Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

yoshi · 26-07-2014 15:36:51

Salut,

Oui, ce test de la bissectrice n'est pas connu et bien pratique...

Je suis bien conscient que c'est très long : dès que j'aurais assez de temps, je chercherai à créer un autre module de recherche des points.
La seule solution que j'aie vu pour l'instant : réduire l'écart entre minp et maxp et procéder par petites tranches...

@+

0^0 · 26-07-2014 15:37:40

Bonjour,

yoshi a écrit :

Tu commences à bidouiller?

Je bidouille oui, c'est le mot approprié...

yoshi a écrit :

Bon, Ma conjecture démolie. Ma foi, tant pis...

J'en suis bien désolé! J'aurais bien aimé qu'elle soit vraie tu sais...

Cela dit, il reste troublant que 'Périmètre = 520: 150 - 150 - 220 --- 81 - 147 - 81' soit le seul contre-exemple à apparaître!

(J'ai pour le moment testé jusqu'à Périmètre = 620.... l'exécution du programme prend beaucoup de temps....)

Sinon, le raisonnement, les démonstrations et les calculs que tu exposes me semblent tout à fait corrects!

Je retiens la propriété que si par exemple (AD) est la bissectrice de [tex]\widehat{BAC}[/tex], alors [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}[/tex]

Cela me donne une idée pour en trouver des exemples possibles avec points M confondus avec les centres des cercles inscrits...

@+

0^0 · 26-07-2014 15:48:25

Oups! Mon post est passé après le tiens, alors que tu lui répondais...

0^0 · 26-07-2014 20:03:02

Re

Deuxième et troisième contre-exemples:

Périmètre = 627: 171 228 228 --- 98 136 136
Périmètre = 637: 143 247 247 --- 120 133 133

2 questions:

Y-a-t'il une loi qui relient ces contre-exemples?

Périmètre = 520: 150 150 220 --- 81 147 81
Périmètre = 627: 171 228 228 --- 98 136 136
Périmètre = 637: 143 247 247 --- 120 133 133

Pour les cas où ABC est isocèle et où AM = BM = CM, seul un triangle sort, toujours le même. Y-a-t'il d'autres cas?

Périmètre = 128: 40 40 48 --- 25 25 25 x 2
Périmètre = 256: 80 80 96 --- 50 50 50 x 3/2
Périmètre = 384: 120 120 144 --- 75 75 75 x 4/3
Périmètre = 512: 160 160 192 --- 100 100 100 x 5/4
Périmètre = 640: 200 200 240 --- 125 125 125 x 6/5
etc.............

@+

yoshi · 26-07-2014 20:13:47

Re,

Pour les cas où ABC est isocèle et où AM = BM = CM, seul un triangle sort, toujours le même. Y-a-t'il d'autres cas?

On peut déjà dire que M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC...
Nota.
Relation d'Euler H orthocentre G centre de gravité : MH = 3MG.
J'ignore si ça peut servir et à quoi...

@+

0^0 · 26-07-2014 23:43:48

Bonsoir,

Je n'en sais trop rien, mais qui sait?

Peut-être que cette relation pourrait nous donner un programme capable de trouver le point équidistant des sommets de n'importe quel triangle ABC sans avoir à passer par la formule $58afced333fdb0a9e63415130a7943e5.png$ qui a l'inconvénient d'utiliser la fonction sinus.

@+

yoshi · 27-07-2014 15:11:48

Salut,

Périmètre = 128: 40 40 48 --- 25 25 25
x 2 (--> 2/1)
Périmètre = 256: 80 80 96 --- 50 50 50
x3/2
Périmètre = 384: 120 120 144 --- 75 75 75
x 4/3
Périmètre = 512: 160 160 192 --- 100 100 100
x 5/4
Périmètre = 640: 200 200 240 --- 125 125 125
x 6/5
Et donc le suivant sera :
Périmètre = 768 240 240 288 --- 150 150 150.

