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#126 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral » 21-12-2010 23:27:01
Bonsoir,
yoshi a écrit:
Probablement, en effet, faut-il plutôt lire : lorsque cette différence de deux carrés est elle-même un carré, elle n'est jamais terminée par 7, parce qu'il parlait de Pythagore.
dans ce cas epilog aurait dû aussi écrire : ni par 2, ni par 3, ni par 8
Je ne sais pas comment vous trouvez qu'un résultat est un Entier, mais Pour affirmer qu'on obtient un entier, il me semble qu'il faut un contrôle par un calcul qui n'utilise que des additions, soustractions et multiplications opérant sur des Entiers : ceux donnés au départ et ceux supposés Entiers par le calcul effectué en float.
Par exemple, si on calcule avec python IDLE 2.6.2
>>> r=(7**0.5)**2-7
>>> r
on affiche r avec la valeur 8.8817841970012523e-16 au lieu de 0.0
Pourtant couramment on commence par extraire des racines carrées, on fait ensuite d'autres opérations dont des additions, soustractions, carrés etc...
Que l'imprécision des calculs ne vous empêche pas de programmer : Bonnes fêtes à tous
#127 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral » 21-12-2010 15:12:11
Bonjour,
[...] et le fait qu'une différence de deux carrés ne se termine jamais par 7....
Il ne faudrait pas que les collégiens et lycéens trouvent et croient ce genre d'assertion.
Contre exemple "évident" : 11² - 8² = 121 – 64 = 57 !!
Epilog a écrit :
...Calculons la somme FX+FY+FZ. Le résultat n'étonnera pas les "géomètres".
Bon, la somme vaut 282.116806…avec les cotés 241, 227, 59 pour XYZ.
N'ayant pas été "étonné", je me demande si je suis dans la catégorie des "géomètres" ?….
Merci à yoshi pour son initiation très simple à LaTex que j'ai réussi à imprimer sur une seule page A4.
Au plaisir de lire vos remarques,
gprbx
#128 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral » 20-12-2010 13:21:20
Bonjour,
Pour epilog : On ne cherche pas un point de Fermat (minimum de la somme des distances aux sommets)
mais un point dont les distances aux sommets sont des ENTIERS. ( 97, 185, 208 conviennent dans le triangle équilatéral de coté 273)
Merci Yoshi, je n'avais pas pensé à cette touche ² que je n'utilise jamais
dorénavant j'écriai x² au lieu de x*x
et je redonne la démonstration plus clairement :
Soit ABC un triangle équilatéral de coté t ENTIER
Soit M sur la hauteur issue de C et tel que AM = a et CM = c soient des ENTIERs
Posons :
t² - a² = R
t² + 2a² - c² = S
alors t, a, c vérifient l'invariant R² = c²S
(On trouve l'invariant en exprimant c fonction de a, puis en isolant les racines carrées en premier membre et en élevant au carré les 2 membres de l'équation. Il faut en l'occurrence le faire 2 fois)
il faut donc que S soit un carré S = k² avec k ENTIER
alors R = ck
on a donc les 2 équations :
2t² - 2a² = 2ck
t² + 2a² - c² = k² que l'on additionne :
3t² = (k+c)² or 3 ne peut être le carré d'un entier C.Q.F.D.
Espérant être clair....
#129 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral » 19-12-2010 19:41:42
Bonjour,
Dans le problème posé, on peut démontrer qu'il n'y a jamais de point M sur les hauteurs du triangle. en effet :
Soit ABC un triangle équilatéral de coté t ENTIER
Soit M sur la hauteur issue de C et tel que AM=a et CM=c soient des ENTIERs
Posons :
(t*t)-(a*a)=R
(t*t)+(2*a*a)-(c*c)=S
alors t,a,c vérifient l'invariant R*R=c*c*S
(On trouve l'invariant en exprimant c fonction de a, puis en isolant les racines carrées en premier membre et en élevant au carré les 2 membres de l'équation.)
il faut donc que S soit un carré S=k*k avec k ENTIER
alors R=c*k
on a donc les 2 équations :
2*(t*t)-2*(a*a) =2* c*k
(t*t)+(2*a*a)-(c*c)=k*k que l'on additionne :
3*t*t = (k+c)*(k+c) or 3 ne peut être le carré d'un entier C.Q.F.D.
Je n'ai pas su écrire comme sur papier x élevé au carré....
et l'éditeur d'équation me demande de revenir à une version antérieure de JAVA, ce qui ne m'intéresse pas...
#130 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral » 17-12-2010 19:10:24
Bonjour,
Si on trouve un point à l'intérieur d'un triangle équilatéral, et en dehors des hauteurs, on en déduit 5 autres par symétrie par rapport à une hauteur puis par rotations de 120°.
Le plus petit triangle équilatéral dont le coté est un entier, et ayant un point M interne dont les distances aux sommets sont des entiers, a pour coté 112, les distances sont 57, 65, 73.
Le triangle de coté 273 a bien un point M interne dont les distances sont 97, 185, 208 comme déjà trouvé.
Possèdent la même propriété les triangles de coté 147, 185, 283, 331 qui possède 2 fois la propriété, 370 etc.
Un programme qui calcule en flottant (double) comme VisualBasic est très rapide pour trouver ces solutions.
Mais quand une solution est trouvée, il faut la vérifier en ARITHMETIQUE ENTIERE (que des additions, soustractions et multiplications) : PYTHON est alors un outil idéal, car on arrive à comparer exactement des valeurs d'entiers comportant autour de 20 chiffres. On ne peut se fier à une précision absolue limitée à 10 chiffres après la virgule (flottant double en VB) pour garantir un entier !
Le programme en PYTHON de vérification peut être utilisé pour rechercher les solutions, mais alors il est tellement lent que la recherche est rédhibitoire.
Je peux transmettre mes sources documentées...moins de 40 lignes en VB, moins de la moitié en Python,
plus la méthode de contrôle en arithmétique entière.