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Zebulor

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Re : Le facteur

Bonjour,
Ok Alain,

▼nouvelles réponses

Q1.  (2n)!
Q2 : $(n!)^2$
Q3 : $2^n (n!)$
Q4: $n!$

Dernière modification par Zebulor (20-11-2023 07:21:20)

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Dalal

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Re : Le facteur

Bonjour,

▼détails de mon raisonnement pour la question 2

2) Supposons sans perte que les femmes s’assoient en premier (le rôle des deux sexes est le même) : la première femme qui s’assoit peut choisir parmi 2n sièges libres. La seconde ne peut pas choisir parmi 2n−1 mais parmi n−1 et ainsi de suite jusque la dernière femme qui n’a plus qu’une seule possibilité ce qui fait un total de 2n*(n−1)*...*2*1=2*n!.
Au  tour  des  hommes  :  le  premier  a  alors n choix  possibles,  le  suivant n−1 et ainsi de suite jusqu’au dernier qui n’a qu’une seule possibilité, ce qui donne un total de n! pour le positionnement des hommes. Au final, on a 2*n!*n!=2(n!)^2dispositions possible.

Pour les 2 dernières questions je détaillerais mon raisonnement en début de soirée là je n'ai pas le temps....

Bonne journée.

Dernière modification par Dalal (20-11-2023 09:22:56)

Zebulor

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Re : Le facteur

Bonjour,

▼réponse à Dalal pour les question 2 et 3

Q2 / Ta réponse me semble la bonne. Je raisonne différemment, mais j'ai oublié de tenir compte qu'une fois les $2n$ personnes installées, je peux inverser les places homme et femme dans chaque couple homme/femme, d'où le facteur 2 manquant dans ma réponse.
Q3 : j'ai l'impression que cette fois ci ton facteur 2 est en trop, car pour $2n=2$, on a que deux possibilités
Q4 : même remarque que pour Q3

Bonne journée

Dernière modification par Zebulor (20-11-2023 10:50:18)

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bridgslam

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Re : Le facteur

Bonjour,

je vous donne les diverses réponses:

1- $(2n)!$
2- $2(n!)^2$
3- $n!2^{n+1}$
4- $4n!$

A charge de voir pourquoi si oubli ou mauvais comptage... :-) il y a parfois plusieurs façons de faire.

Bonne journée

Alain

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Zebulor

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Re : Le facteur

Bonjour,
@Alain : ton $4n!$ m'interpelle si on regarde ce qui se passe pour $n=1$..

Bonne journée

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bridgslam

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Re : Le facteur

Bonsoir,

Le calcul du 4/ tient pour un nombre de personnes minimum égal à 4 (2 couples H-F) sinon un phénomène de symétrie fait que l'on compte plusieurs fois la même disposition dans le raisonnement ci-dessous.
Excellente remarque de Zébulor.

On numérote par groupe de  2 ,donc C1,C2,...,Cn  les places voisines en tournant dans 1 sens donné (chaque Ci occupée par un couple).
Chaque couple devant s'attribuer un Ci  , les possibilités sont de n!, mais dépendant du sens choisi de groupage des places (par exemple appariement à partir de la place N°1 dans le sens horaire)  et de l'ordre entre l'homme et sa femme au sein de son Ci.
Il faut donc multiplier par 4.

Bonne soirée
Alain

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bridgslam

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Re : Le facteur

Par exemple avec les couples ( Jean, Jeanne) ( Michel,Michelle) on a bien 8 possibilités d'attribution s des places:
                Jean                                                   Jeanne
Jeanne                  Michelle      |           jean                          Michel   

               Michel                                                  Michelle

               Jean                                                      Jeanne

Michelle               Jeanne         |          Michel                        Jean                                 

              Michel                                                    Michelle

Puis encore 4 cas où par rapport à ci-dessus, avec (jean,Jeanne) remplace seulement (Michel,Michelle) et vice-versa.

Alain

Dernière modification par bridgslam (20-11-2023 18:05:58)

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Dalal

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Re : Le facteur

Bonsoir,

Comme promis voici mon raisonnement pour les questions 3 et 4:

