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Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Michel.
Je suis complètement paumé.
Si tu ne donnes pas la soluce, j'ai un peu peur d'abandonner.

Eric Lapeyres

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Non, reprends les choses calmement et en t'appliquant
1°) On a déjà vu ce qu'est $P(X_1=i \mid X_2=j)$ quand $i<j$. Peux tu rappeler ce qui a été trouvé ?
2°) Combien y a-t-il d'entiers $i$ tels que $1\leq j < i$ ?
3°) Tant qu'on y est, peux-tu rappeler ce que vaut $P(X_1=j \mid X_2=j)$ ?
4°) Et $P(X_1=i\mid X_2=j)$ quand $i>j$ ?
5°) Finalement, que vaut $\sum_{i=1}^n P(X_1=i\mid X_2=j)$ ?

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Je te remercie pour ta patience, Michel.
Je récapitule, on est dans la deuxième question, (a).

1°) pour i < j , p(X1 =i | X2 = j) = p(X1 = i ; X2 =j) / p(X2 = j)
      avec p(X1 = i ; X2 =j) = 2 / n²
      et p(X2 = j) = somme de i=1 à n de (p(X1 = i ; X2 =j))
                        = somme de i=1 à j-1 de (p(X1 = i ; X2 =j) + (p(X1 = j ; X2 =j)) + somme de i=j+1 à n (p(X1 = i ; X2 =j)

2°)
3°) p(X1 = j ; X2 =j) = 1/n²
4°) pour i > j (soit i >= j+1), on a p(X1 = i ; X2 =j) = 0.
5°) On récapitule le 2°):
      p(X2 = j) = (j-1)*(2/n²) + 1/n² + 0 = (2j-1)/n²
      donc, pour i < j , on a: p(X1 = j | X2 =j) = (2/n²)/((2j-1)/n²) = 2/(2j-1).

Peux-tu s'il te plait corriger étape par étape, comme tu l'as fait dans ton dernier post ?
Merci d'avance.
Eric Lapeyres

Dernière modification par Eric Lapeyres (08-05-2025 08:44:26)

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Relis ton message du 22-04-2025 15:15:16 pour la réponse à ma question 1°).

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Je reprends: deuxième question, (a).

1°) pour i < j , p(X2 = j) = somme de i = 1 à j-1 de (p(X1 = i ; X2 = j))
                                     = somme de i = 1 à j-1 de (2/n²)
                                     = (j - 1)*(2/n²)
      d'où, toujours pour i < j , p(X1 = i | X2 =j) = p(X1 = i ; X2 =j) / p(X2 = j)
                                                                     = (2/n²)/(2*(j-1)/n²)
                                                                     = 1 / (j - 1)

2°)
3°)
4°) pour i > j (soit i >= j+1), on a p(X1 = i ; X2 =j) = 0.

5°) somme de i=1 à n de p(X1 =i | X2 = j) = somme de i = 1 à j-1 de p(X1 = i | X2 = j)
                                                               + p(X1 = j | X2 = j)
                                                               + somme de i = j+1 à n de p(X1 = i | X2 = j)
                                                               = (j - 1)*(1 / (j - 1)) + p(X1 = j | X2 = j) + 0
                                                               = 1 + p(X1 = j | X2 = j).

Reste ce problème de p(X1 = j | X2 = j)...

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Je répète : relis ton message du 22-04-2025 15:15:16 pour la réponse à ma question 1°).
https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 93#p116293
C'était une des rares fois où tu avais écrit quelque chose de correct, et tu avais obtenu $P(X_1=i\mid X_2=j)$ dans le cas $i<j$.