Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#26 25-04-2021 18:48:17

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 411

Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

bonsoir,

pour l'image, il s'agit d'un puzzle sur

https://thejigsawpuzzles.com/


Sur le programme GeoGebra, j'ai fait un assemblage, car en 3D GeoGebra ne sait pas "lire" les équations (en général);

mais l'objet répond à une équation !

Dernière modification par Bernard-maths (25-04-2021 18:49:40)

Hors ligne

#27 26-04-2021 11:26:29

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 411

Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour à tous !

je ne vais pas m'éterniser sur mes dernière figures, en #22, si un matheux veut des précisions, je verrai avec lui pour des détails.

Ces détails sont un peu délicats à mettre à jour, alors ...

Je vais passer à quelques "principes" ou "méthodes" pour engendre des objets rayonnants.

Le 1er principe (si on peut dire), c'est de mettre un obet dans un autre, puis de faire grandir celui qui est dedans, jusqu'à ce qu'il atteigne son "enveloppe", puis qu'il déborde !

ALORS, déjà en chaque position de contact, en chaque point de contact on peut tracer une droite "rayon", puis lorsque ça déborde, on a une figure d'intersection des 2 objets initiaux, alors on trace un tube ayant cette intersection pour base ...

Je vais illustrer ça avec les 4 figures suivantes :

KDAmvNbDNZf_Objet-rayonnant-ex-1.jpg

On voit :en fig1 un quadrilatère ABCD vert avec un cercle rouge à l'intérieur. En fig2, r = 2.75, le cercle devient tangent en F au côté [CD], alors apparaît un rayon [FG) sous forme de demie droite ...

En fig3, r = 2.9, le cercle devient tangent en J au côté [BC], alors apparaît un rayon [JM) sous forme de demie droite. MAIS le rayon précédent s'est élargi ! Il est limité par les 2 demies droites [HK) et [IL) ...

Puis en fig4, les 2 premiers rayons s'élargissent encore, et pour r = 3.15, un autre rayon [MP) apparaît sur le côté [AB] ... etc ...

Le 2ème principe (si on peut dire), c'est de choisir comment va se comporter le rayon qui apparaît !

J'ai choisi de le voir sortir perpendiculairement au côté, comme mes 1ères équations le font, MAIS rien ne vous oblige à faire ça, en dehors de toute équation ! L'ARTISTE est libre ...

Du coup je n'ose plus parler de principe ... Mais de "conseils" peut-être ?

ALORS quand la figure intérieur a bien grandi, elle risque d'englober l'autre ... du coup les rôles sont inversés, et c'est  le contraire !

Voici un petit dessin en 3D ...

Dernière modification par Bernard-maths (26-04-2021 12:48:11)

Hors ligne

#28 27-04-2021 15:19:06

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 411

Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour à tous !

J'ai été interrompu, et j'ai laissé des fautes de frappe ! Vous aurez corrigé j'espère.

Je vais maintenant vous laisser quelques exemples, et programmes, de rayonnements en 3D.

KDBpqFhV54f_Rayonnement-sph%C3%A8re-de-octa%C3%A8dre.jpg

https://cjoint.com/c/KDBprzoZ1if

https://cjoint.com/doc/21_04/KDBprzoZ1i … -04-26.ggb

Voilà le 1er exemple : on y présente à gauche un tétraèdre rouge et vert, contenant une sphère noire, susceptible de déborder, selon les cercles oranges. A droite vous voyez 2 cas de rayonnements, r = 4.083 est le début (1ère valeur de r), en-dessous, r est plus grand ...

Si vous chargez le programme, en jouant sur le curseur de r vous verrez que ça peut grandir et déborder même !

Le 2ème curseur, lc, règle la longueur des rayons ...

Passons au 2ème exemple : il s'agit d'un rhombicuboctaèdre (voir mathcurve.com), avec une sphère  intérieure.
https://mathcurve.com/polyedres/rhombic … edre.shtml

KDBpSk3Qa2f_Rayonnement-sph%C3%A8re-de-rhombicubocta%C3%A8dre-1.png

https://cjoint.com/c/KDBpS5pkYff

https://cjoint.com/doc/21_04/KDBpS5pkYf … -04-26.ggb

Si vous chargez le programme, le rayonnement ne commence que pour r = 6, on voit des points apparaître, r= 6.01 ça commence les rayons, r > 6.01, les rayons grossissent. C'est pas fini !

Suite : Si r augmente les rayons grossissent. MAIS les faces triangulaires ont plus éloignées du centre que les faces carrées ! Alors les rayons des triangles apparaissent plus tard.

KDBqgZBWZJf_Rayonnement-sph%C3%A8re-de-rhombicubocta%C3%A8dre-2.png

Puis continuent de grossir jusqu'à être tangents aux côtés des carrés et triangles. Puis se débordent les uns sur les autres, et puis le rhombicuboctaèdre disparaît ! ... etc ...

Il s'agit d'un dessin, quand est-ce que la "réalité géométrique" fait place à "l'artiste" ?