▼ détails de mes raisonnement pour les questions 3 et 4

3) La première femme s’assoit, elle a donc le choix parmi 2n sièges. Son conjoint la rejoint : il a 2possibilités, à la droite ou à la gauche de sa femme. La deuxième femme s’installe : il reste 2n−2=2(n−1) sièges libres donc 2(n−1)/2=n−1 possibilités de places doubles. En effet, une fois que le premier couple s’est installé, les places doubles sont fixées. Son conjoint la rejoint : dans la place double choisie par sa femme, il peuvent s’assoir de 2 façons différentes. La troisième femme s’installe : il reste 2n−4=2(n−2)sièges libres donc 2(n−2)/2=n−2 sièges doubles disponibles. Son conjoint la rejoint : dans la place double choisie par sa femme, il peuvent s’assoir de 2 façons différentes...La nième femme s’installe : il reste2 n−2(n−1)=2sièges libres donc1siège double disponible. Son conjoint la rejoint : dans la place double choisie par sa femme, il peuvent s’assoir de 2 façons différentes. Au final on a donc:                                                                         
2n*2*(n−1)*2 (n−2)*2*...*1*2=n!*2*2^n=n!*2^(n+1)

4) La première femme s’assoit, elle a donc le choix parmi 2n sièges. Son conjoint la rejoint : il a 2 possibilités, à la droite ou à la gauche de sa femme. La deuxième femme s’installe : il reste n−1 possibilités de places doubles. En effet, une fois que le premier couple s’est installé, les places doubles sont fixées. Son conjoint la rejoint : dans la place double choisie par sa femme, il ne peut s’assoir que d’une seule façon sinon l’alternance des sexes n’est pas respectée....La n-ième femme s’installe : il reste 1 siège double disponible. Son conjoint la rejoint : il n’a qu’une possibilité. Au final on a donc: 2n*2*(n−1)*(n−2)*...*1=4*n! dispositions différentes

.

Sa me rassure que bridgslam et moi nous avions les même réponses.

Bonne soirée.

Zebulor

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Re : Le facteur

Bonsoir,
me voilà bien renseigné !
@Dalal : en raisonnant comme toi pour la question 4), je trouvais aussi ce facteur 4 finalement !

Bonne soirée

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Dalal

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Re : Le facteur

Bonsoir,

@Zebulor je suis contente que mon raisonnement a pu t'aider à trouver ce facteur 4 :)

Bonne soirée.

Zebulor

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Re : Le facteur

Bonjour,

une autre manière de voir :

▼ question 2

il y a $n!$ façons de placer les femmes et pour chaque disposition de $n$ femmes, $n!$ façons de placer les hommes. D'où $(n!)^2$ placements possibles. Reste à compter les autres placements : les hommes prennent la place des femmes et inversement, d'où encore $(n!)^2$ possibilités soit au total $2(n!)^2$ placements.

.

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bridgslam

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Re : Le facteur

Bonjour,

Une autre façon de voir aussi pour la question 4/,

Si on déroule la table en ligne, le problème devient équivalent à celui-ci:

HF   HF .....  HF   HF  x2 en intervertissant dans chaque couple
H   FH  FH  .......   FH   F    x2   en intervertissant dans chaque couple ( sans oublier le premier et la derniere)

A.

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Pierre CAMI

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Re : Le facteur

Bonne nuit à toutes et tous

1 4 5 2 7 6 3 8
1 6 3 8 5 2 7 4
1 8 3 6 7 4 5 2

Le facteur à trois façons de faire sa tournée.
Il est bien connu que le facteur sonne toujours 3 fois!

Dalal

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Re : Le facteur

Bonsoir Pierre CAMI,

Je ne comprend pas pourquoi vous publiez le même message 2 fois de suites ???

Bonne soirée.

Dalal

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Re : Le facteur

Bonjour,

Non ce n'est pas grave, je sais que vous êtes nouveau sur le site, mais vous avez la possibilité de supprimer l'un de vos 2 messages si jamais vous ne le saviez pas.

Bonne journée.

Dernière modification par Dalal (23-11-2023 07:47:25)

bridgslam

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Re : Le facteur

Bonjour,

1 4 5 2 7 6 3 8
1 6 3 8 5 2 7 4
1 8 3 6 7 4 5 2

Le facteur à trois façons de faire sa tournée.

Non il y en a 18: Vous avez fourni juste un exemplaire de chaque type de graphes, mais dans chaque cas il faut ensuite permuter sur H3, H5, H7, (et leur femme pareil) , ce qui multiplie par 6 les possibilités.

Glozi a donné dans un post précédent la formule, elle est basée sur une variante du problème des ménages variante  "en ligne".
Ce problème est résoluble de plusieurs façons, dont une qui fait appel en fait au crible de Poincaré (voir par exemple "Analyse combinatoire T2 de Louis Comtet").
Question délicate si on débute en dénombrement tout de même.

L'approche par les graphes que j'ai indiquée est plus combinatoire , elle permet de sortir de façon méthodique les solutions, en les regroupant par types.
Parmi tous les graphes circulaires possibles (sens fixé)  à liaison H-F, on élimine tous ceux dont une arête est sur le pourtour, sauf celui à unique arête 12
( la femme F2  de H1 terminant le tour).