Si je pars de 40 40 48 le n_ième triangle suivant sera
[tex]40(n+1)\;40(n+1)\;48(n+1)\;\cdots\; 25(n+1)\;25(n+1)\;25(n+1)[/tex]
avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

L'ensemble de tes triangles est donc [tex]E=\{40n\;\;40n\;\;48n,\;n\in\mathbb{N}^*\}[/tex]
Et le rayon 25n...

Maintenant, y a-t-il d'autres séries ? Je ne sais pas...
Je vais chercher les condition pour...

@+
[EDIT]
Rien de bien probant, j'ai écrit un programme de recherche brute qui fonctionne mal : il y a des résultats pas cohérents...
Je regarderai mieux demain...

Dernière modification par yoshi (27-07-2014 21:27:10)

0^0 · 27-07-2014 20:24:21

Salut,

Petite erreur de tape dans ton post.

@+

yoshi · 28-07-2014 11:39:32

Salut,

Faute de frappe : corrigé hier soir...
Mon utilitaire fonctionne :

Périmètre : 128 * 48 40 40 rayon : 25
Périmètre : 216 * 96 60 60 rayon : 50
Périmètre : 256 * 96 80 80 rayon : 50
Périmètre : 324 * 144 90 90 rayon : 75
Périmètre : 384 * 144 120 120 rayon : 75
Périmètre : 432 * 192 120 120 rayon : 100
Périmètre : 500 * 240 130 130 rayon : 169
Périmètre : 512 * 192 160 160 rayon : 100
Périmètre : 540 * 240 150 150 rayon : 125
Périmètre : 640 * 240 200 200 rayon : 125
Périmètre : 648 * 288 180 180 rayon : 150
Périmètre : 756 * 336 210 210 rayon : 175
Périmètre : 768 * 288 240 240 rayon : 150
Périmètre : 864 * 240 312 312 rayon : 169
Périmètre : 864 * 384 240 240 rayon : 200
Périmètre : 896 * 336 280 280 rayon : 175
Périmètre : 972 * 432 270 270 rayon : 225
Périmètre : 1000 * 480 260 260 rayon : 338
Périmètre : 1024 * 384 320 320 rayon : 200
Périmètre : 1024 * 480 272 272 rayon : 289
Périmètre : 1080 * 480 300 300 rayon : 250
Périmètre : 1152 * 432 360 360 rayon : 225
Périmètre : 1188 * 528 330 330 rayon : 275
Périmètre : 1280 * 480 400 400 rayon : 250
Périmètre : 1296 * 576 360 360 rayon : 300
Périmètre : 1372 * 672 350 350 rayon : 625
Périmètre : 1404 * 624 390 390 rayon : 325
Périmètre : 1408 * 528 440 440 rayon : 275
Périmètre : 1500 * 480 510 510 rayon : 289
Périmètre : 1500 * 720 390 390 rayon : 507
Périmètre : 1512 * 672 420 420 rayon : 350
Périmètre : 1536 * 576 480 480 rayon : 300
Périmètre : 1620 * 720 450 450 rayon : 375
Périmètre : 1664 * 624 520 520 rayon : 325
Périmètre : 1728 * 480 624 624 rayon : 338
Périmètre : 1728 * 768 480 480 rayon : 400
Périmètre : 1792 * 672 560 560 rayon : 350

Ce qui m'a permis de trouver deux (trois ?) autres séries :
Périmètre : 864 * 240 312 312 rayon : 169
Périmètre : 1000 * 480 260 260 rayon : 338

Périmètre : 1500 * 480 510 510 rayon : 289
Périmètre : 3000 * 960 1020 1020 rayon : 578

La 1ere ne cadre pas avec ta découverte des multiples...