Il est possible d'écrire une équation engendrant ces rayons (je ne l'ai pas fait, la flemme ...), assez complexe (?), et son étude pourrait nous éclairer ...

Bon, j'arrête pour ce soir. Désormais, sauf demandes explicites, je continuerai de temps en temps à alimenter cette discussion, avec d'autres exemples variés, et plutôt "artistiques".

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (27-04-2021 16:29:38)

Hors ligne

#29 04-05-2021 08:43:53

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 411

Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour à tous !

Je vous ai présenté en #21 des figures rayonnantes en 3D, avec les sphères.

Si vous connaissez l'Atomium de Bruxelles, vous pouvez constater que cette figure en représente les 8 sphères périphériques, reliées par les 12 tubes cylindriques. Alors, que manque-t-il pour compléter cet Atomium ?

KEeiPy67yOf_Atomium-2018-08.jpg

https://cjoint.com/doc/21_05/KEeiPy67yO … 018-08.jpg

La figure doit vous inspirer ... quelles méthodes pensez-vous pouvoir utiliser ?

Je vous laisse chercher, je repasserai bientôt pour vous proposer des manipulations !

@+, Bernard-maths

Hors ligne

#30 14-05-2021 13:10:27

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 411

Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonjour aux curieux !

Bon, je suis occupé sur plusieurs postes ! Donc je ne peux pas revenir "bientôt" ...

Alors je vais vous donner mon idée : je prends la boule du milieu et une des 8 boules. Je prends le centre de symétrie des 2 boules, et je crée l'effet de rayon entre ces 2 boules. ll reste à dupliquer cet effet en utilisant les symétries par apport aux 3 plans du repère, avec abs(x), abs(y) et abs(z) à la place des x, y et z de la formule obtenue ...On obtient alors la boule centrale avec les 8 boules, reliées par les cylindres "obliques".

En superposant les 2 figures, aux niveaux des 8 boules, on obtient la figure présentée.

Je ne l'ai pas encore fait en 3D, mais seulement en 2D ... Donc il faudra patienter ... "un peu" !

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (14-05-2021 13:12:48)

Hors ligne

#31 13-06-2021 18:46:01

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 411

Re : Les figures rayonnantes : principes, équations, et jolis dessins !

Bonsoir à tous !

J'ai été très occupé ces derniers temps, mais j'ai aussi bien réfléchi ! En plus, je me suis procuré le logiciel , qui, entre autres, permet de reproduire en 3D des figures par leurs équations, c'est un vrai plaisir !

Dans les discussions #16 et #21, je vous ai montré quelques variations sur des formules rayonnantes. Je vais vous indiquer ici la formule utilisée avec , et vous donner 4 exemples de figures évolutives.

En #15, je vous donnais la formule 2D : eq5 : (abs(xsi(abs(x))))^n + (abs(ysi(abs(y))))^n = r^n ..., qui devient en 3D :

abs(abs(abs(x) - x0 + a) + abs(x) - x0 - a)^n + abs(abs(abs(y) - y0 + a) + abs(y) - y0 - a)^n + abs(abs(abs(z) - z0 + a) + abs(z) - z0 - a)^n = (2*r)^n

La figure dépend d'un certain nombre de paramètres ... d'abord le point Oméga(x0;y0;z0), qui fixe l'aspect général de la figure, qui se développe autour des 8 sommets d'un parallélépipède rectangle, et la variable r, qui permet le développement autour des sommets, puis le long des 12 arêtes, et fixe les dimensions à : 2(x0+r), 2(y0+r), et 2(z0+r).

Puis l'exposant n qui donne la forme générale à chaque partie située à un sommet. Et aussi a qui règle la limite du rayonnement autour des 8 sommets.

Alors voici le "programme", à recopier avec soin sur "maple"  :


KFntAe1n3pv_Atom-programme-maple-2021-06-13.jpg

Et puis 4 "cinémas" de 6 figures.

Première série : des astroïdoctaèdres.
KFntELGrjCv_Atom-s%C3%A9rie-astro%C3%AFdale-2021-06-13.png

Deuxième série des octaèdres.
KFntFUDSTIv_Atom-s%C3%A9rie-octa%C3%A9drale-2021-06-13.png

Troisième série des sphères.
KFntGJXmITv_Atom-s%C3%A9rie-sph%C3%A9ro%C3%AFdale-2021-06-13.png

Quatrième série des drôles de cubes.
KFntHmJioGv_Atom-s%C3%A9rie-cubo%C3%AFdale-2021-06-13.png

Alors, comment ça marche ?

La 1ère figure est tracée pour r <= a. On obtient la figure de bas aux 8 sommets. Puis r dépasse "un peu" la valeur de a ... on voit apparaître des liaisons le long des arêtes. Les liaisons s'épaississent ... jusqu'à apparition (4ème figure) de plan qui bouchent les côtés !
Puis la figure grandit, et a tendance à faire une sorte de "boule". Voilà !

Plus tard je vous parlerai des variantes, nombreuses.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-06-2021 19:49:22)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt sept moins vingt neuf
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums