Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut à toi Justin

Tu m'as l'air d'avoir l'esprit passablement embrouillé, jeune padawan. Je commencerai par te signaler que l'intégrale d'une fonction réelle sur un intervalle réel n'est pas non plus une surface, mais une différence entre deux surfaces. L'intégrale d'une fonction complexe sur un intervalle réel est donc constituée de deux différences de deux surfaces.
Plus de détails dans ce sujet, le tout dernier post.

Pour ce qui est des intégrales curvilignes, la subtilité est dans le terme "courbe" qui désigne en fait des courbes paramétrées (qui ne sont pas des courbes au sens usuel). Il est pratique de voir les courbes paramétrées simplement comme leur image géométrique à laquelle on adjoint une orientation. Mais cette vision a ces limites : la courbe qui fait 30 fois le tour du cercle unité a même image géométrique que celle qui n'en fait qu'une fois le tour.
En fait il faut vraiment voir ces courbes paramétrées comme des fonctions qui vont immerger un intervalle réel dans le plan complexe. Regarder l'intégrale curviligne d'une fonction sur une telle courbe consiste alors à tirer en arrière la fonction par la paramétrisation pour aller l'intégrer dans R. J'ai peur hélas que cette interprétation géométrique soit d'un niveau trop élevé pour toi, il faudra attendre l'an prochain ;-)

Hello Samo

Google est ton ami : http://www.irit.fr/~Jean-Denis.Durou/EN … 02.html#p3
Avec un zeste de produit de convolution en plus, tu obtiendras ce que tu cherches.

Cette page te sera également fort utile au cas où tu aurais oublié les propriétés fondamentales de la transformation de Fourier. Elle contient d'ailleurs tout ce qu'il te faut pour effectuer tes calculs :-)

Bonsoir à toi.

Si tu passes un peu plus de 5 minutes à relire attentivement la réponse de thadrien, tu te rendras compte que ce que tu avances est manifestement faux. La condition pour annuler u, c'est d'être un multiple du polynôme *minimal*, et non caractéristique.

Pour te mettre les points sur les i, voici un contre-exemple évident avec l'identité. Je te laisse vérifier que P=(X-1)(X-2)....(X-n) est un polynome annulateur de degré n de l'identité, et pourtant il n'a rien à voir avec son polynôme caractéristique. En fait tout multiple de X-1 annulera l'identité, et en degré n tu trouveras pléthore de tels multiples.

Désolé de ne pas me montrer indulgent, mais l'intervention de Yoshi et ta réponse irréfléchie m'ont hérissé le poil >:@

Salut panolé

héhé un grand classique :)

Tu as sûrement déjà dû entendre parler des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d'une matrice, et sans doute sais-tu que ces opérations peuvent se faire en multipliant par des matrices élémentaires (transvection, dilatation). Si ce n'est pas le cas, vas voir sur wikipedia ou ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ction.html
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ation.html
et fais quelques essais pour voir comment ça marche.

Maintenant, rien ne t'empêche d'utiliser de telles matrices élémentaires en mettant dedans des blocs matriciels au lieu de coefficients. Il te suffit donc de résoudre ton problème à l'aide d'opérations élémentaires sur les blocs, de bien regarder à chaque fois ce qui se passe pour le déterminant, et le tour sera joué :)

Erf, les probas c'est nouveau pour moi aussi, j'ai arrêté il y a bien des années quand j'étais en terminale, et à l'époque on n'y parlait pas encore de variables aléatoires. Il y a quelques heures de ça je ne savais même pas ce qu'était la loi forte des grands nombres ^^

Je pense que tu utilises trop de n ici et que tu t'emmêles les pinceaux ^^ Ne confonds pas les N répétitions de l'expérience, qui changent la totalité des données (espace probabilisé, mesure et tout le toutim), et tes n variables aléatoires. Lancer N D6 (l'un après l'autre), ça veut dire se placer dans un espace ou il existe au moins les [tex]6^N[/tex] états auxquels on pense. Lancer N D6 simultanément, si les dés sont indiscernables, ça change l'espace probabilisé : il y a moins d'états possibles (par exemple {3,5,1,3}={3,3,1,5}), mais les états ne sont plus équiprobables.
Un exemple de vecteur aléatoire avec N=1 tirage : le couple "(parité, reste modulo 3)". Ça revient à regarder simultanément les variables aléatoires "parité" et "reste modulo 3" du résultat, mais ça ne change en rien l'expérience.

