le carré du module. Tout étant positif, il suffit ici de démontrer que $|z_1+z_2|^2\leq (|z_1|+|z_2|)^2$. Mais on a \begin{eqnarray*} |z_1+z_2|^2&=&(z_1+z_2)\times\overline{(z_1+z_2)}\\ &=&|z_1|^2+|z_2|^2+z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}\\ &=&|z_1|^2+|z_2|^2+2\textrm{Re}(\bar{z_1}z_2),\\ (|z_1|+|z_2|)^2&=&|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|. \end{eqnarray*} On conclut en appliquant le résultat de la première question à $z=\bar{z_1}z_2$, puisque $|z_1z_2|=|\bar{z_1}z_2|$.
C'est une question nettement plus difficile. On étudie la preuve de la question précédente pour savoir où on a utilisé des inégalités plutôt que des égalités. La seule inégalité utilisée est $\textrm{Re}(\bar{z_1}z_2)\leq |\overline{z_1}z_2|$. D'après le résultat de la question A.I.1., on a égalité si et seulement si $\bar z_1z_2$ est un réel positif ou nul. Puisque $z_1,z_2$ ne sont pas nuls, on a égalité si et seulement s'il existe $\mu>0$ tel que $\overline{z_1}z_2=\mu$. Il faut maintenant passer au résultat demandé. Pour cela, on peut aussi écrire $z_1=re^{i\theta}$ de sorte que $\bar{z_1}=re^{-i\theta}$ ce qui entraine encore que $$\frac{1}{\bar z_1}=\frac 1r e^{i\theta}=\frac1{r^2}z_1.$$ Ainsi, on a démontré qu'on avait égalité si et seulement s'il existe $\mu>0$ tel que $$z_2=\frac{\mu}{r^2}z_1.$$ Posant $\lambda=\mu/r^2$, on obtient le résultat. Il s'interprète en disant que $z_1$ et $z_2$ ont le même argument modulo $2\pi$.
On va procéder par récurrence. Pour $n\geq 1$, considérons $\mathcal P(n)$ la propriété suivante : $$"\forall z_1,\dots,z_n\in\mathbb C,\ |z_1+\dots+z_n|\leq |z_1|+\dots+|z_n|."$$ La propriété $\mathcal P(1)$ est trivialement vraie et la propriété $\mathcal P(2)$ a été vérifiée lors d'une question précédente. Soit $n\geq 2$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie et prouvons $\mathcal P(n+1)$. Soit $z_1,\dots,z_{n+1}$ des nombres complexes et posons $Z_1=z_1+\dots+z_n$, $Z_2=z_{n+1}$. Puisque $\mathcal P(2)$ est vraie, on sait que $$\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=|Z_1+Z_2|\leq |Z_1|+|Z_2|.$$ On utilise maintenant $\mathcal P(n)$ pour trouver que $$|Z_1|\leq \sum_{k=1}^n |z_k|.$$ On a donc bien prouvé $\mathcal P(n+1)$ et par le principe de récurrence, le résultat est démontré pour tout entier $n$.
Là encore, une récurrence s'impose et là encore, elle est un peu délicate. L'hypothèse de récurrence $\mathcal P(n)$ est cette fois : $$"\forall z_1,\dots,z_n\in\mathbb C^*,\ \left|\sum_{k+1}^n z_k\right|=\sum_{k=1}^n |z_k|\iff \forall k\in\{1,\dots,n\},\ \exists \lambda_k\in\mathbb R_+,\ z_k=\lambda_k z_1."$$ L'initialisation $\mathcal P(1)$, $\mathcal P(2)$ ne pose pas de problèmes. Soit $n\geq 2$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie et prouvons $\mathcal P(n+1)$. Comme précédemment, considérons $z_1,\dots,z_{n+1}$ des nombres complexes non-nuls et posons $Z_1=z_1+\dots+z_n$, $Z_2=z_{n+1}$. De la chaine d'inégalités $$\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=|Z_1+Z_2|\leq |Z_1|+|Z_2|\leq \sum_{k=1}^n |z_k|+|z_{n+1}|=\sum_{k=1}^{n+1}|z_k|,$$ on déduit que l'on a égalité si et seulement si $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ et $\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=\sum_{k=1}^n |z_k|$. Ici, il faut faire attention! On ne peut pas directement appliquer $\mathcal P(2)$ à $|Z_1+Z_2|$ car pour le moment, rien ne nous dit que $Z_1\neq 0$. On commence donc par appliquer $\mathcal P(n)$ à $\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=\sum_{k=1}^n |z_k|$ pour en déduire que, pour $k=1,\dots,n$, il existe $\lambda_k\in\mathbb R_+$ tel que $z_k=\lambda_k z_1$. On en déduit que $Z_1=(1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)z_1$ est non-nul, et on peut donc appliquer $\mathcal P(2)$ à $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$. Il existe donc $\mu\in\mathbb R_+$ tel que $z_{n+1}=\mu Z_1$. Posant $\lambda_{n+1}=\mu(1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)$, on en déduit que $\mathcal P(n+1)$ est vraie. Il reste à écrire la conclusion du raisonnement par récurrence.

Exercice 32 - Égalité dans l'inégalité triangulaire ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $z_1,\dots,z_n$ des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $$|z_1+\dots+z_n|=|z_1|+\dots+|z_n|.$$

Exercice 33 - Sommes des modules et module d'une somme extraite (d'après oral X/ENS) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $n\geq 1$ et $z_1,\dots,z_n$ des nombres complexes non nuls. Démontrer qu'il existe $I\subset\{1,\dots,n\}$ tel que $$\left|\sum_{i\in I}z_i\right|\geq \frac{1}{4\sqrt 2}\sum_{i=1}^n |z_i|.$$