A.

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Pierre CAMI

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Re : Le facteur

Bonjour
J'ai pu me tromper.
Je suis curieux de connaître  au moins une des 15 suites possibles que j'ai pas vues.
Merci d'avance

jpp

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Re : Le facteur

Salut .

Bonjour
J'ai pu me tromper.
Je suis curieux de connaître  au moins une des 15 suites possibles que j'ai pas vues.
Merci d'avance

#18 pour les 18 parcours possibles .

bridgslam

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Re : Le facteur

Bonjour,

@CAMI oui pas de souci , par-exemple du même type que votre dernier parcours: 16385472

A.

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bridgslam

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Re : Le facteur

Par-rapport à la vôtre j'ai transposé H5 et H7 sur le même graphe sans toucher H3  ( leur femme suivant le mouvement évidemment)

A.

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Pierre CAMI

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Re : Le facteur

Bonjour
Mea maxima culpa
Le facteur a 6 parcours possibles:

1, 4, 5, 8, 3, 2, 7, 6
1, 4, 7, 6, 3, 2, 7, 4
1, 6, 3, 8, 5, 2, 7, 4
1, 6, 7, 2, 3, 8, 5, 4
1, 8, 5, 4, 7, 2, 3, 6
1, 8, 3, 2, 5, 4, 7, 6

et pas un de plus, c'est mon dernier mot Jean Pierre!

bridgslam

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Re : Le facteur

Bonjour,

Non, il y en a bien 18 avec 8 maisons.
Déjà appelons $P_n$ le nombre de parcours du facteur commençons par 1 avec 2n maisons et vérifiant les contraintes.

En appelant $Q_n$ ceux qui se terminent par 2 parmi ces parcours, on a déjà $Q_n = (n-1)P_{n-1}$
Ainsi avec 8 maisons , comme $P_3 = 2$ il y a déjà 6 = 3x2  parcours possibles partant de 1 finissant en 2 (sur un total de 18).

Avec 10 maisons, il y a $4P_4 = 4 \times 18 = 72$ parcours 1 -> ...... ->2  sur $384$.

Vous pouvez par exemple reprendre tous les posts pour voir l'ensemble des idées des uns et des autres.
Le dénombrement brut sans tâtonner a des accointances assez rapprochées avec les dérangements, et de manière plus exacte avec le problème des ménages
(version linéaire), Glozi en a très bien circonscrit la question, et donné la formule exacte.

Des logiciels devant ( je pense) exister pour lister tous les graphes possibles répondant à quelques contraintes, surtout lorsque n est grand, la démarche peut-être automatisée.
Dans le cas de n=4 ( 8 maisons) , comme il n'y a que 3 types de graphes (bon exercice) , cela se fait aisément sur le papier.
J'ai été "à la main" jusqu'à inventorier les 16 types de graphes pour 10 maisons, c'est faisable sans logiciel, d'autant que des symétries apparaissent rapidement.

A.

Dernière modification par bridgslam (23-11-2023 15:13:51)

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Pierre CAMI

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Re : Le facteur

Bonjour à toutes et tous

bridgeslam affirme que 18 suites existent au total et ne donne aucune des 12 autres suites que j'aurai oubliées!
Trop facile surtout si bridgslam s'est trompé et donc me donne raison, en pure logique!
Ce qui se conçois bien en mathématiques s'écrit avec des chiffres quand on parle de nombres entiers naturels
surtout inférieurs à 10.
Je donne mes résultats, à bridslam de donner les siens si je me suis trompé.

Merci

Zebulor

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Re : Le facteur

Bonjour Pierre,
Si tu as une réponse argumentée comme celle de Glozi post 25, nous sommes tous preneurs.
Mieux : peux tu montrer qu’il s est trompé ?

Dernière modification par Zebulor (23-11-2023 15:37:39)

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bridgslam

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Re : Le facteur

Bonsoir Zebulor,

Visiblement, nôtre interlocuteur assez agressif ne lit pas tous les posts relatifs à une discussion donnée, notamment les listes déjà données:

14763852
14763258
14725836
14527638
14583276
14583672
16327458
16385274
16385472
16723854
16745238
16745832
18325476
18367254
18367452
18547236
18547632
18523674

Un travail qui vous fera avancer sera de voir à quel type de graphes (parmi 3) chacune se rattache.
Notez que celles se terminant par 2 apparaissent bien 6 fois.

J'espère que vous savez compter jusqu'à 18.

Content ?

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