Vérification
p=864
je prends M sur la médiatrice de la base à x = 169 du sommet.
Calcul de la distance du point M aux extrémités de la base.
h longueur de la hauteur relative à la base.
h= sqrt(312²-120²) = 288

Distance entre M et la Base : 288-169=119

Distance cherchée :
sqrt(120²+119²) = 169

Je ne teste pas de l'autre côté, c'est bon par symétrie...

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

from math import sqrt,asin,pi

def Genere_Iso(minp,maxp,Trg):

    for p in range(minp,maxp):

        for b in range(1,maxp):

            a=p-b

            if a>b and a%2==0 and asin(b/(2*a))<pi/4:

                Trg.append((p,b,a//2,a//2))

    return Trg

minp,maxp=128,1801

Trg=Genere_Iso(minp,maxp,[])

for p,b,a,a1 in Trg:

    R=a**2/sqrt(4*a**2-b**2)

    if float(int(R))==R:

       print ("Périmètre :","%5i" %p," * ","%4i" %b,"%4i" %a,"%4i" %a,"  rayon :","%4i" %

Emploi de l'arcsinus
J'ai obtenu des points M extérieurs...
Pour les éliminer (à la source), j'ai donc cherché le demi-angle au sommet et imposé qu'il soit inférieur à 45° : ainsi l'angle au sommet ne sera pas obtus et le point M intérieur...

if float(int(R))==R:
Le Rayon sortira toujours sous forme d'un nombre à virgule (même s'il est entier). Pour savoir s'il est entier, je convertis sa partie entière sous forme décimale et je teste si elle est égale au rayon : dans ce cas, il est entier...

Reste à trouver un lien entre les séries...

@+

0^0 · 28-07-2014 13:06:01

Salut,

Regarde bien, il y a toujours une petite erreur: tu as écrit: 40(n+1) 40(n+1) 40(n+1) au lieu de 48(n+1) 40(n+1) 40(n+1)... Pas grave...

Par contre, plus grave mais intéressant: il y a des erreurs dans ton tableau post #184 -----> Par exemple: 96 60 60 n'a pas son point M à égales distances de ses sommets.

Il faudrait revoir les autres résultats...
Je ne sais pas d'où vient cette erreur...

____

Je pense aussi que des erreurs pourraient résulter de l'imprécision de arcsin (asin)... Non?

>>>> Dans ce cas ma remarque post 181 pourrait être utile par la suite...

@+

yoshi · 28-07-2014 13:15:21

Salut,

Il n'y a pas d'erreurs de calcul : je me suis contenté de calculer les rayons et de vérifier que ça collait pour p=864...
M'en vais vérifier les autres...
Ou Python va le faire.
Réponse dans un moment j'espère...

Quant à l'imprécision de arcsinus, si il y a erreur de 10^-7 radian (elle est de l'ordre de 10^-10), cela ne représente que 2/100e seconde d'angle...

@+

0^0 · 28-07-2014 13:20:32

Re,

Petite observation: il semble que pour tous les cas de figure, si M est le centre du cercle circonscrit de ABC, ABC est un triangle héronien...

@+

0^0 · 28-07-2014 13:39:08

Re,

Et non seulement ABC, mais aussi ABM, BCM et ACM.

(J'aurais pu le constater en premier)

Que ABC soit isocèle ou non n'y change rien...

@+

yoshi · 28-07-2014 13:46:36

Re,

Ces triangles ont tous "un long bec emmanché d'un long cou" ?

Erreur : Ah, mmmmm.....................eeeeeeeee !!

