Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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Re : Le chat et la souris

Re,

pardon Fred, c'est le sujet suivant : http://alain.troesch.free.fr/2006/Fichiers/dm13.pdf donné en DM en prépa épices !!!

Mille excuses !

freddy

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Re : Le chat et la souris

Re,

sinon, il y a ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Pile_ou_face un bel inventaire de sujets en pile ou face paradoxaux.

A noter que le paradoxe de la Belle au bois dormant, posé un temps par Fred, reste à ce jour irrésolu ... A vrai dire, je n'ai pas lu les raisonnements, faut prendre un peu de temps !

Bon courage à tous !

freddy

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Re : Le chat et la souris

Re,

indépendamment des remarques et informations ci-dessus, j'ai trouvé ce matin la bonne stratégie pour la souris pour le dernier cas envisagé.

C'est conforme à la découverte de Fred, c'est un jeu où à chaque stratégie du Chat, la Souris en a une qui la domine en espérance.

Salut,

voilà ce que je trouve en utilisant un automate pour simuler. Par contre, je n'ai pas encore trouvé la preuve formelle.

▼stratégies gagnantes - précision

on note +1 et -1 au lieu de pile et face, permettant de symétriser à l'envi.

si chat joue +1 +1 +1, alors la souris gagne avec +1 +1 -1 environ 8 fois sur 10 ;

si chat joue +1 -1 +1 , alors la souris gagne avec +1 -1  -1 enriron 7 fois sur 10 ;

si chat joue +1 -1 -1 alors la souris gagne avec -1 -1 +1 environ 7 fois sur 10 ;

si chat joue +1 +1 -1, alors la souris gagne avec +1 -1 - 1 environ 6 fois sur 10

Les autres stratégies que peut opposer la souris ne sont pas évoquées, car très largement perdantes pour elle.

A vérifier au plan formel.

rjab

Invité

Re : Le chat et la souris

Salut freddy

Tu dis tes convention au numéro 15:
"Cela étant, il faut se mettre d'accord sur la séquence : quand je dis +1 +1 -1, c'est dans l'ordre suivant : dernier tirage, avant dernier tirage, ante pénultième tirage.
En notant P=+1 et F = -1, on aurait dans l'ordre d'apparition FPP avec F en t-2, puis P en t-1 et P en t (instant du tirage)."

▼comparaison

Et tu dis au N° 28 (qui corrige la 4ème ligne de ton numéro 13)
si chat joue +1 +1 +1, alors la souris gagne avec +1 +1 -1 environ 8 fois sur 10 ;
si chat joue +1 -1 +1 , alors la souris gagne avec +1 -1  -1 environ 7 fois sur 10 ;
si chat joue +1 -1 -1 alors la souris gagne avec -1 -1 +1 environ 7 fois sur 10 ;
si chat joue +1 +1 -1, alors la souris gagne avec +1 -1 - 1 environ 6 fois sur 10

je mets en F et P en mettant le dernier tirage à droite,  et je donne après plus de 24 tirage si aucun a gagné :

si chat joue PPP, alors la souris gagne avec FPP environ 8 fois sur 10 ; c'est mieux environ 87 fois sur 100 (7 fois sur 8)
si chat joue FPF , alors la souris gagne avec FFP environ 7 fois sur 10 ; c'est mieux environ 67 fois sur 100 (2 fois sur 3)
si chat joue FFP alors la souris gagne avec PFF environ 7 fois sur 10 ; c'est mieux environ 75 fois sur 100 (3 fois sur 4)
si chat joue FPP, alors la souris gagne avec FFP environ 6 fois sur 10;  c'est mieux environ 67 fois sur 100 (2 fois sur 3)

On peux mettre F à la place de P et P a la place de F avec le résultat pareil

Pardon si je redonne c'est pour comparé le bon choix de la souris et reprendre les probas mieux calculées donné à mon numéro 12

freddy

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Re : Le chat et la souris

Salut,

oui, oui, on est d'accord; j'ai lu avec attention le document de Fred, je pense que tout y est dit.

Pour le calcul des probas, je n'ai rien fait depuis mes simulations sur automate (j'ai un peu de boulot :-)).

Mais je pense que c'est OK. Si tu veux, je peux vérifier tes calculs à l'occasion, j'ai un calculateur très puissant.

Ce qui serait intéressant est que tu explicites tes travaux et formules de calculs, en toute simplicité. C'est le plus sûr moyen de vérifier.

En attendant, beau travail !

freddy

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Re : Le chat et la souris

Re,

Moi aussi, j'ai fortement apprécié la "tricherie" de Fred...
J'ai lu avidement le contenu du lien qu'il donne... et il va falloir que je lise, relise encore !
C'est décoiffant...
En postant ce sujet que j'avais jugé pas évident, j'étais loin d'en mesurer toutes les implications !!!

@+

Salut,

je peux te dire que tu m'as fait chercher, chercher, ... surtout après avoir fait des calculs et déroulé les simulations sur ordinateur et vu ce que mes yeux ont vu ...

Sujet très, très riche, s'il en est !

rjab

Invité

Re : Le chat et la souris

Salut,

Pour freddy :
j'ai commencé sur papier mais voila ce que j'ai programé : Je prends 0 et 1 à la place de F et P (ou P et F c'est pareil) pour programmer sur des nombres (que je vois en base 2).

Je définis c pour le choix du chat, s pour le choix de la souris, t pour le numéro du tirage
et les probabilités pc, ps,  p0 à p3.
pour c de 0 à 3 (c'est pareil pour le chat de 7 à 4)
   pour s de 0 à7 mais pas c=s
      pc=0, ps=0, p0 à p3=0.25 chacun (après le 2ème tirage)
      pour t de 3 à 32
         mettre pp0 à pp3 à 0 (pour préparer le report des probas dans p0 à p3 si aucun gagne)
         pour n de 0 à 4
            faire p=moitié de pn (car 0 ou 1 se partage cette probabilité)
            pour i de 0 à 1
               faire nombre=2n+i pour comparer à c puis à s (nombre va de 0 à 7)
               si nombre=c ajouter p à pc
               si nombre=s ajouter p à ps
               sinon créer j=(n si nombre<4 ou n-4 sinon) et ajouter p à ppj
               (ces 4 dernières ligne c'est comme sur le papier)
            i suivant
         n suivant
         pour chaque t on remet les 4 pp0 à pp3 dans les p0 à  p3 (ne pas oublier, sur papier c'est déjà fait dans une nouvelle colonne)
      t suivant
   s suivant
c suivant

pour chaque t on peut vérifier que les 6 probas pc+ps+p0+p1+p2+p3 = 1 exactement avec tous les p0 à p3 qui vont vers 0.
on peut imprimer pour chaque t ou pour chaque c ...j'ai imprimé les probas du dernier t pour 28 cas. c'est dans les 3 secondes sur mon ordi, pas besoin d'un gros !

j'ai trouvé facile à programmer, plus facile que l'article de fred qui parle beaucoup et m'a pris la tête !! le cadre de Conway est pourtant bien !! maintenant j'ai aussi du boulot pour samedi et dimanche...