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#27 29-11-2016 18:46:40
- Yassine
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Re : autre équation dans D'
Une notation plus compacte serait
$\displaystyle \langle vp^+ \dfrac{1}{x}, \varphi \rangle = \displaystyle\int_{\rm{supp}(\varphi)}\dfrac{\varphi(x)- \varphi(0)}{x} dx$
On sait que $x\rm{vp}\dfrac{1}{x} = 1$, je voulais donc m'inspirer de ça, vue que Heaviside est en quelque sort $1^+$, pour avoir $x\rm{vp}^+\dfrac{1}{x} = 1^+$.
Mais bon tu peux oublier cette notation qui est personnelle.
L'essentiel est que tu vois comment le choix de $\psi$ intervient dans le résultat :
$\displaystyle \langle G_\psi, \varphi\rangle = \int_{\rm{supp}(\varphi)}\dfrac{\varphi(x)- \varphi(0)}{x} dx - C_\psi\langle \delta, \varphi\rangle$
avec $\displaystyle C_\psi = \int_{\rm{supp}(\psi)} \dfrac{\psi(x) - \psi(0)}{x}dx$.
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#29 29-11-2016 20:12:41
- Yassine
- Membre
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Re : autre équation dans D'
On ne peut pas calculer cette quantité car $\displaystyle \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}$ n'est pas une fonction test.
Ce que l'exercice nécessite de calculer, c'est $\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle$.
Je note $K=\rm{supp}(\varphi - \varphi(0)\psi) \cap \mathbb{R}^+$
A noter que le support de $\psi$ est fixe. On peut également le choisir, mettons $[-2,2]$ (je rappelle que j'ai choisi que $\psi([-1,1])=\{1\}$. Dans ce cas, l'expression de $K$ devient simplement $K=\rm{supp} \cap [0,2]$.
Alors :
$\displaystyle \langle H, \dfrac{\varphi - \varphi(0)\psi}{x}\rangle = \int_K \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)\psi(x)}{x}dx$
--EDIT--
J'ai fait une erreur avec l'écriture $C_\psi$. En réalité, elle dépend de $\varphi$ au travers du support $K$. Mais ce n'est pas un point important.
Ce qu'il faut retenir, c'est qu'avec la seule donnée $g=H$, on ne peut pas calculer $\langle T,\varphi \rangle$. C'est un peu comme pour les fonctions, si je donne $f' = 1$, on ne pourra pas calculer $f(0)$, il faut une condition supplémentaire sur $f$.
Si $T$ satisfait $xT=H$, alors $L=T+5\delta$ également et on a $\langle L,\varphi \rangle = \langle T,\varphi \rangle + 5\varphi(0)$ et il n'y a pas de raison de dire que c'est $L$ ou $T$ la "bonne" solution. Il faudra une condition supplémentaire sur $T$, et c'est ça qui enlèvera le semblant d'"aléatoire" qui semble entourer le choix de $\psi$.
Dernière modification par Yassine (30-11-2016 10:16:03)
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