Rectifié (il y a eu des disparitions !):

Périmètre : 128 * 48 40 40 rayon : 25
Périmètre : 256 * 96 80 80 rayon : 50
Périmètre : 384 * 144 120 120 rayon : 75
Périmètre : 512 * 192 160 160 rayon : 100
Périmètre : 640 * 240 200 200 rayon : 125
Périmètre : 768 * 288 240 240 rayon : 150
Périmètre : 864 * 240 312 312 rayon : 169
Périmètre : 896 * 336 280 280 rayon : 175
Périmètre : 1024 * 384 320 320 rayon : 200
Périmètre : 1152 * 432 360 360 rayon : 225
Périmètre : 1280 * 480 400 400 rayon : 250
Périmètre : 1408 * 528 440 440 rayon : 275
Périmètre : 1500 * 480 510 510 rayon : 289
Périmètre : 1536 * 576 480 480 rayon : 300
Périmètre : 1664 * 624 520 520 rayon : 325
Périmètre : 1728 * 480 624 624 rayon : 338
Périmètre : 1792 * 672 560 560 rayon : 350
Périmètre : 1920 * 720 600 600 rayon : 375

Tests de validité

Périmètre : 128 * 48 40 40 rayon : 25 OK !
Périmètre : 256 * 96 80 80 rayon : 50 OK !
Périmètre : 384 * 144 120 120 rayon : 75 OK !
Périmètre : 512 * 192 160 160 rayon : 100 OK !
Périmètre : 640 * 240 200 200 rayon : 125 OK !
Périmètre : 768 * 288 240 240 rayon : 150 OK !
Périmètre : 864 * 240 312 312 rayon : 169 OK !
Périmètre : 896 * 336 280 280 rayon : 175 OK !
Périmètre : 1024 * 384 320 320 rayon : 200 OK !
Périmètre : 1152 * 432 360 360 rayon : 225 OK !
Périmètre : 1280 * 480 400 400 rayon : 250 OK !
Périmètre : 1408 * 528 440 440 rayon : 275 OK !
Périmètre : 1500 * 480 510 510 rayon : 289 OK !
Périmètre : 1536 * 576 480 480 rayon : 300 OK !
Périmètre : 1664 * 624 520 520 rayon : 325 OK !
Périmètre : 1728 * 480 624 624 rayon : 338 OK !
Périmètre : 1792 * 672 560 560 rayon : 350 OK !
Périmètre : 1920 * 720 600 600 rayon : 375 OK !

C'est de ma faute, j'ai oublié que a n'était pas, dans mes calculs, le côté mais le double !
Donc rectifier asin(b/(2*a)) en asin(b/a)...
Voilà une version clarifiée :

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

from math import sqrt,asin,pi

def Genere_Iso(minp,maxp,Trg):

    for p in range(minp,maxp):

        for b in range(1,maxp):

            a=p-b

            if a>b and a%2==0 and asin(b/a)<pi/4:

                Trg.append((p,b,a//2,a//2))

    return Trg

minp,maxp=128,2001

Trg=Genere_Iso(minp,maxp,[])

candidats=[]

print ("\nTriangles isocèles ayant un rayon du cercle circonscrit entier\n\n")

for p,b,a,a1 in Trg:

    R=a**2/sqrt(4*a**2-b**2)

    if float(int(R))==R:

       print ("Périmètre :","%5i" %p," * ","%4i" %b,"%4i" %a,"%4i" %a,"  rayon :","%4i" % int(R))

       candidats.append((p,b,a,a1,R))

print ("\n        Tests de validité\n")

for p,b,a,a1,R in candidats:

    h=sqrt(a**2-b**2/4)

    l=h-R

    d=sqrt((b//2)**2+l**2)

    if d==R:print ("Périmètre :","%5i" %p," * ","%4i" %b,"%4i" %a,"%4i" %a,"  rayon :","%4i" % int(R),"   OK !")

Voilà, tu peux jouer...

@+

[EDIT]
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … ronien.htm
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … ronieT.htm

0^0 · 28-07-2014 14:54:24

Re,

Quelle rapidité!! Impressionnant!

Donc

Périmètre : 864 * 240 312 312 rayon : 169
Périmètre : 1500 * 480 510 510 rayon : 289
Périmètre : 1728 * 480 624 624 rayon : 338
Périmètre : 2592 * 720 936 936 rayon : 507
Périmètre : 3000 * 960 1020 1020 rayon : 578
Périmètre : 3456 * 960 1248 1248 rayon : 676
Etc.......

