Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tina

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Re : distributions à support compact

Mais, la première partie du théorème dit que tout $T \in \mathcal{E}'$ est d'ordre fini, donc $m$ doit être indépendant de $K$. Que faire dans ce cas?

Yassine

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Re : distributions à support compact

Je reviens d'abord sur la réponse "$p$ depend de $K$", qui, même si c'est correct, n'a en réalité pas beaucoup de sens. Je donne un exemple :
$\forall x, \exists y, \exists z Prop(x,y,z)$ où $Prop(x,y,z)$ est une propriété quelconque. Ici, se poser la question "est-ce que $z$ dépend de $y$ n'a pas beaucoup de sens. La seule affirmation correcte est que $y$ et $z$ dépendent de $x$ (c'est $x$ qui peut "varier").
D'ailleurs, l'assertion en question s'écrir également de manière équivalente comme  $\forall x, \exists z, \exists y Prop(x,y,z)$ (inversion $y$ et $z$) : la règle étant, si tu as deux quantificateurs de même nature qui se suivent, tu peux échanger l'ordre $\forall x\forall y$ et la même chose que $\forall y\forall x$, idem avec $\exists$. Par contre, si les quantificateurs sont différents, tu ne peux pas le faire : $\forall x\exists y$ et complètement différent de $\exists y \forall x$

Il est donc absolument important que tu fasses attention aux quantificateurs des différentes assertions que tu écris.

Ce qu'on vient de montrer, c'est la propriété suivante :
(a) $\forall T \in \mathcal{E}', \exists K \subset \subset \Omega, \exists p \in \mathbb{N}, \exists C \in \mathbb{R}_+, \forall f  \in C^\infty(\Omega), |\langle T,f\rangle| \le C P_{K,p}(f)$
où je note $K \subset \subset \Omega$ pour "$K$ compact inclut dans $\Omega$".
Il faut bien noter les quantificateurs de $K$, $p$ et $C$ et il faut également noter que la fonction $f$ est dans $C^\infty(\Omega)$ (elle n'est pas forcément à support compact).

Pour l'ordre de la distribution, tu dois montrer autre chose :
(b) $\forall T \in \mathcal{E}', \exists p \in \mathbb{N}, \forall L \subset \subset \Omega, \exists C \in \mathbb{R}_+, \forall \varphi  \in \mathcal{D}_L(\Omega), |\langle T,f\rangle| \le C P_{L,p}(\varphi)$

Cette assertion est complètement différente, les quantificateurs sont différents (pour le compact que j'ai noté $L$ pour plus de clarté), et la fonction $\varphi$ est a support compact dans $L$.

Bien sûr, ce que ton cours te dit, c'est que (a) $\implies$ (b).

J'anticipe ta question suivante : comment on fait pour démontrer ça
Je réponds : travaille un peu !!