Voilà donc au moins deux autres séries qui semblent aller dans le sens d'une prolifération des cas de figure contredisant la conjecture:

[tex]E_2=\{240n\;\;312n\;\;312n,\;n\in\mathbb{N}^*\}[/tex] et le rayon [tex]169n[/tex]
et
[tex]E_3=\{480n\;\;510n\;\;510n,\;n\in\mathbb{N}^*\}[/tex] et le rayon [tex]289n[/tex]

@+

yoshi · 28-07-2014 15:24:08

Re,

Bin, au départ avec tes multiples, je n'ai pas trouvé ça choquant, plutôt normal même...
Et avec mon utilitaire, j'ai débusqué autre chose.
Mais à chaque nouveau triangle de base, se greffe tout une série de multiples...
510/312 = 85/52= (5 x 17)/(4 x 13).
5 et 4 se suivent, 17 et 13 nombres premiers consécutifs.
Il faudrait vérifier ça, mais le PCGD de 169 et 289 est 1...
Encore plus marrant 169 = 13² et 289 = 17² et ce sont deux bases de série.

Oui, c'est rapide ! J'avais bien pensé que tu allais apprécier...

@+

0^0 · 28-07-2014 15:34:53

Re,

Petit inventaire des cas possibles et ou à vérifier:

1) (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC) et (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM) et (AB≠AM)

2) (AB=AM ou AB=BM ou AB=CM ou BC=AM ou BC=BM ou BC=CM ou AC=AM ou AC=BM ou AC=CM)
et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
et (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

a) (AB=AM ou AB=BM ou BC=BM ou BC=CM ou AC=AM ou AC=CM)
et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
et (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

b) (AB=CM ou BC=AM ou BC=BM ou AC=BM)
et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
et (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

3) (AB=BC ou BC=CA ou AB=CA)
et (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)
et (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

4) (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
et (AM=BM ou BM=CM ou AM=CM)
et (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

5) a) (AB=BC et AB≠AC et AM=CM et AM≠BM) ou
(AB=AC et AB≠BC et BM=CM et BM≠AM) ou
(BC=AC et BC≠AC et AM=BM et AM≠CM)
et (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

b) (AB=BC et AB≠AC et AM=BM et AM≠CM) ou
(AB=BC et AB≠AC et BM=CM et AM≠BM) ou
(AB=AC et AB≠BC et AM=BM et AM≠CM) ou
(AB=AC et AB≠BC et AM=CM et AM≠BM) ou
(BC=AC et BC≠AB et AM=CM et AM≠BM) ou
(BC=AC et BC≠AB et BM=CM et AM≠BM)
et (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

c) ((AB=BC et AC=AM) et (AB≠AC et AM≠BM et AM≠CM et AB≠BM et AB≠CM) ou
((AB=BC et AC=CM) et (AB≠AC et CM≠AM et CM≠BM et AB≠AM et AB≠BM) ou
((AB=AC et BC=BM) et (AB≠BC et BM≠AM et BM≠CM et AB≠AM et AB≠CM) ou
((AB=AC et BC=CM) et (AB≠BC et CM≠AM et CM≠BM et AB≠AM et AB≠BM) ou
((BC=AC et AB=AM) et (BC≠AB et AM≠BM et AM≠CM et BC≠BM et BC≠CM) ou
((BC=AC et AB=BM) et (BC≠AB et BM≠AM et BM≠CM et BC≠AM et BC≠CM)

d) ((AB=AM et BM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM)) ou
((AB=BM et AM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM)) ou
((BC=BM et CM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et BC≠CM)) ou
((BC=CM et BM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et BC≠BM)) ou
((AC=AM et CM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AC≠CM)) ou
((AC=CM et AM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AC≠AM))

6) a) (AB=BC=AC) et (AB≠AM et AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

b) (AM=BM=CM) et (AM≠AB et AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)

c) ((AB=AM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠CM et BC≠CM et AC≠CM)) ou
((BC=BM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM et BC≠AM et AC≠AM)) ou
((AC=AM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM et BC≠BM et AC≠BM))

d) ((AB=AM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM et BC≠BM et AC≠BM)) ou
((AB=BM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM et BC≠AM et AC≠AM)) ou
((BC=BM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠CM et BC≠CM et AC≠CM)) ou
((BC=CM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM et BC≠BM et AC≠BM)) ou
((AC=AM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠CM et BC≠CM et AC≠CM)) ou
((AC=CM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM et BC≠AM et AC≠AM))

e) ((AB=BC=CM) et (AB≠AC et AB≠AM et AB≠BM et AC≠AM et AC≠BM et AM≠BM)) ou
((AB=AC=CM) et (AB≠BC et AB≠AM et AB≠BM et BC≠AM et BC≠BM et AM≠BM)) ou
((BC=AB=AM) et (BC≠AC et BC≠BM et BC≠CM et AC≠BM et AC≠CM et BM≠CM)) ou
((BC=AC=AM) et (BC≠AB et BC≠BM et BC≠CM et AB≠BM et AB≠CM et BM≠CM)) ou
((AC=AB=BM) et (AC≠BC et AC≠AM et AC≠CM et BC≠AM et BC≠CM et AM≠CM)) ou
((AC=BC=BM) et (AC≠AB et AC≠AM et AC≠CM et AB≠AM et AB≠CM et AM≠CM))

7) a) ((AB=BC=AC et AM=BM) et (AM≠CM)) ou
((AB=BC=AC et BM=CM) et (BM≠AM)) ou
((AB=BC=AC et CM=AM) et (CM≠BM)) ou

b) ((AB=BC et AM=BM=CM) et (AB≠AC)) ou
((BC=AC et AM=BM=CM) et (BC≠AB)) ou
((AC=AB et AM=BM=CM) et (AC≠BC))

c) ((AB=BC et AC=AM=CM) et (AC≠BM)) ou
((BC=AC et AB=AM=BM) et (AB≠CM)) ou
((AB=AC et BC=BM=CM) et (BC≠AM))

d) ((AB=BC et AC=AM=BM) et (AC≠CM)) ou
((AB=BC et AC=CM=BM) et (AC≠AM)) ou
((BC=AC et AB=AM=CM) et (AB≠BM)) ou
((BC=AC et AB=BM=CM) et (AB≠AM)) ou
((AC=AB et BC=BM=AM) et (BC≠CM)) ou
((AC=AB et BC=CM=AM) et (BC≠BM))

8) a) (AB=BC et AC=BM et AM=CM) ou
(BC=AC et AB=CM et BM=AM) ou
(AC=AB et BC=AM et CM=BM)

b) (AB=BC et AC=AM et CM=BM) ou
(AB=BC et AC=CM et AM=BM) ou
(BC=AC et AB=BM et AM=CM) ou
(BC=AC et AB=AM et BM=CM) ou
(AC=AB et BC=CM et BM=AM) ou
(AC=AB et BC=BM et CM=AM)

9) (AB=BC et AC=AM=BM=CM) ou
(BC=AC et AC=AM=BM=CM) ou
(AC=AB et AC=AM=BM=CM)

Je pense que la liste est complète.

@+

Dernière modification par 0^0 (28-07-2014 16:02:34)

yoshi · 28-07-2014 15:36:31

Re,

Là, ça m'écorche les yeux...
On sort apparemment du domaine pur des triangles isocèles.
Pas le courage d'éplucher : qu'est-ce que tu cherches si c'est possible de le formuler ?

Points 1,2,3 et 4. Triangles scalènes + conditions donc...

@+

0^0 · 28-07-2014 15:38:44

Re,

Je ne cherche rien de particulier, j'ai juste tenté une classification en dressant la liste de toutes les configurations qui me semblent possibles.

Les 8)a) et 8)b) devraient être les moins fréquentes. - Je me demande à quels périmètres voit-on les premiers cas apparaître!

(Je ne suis pas sûr de la 9)

___

Ton 'if float(int(R))==R:' m'est bien utile!

@+

Dernière modification par 0^0 (28-07-2014 16:41:31)

0^0 · 28-07-2014 17:01:11

Re,

(((Comment modifier ton dernier petit programme pour qu'il donne aussi les triangles ABC non isocèles avec AM=BM=CM?)))

@+

yoshi · 28-07-2014 18:36:17

Re,

Là ce sont les triangles quelconques et mon dernier utilitaire ne te sera d'aucune utilité...
Solution provisoire.
Prendre le gros programme dernière version, en faire une copie (=l'enregistrer sous un autre nom)
Puis dans le module Points_intérieurs_triangles,
Modifier ligne n° 149
Remplacer :
if [AM,BM,CM] not in L:
par
if (AM==BM==CM):
mais tu risques de te morfondre, c'est très lent.
J'ai une machine assez rapide, j'ai fait la modif et le test avec minp,max=400,600 est lancé depuis 8 min sans résultat...

J'allais me lancer dans triangles isocèles + cercle inscrit...

@+

[EDIT]
Après beaucoup de temps, il m'a trouvé :
N° 1 : Périmètre : 420 * 102 150 168 --- 85 85 85
J'ai arrêté : je vais essayer de revoir la vitesse quand j'aurais testé mon module pour centre du cercle inscrit.

Dernière modification par yoshi (28-07-2014 18:53:51)

yoshi · 28-07-2014 21:26:19

Re,

Pour mon test cercle inscrit : ne trouvais rien jusqu'à p=2000...
J'avais oublié l'astuce des rapports égaux, donc, j'ai refait.
2 rapports égaux <==> produit des extrêmes = produit des moyens (aujourd'hui on dit : les produits en croix sont égaux)
J'appelle M le point intérieur, S le nom générique du sommet, H le milieu de la base et je teste si :
[tex]\frac{MH}{MS}=\frac{\frac{base}{2}}{côté} .[/tex]
Autrement dit je teste si [tex]MH \times MS=b\times 2a[/tex]
Et donc si 2a×MH=MS×b .

Résultat des courses.
M est le centre du cercle inscrit dans le triangle isocèle (avec minp,maxp=250,2000 : rien avant 256) pour :
(Après les --- la première valeur affichée est la distance au sommet principal.)

Triangles isocèles et centre du cercle inscrit
Périmètre : 256 * 56 100 100 --- 75 35 35
Périmètre : 512 * 112 200 200 --- 150 70 70
Périmètre : 768 * 168 300 300 --- 225 105 105
Périmètre : 1024 * 224 400 400 --- 300 140 140
Périmètre : 1280 * 280 500 500 --- 375 175 175
Périmètre : 1536 * 336 600 600 --- 450 210 210
Périmètre : 1792 * 392 700 700 --- 525 245 245

Le prog commence par calculer la hauteur h (SH) du triangle isocèle
Puis j'en prends la partie entière plus 1, qui va me donner l'indice de fin de boucle fin.
Puis je boucle sur toutes les valeurs entières de MH de 1 à fin.
J'en déduis MS..
Je n'ai plus qu'à faire les produits en croix.
S'ils sont égaux, le point M est le centre du cercle inscrit avec rayon entier (j'ai testé quelques valeurs à la main : ça colle.).
Dans ce cas, je n'affiche les résultats que si les distances aux 3 sommets sont entières).

#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-

from math import sqrt,asin,pi

def Genere_Iso(minp,maxp,Trg):

    for p in range(minp,maxp):

        for b in range(1,maxp):

            a=p-b

            if a>b and a%2==0 and asin(b/a)<pi/4:

                Trg.append((p,b,a//2,a//2))

    return Trg

def circonscrit(Trg):

    candidats=[]

    print ("\nTriangles isocèles ayant un rayon du cercle circonscrit entier\n\n")

    for p,b,a,a1 in Trg:

        R=a**2/sqrt(4*a**2-b**2)

        if float(int(R))==R:

           print ("Périmètre :","%5i" %p," * ","%4i" %b,"%4i" %a,"%4i" %a,"  rayon :","%4i" % int(R))

           candidats.append((p,b,a,a1,R))

    print ("\n\n        Tests de validité\n\n")

    for p,b,a,a1,R in candidats:

        h=sqrt(a**2-b**2/4)

        l=h-R

        d=sqrt((b//2)**2+l**2)

        if d==R:print ("Périmètre :","%5i" %p," * ","%4i" %b,"%4i" %a,"%4i" %a,"  rayon :","%4i" % int(R),"   OK !")

    return

def inscrit(Trg):

    print ("\nTriangles isocèles et centre du cercle inscrit\n)

    for p,b,a,a1 in Trg:

        h=sqrt(a**2-b**2/4)

        fin=int(h)+1

        for MH in range(1,fin):

            MS = h-MH  

            if 2*a*MH==b*MS:

                l1=sqrt(MH**2+b**2/4)

                if float(int(l1))==l1:

                    print ("Périmètre :","%5i" %p," * ","%4i" %b,"%4i" %a,"%4i" %a," --- ",int(MS),int(l1),int(l1))

    return

minp,maxp=250,2001

Trg=Genere_Iso(minp,maxp,[])

#circonscrit(Trg)

inscrit(Trg)

Apparemment, il n'y a qu'un triangle et ses multiples (au moins jusqu'à p=2000)

@+

yoshi · 29-07-2014 08:17:18

Bonjour,

J'ai fini le programme de test des 4 positions particulières éventuelles de M et sauf erreur de programmation (je vais revérifier attentivement ça) :
il n'existe aucun triangle isocèle dont notre point M est le Centre de Gravité, ni l'orthocentre, entre p=20 et p=2000 et placé à distances entières des sommets.

Il n'y a donc de réponses positives que pour les centres des cercles circonscrit et inscrit...

Je te mets ça en ligne dès que je suis sûr à 100% de mon code et non plus à 99%...

@+

0^0 · 29-07-2014 10:21:49

Bonjour,

yoshi a écrit :

Après beaucoup de temps, il m'a trouvé :
N° 1 : Périmètre : 420 * 102 150 168 --- 85 85 85....

Oui c'est exactement ce que j'avais fait (un autre de mes 'bidouillages') à ceci près que j'avais choisi un autre module.

En effet c'est très très lent mais avec un peu de patience j'ai récolté:

Périmètre = 324: 78 120 126 --- 65 65 65
Périmètre = 336: 104 112 120 --- 65 65 65
Périmètre = 420: 102 150 168 --- 85 85 85
Périmètre = 440: 136 150 154 --- 85 85 85

Je me suis arrêté à Périmètre = 610

Je m'occupe maintenant de tes posts suivants... :)

@+

0^0 · 29-07-2014 11:32:45

Re,

2 remarques:

- 1) Pour les bissectrices, ça devrait fonctionner tout aussi bien avec les triangles scalènes je crois. Ton programme de recherche des cas où M est le centre du cercle inscrit devrait être généralisable à tous les cas de figure.

- 2) Il serait assez troublant que M ne corresponde jamais à l'orthocentre ou au centre de gravité... Si tel était le cas, cela demanderait quelques explications...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#176 26-07-2014 15:36:51

Re : Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets

#177 26-07-2014 15:37:40

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#179 26-07-2014 20:03:02

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#182 27-07-2014 15:11:48

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#183 27-07-2014 20:24:21

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#184 28-07-2014 11:39:32

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#185 28-07-2014 13:06:01

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#186 28-07-2014 13:15:21

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#187 28-07-2014 13:20:32

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