Dans la preuve d'indépendance dont tu parles, ton problème étudié / espace probabilisé est fixé au départ (par exemple : [tex]\{1,\ldots,6\}^{\mathbb{N}}[/tex]), et c'est l'espace d'arrivée (mesuré ou juste mesurable) qui varie (n fois [tex]\mathbb{R}[/tex] ou 1 fois [tex]\mathbb{R}^n[/tex]). Le truc à garder en tête, c'est que changer l'espace d'arrivée ça compte pour du beurre : en fait à chaque variable aléatoire que tu définis tu peux changer l'espace d'arrivée, tandis que changer celui de départ est un changement radical, qui correspond à changer le problème étudié.

En ce qui concerne les lois marginales d'un vecteur, regarde par ici. Je ne connais pas cette terminologie, mais il me semble que c'est juste une façon concise de dire qu'on regarde la loi d'une des composantes du vecteur aléatoire. Les lois marginales se déduisent donc de la loi du vecteur, et on ne peut rien dire de plus a priori. Si les composantes sont indépendantes par contre, on peut reconstruire la loi du vecteur (?).

Enfin pour la notation, [tex]\mathbb{P}[X_1\in A,X_2\in B][/tex] désigne bien [tex]\mathbb{P}\big(X_1^{\ <-1>}(A)\cap X_2^{\ <-1>}(B)\big)[/tex]. Histoire de me clarifier l'esprit j'ai écrit un peu les choses...

Fixons-nous un problème (donc un [tex](\Omega,\mathcall{\Sigma},\mathbb{P})[/tex]), et étudions deux variables :
[tex]X_1:\Omega\to (E,\mathcal{E},\mu)[/tex]
[tex]X_2:\Omega\to (F,\mathcal{F},\nu)[/tex]
On définit alors une troisième variable, la variable "produit", à valeurs dans l'espace mesuré produit :
[tex]X_3=(X_1,X_2):\Omega\to (E\times F,\langle A\times B\ ;\ A,B\in\mathcal{E,F} \rangle,\mu\otimes\nu)[/tex]
(muni de la tribu engendrée par les produits et le cas échéant de la mesure produit, définie à base de : [tex]\mu\otimes\nu(A\times B)=\mu(A)\nu(B)[/tex])

La notation [tex]\mathbb{P}[X_1\in A,X_2\in B][/tex] est juste un raccourci pour [tex]\mathbb{P}[X_3\in A\times B][/tex]. Ça n'est pas plus abusé que de noter f(x,y) pour une fonction [tex]\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/tex] : on devrait noter f((x,y)).

J'espère que ça t'aidera, en tout cas ça moi m'a permis de me mettre un peu à la page xD

@ Freddy : les probas c'est le maaal, ça devrait être interdit ^^

Bonsoir à toi

Je suppose que ton produit scalaire n'est pas le produit usuel, sinon ta question n'a pas de sens (la base canonique serait alors nécessairement orthonormée). Je vais noter [tex]\phi[/tex] ton produit scalaire.

Il suffit de revenir à la définition d'endomorphisme symétrique. Notons [tex]M=\big[\phi(b_i|b_j)\big]_{1\leqslant i,j\leqslant n}[/tex] la matrice de [tex]\phi[/tex] dans [tex]b[/tex]. Dire que [tex]f[/tex] est [tex]\phi[/tex]-symétrique signifie :
[tex]\forall\ x,y\in \mathbb{R}^n,\ \phi(fx,y)=\phi(x,fy)[/tex]

Matriciellement, celà signifie :
[tex]\forall\ X,Y\in M_{n1}(\mathbb{R}),\ (AX)^*MY=X^*A^*MY=X^*M(AY)[/tex]
et donc : [tex]A^*M=MA[/tex]

La condition pour que [tex]f[/tex] soit symétrique pour [tex]\phi[/tex] n'a donc rien à voir avec le fait que [tex]A[/tex] soit symétrique dans [tex]b[/tex]. Si [tex]b[/tex] est [tex]\phi[/tex]-orthonormée, alors [tex]M=I[/tex] et tu retombes sur tes pattes.

Réponse : si [tex]b[/tex] n'est pas orthonormée, alors c'est cui-cuit.

Yop Valentin,

Il s'agit de ce [tex]{p}_{i}[/tex]-là. C'est la définition même des paramètres d'une loi binomiâle, si je ne m'abuse.

(O_o?) Oui, et cette base est (1). Que voulais-tu dire exactement ? Que [tex]\mathbb{C}_2[X][/tex] a la même base en tant que R- et C-espace ? C'est manifestement faux :
[tex]dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}_2[X]=dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\times dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C}_2[X] = 6[/tex].

La réponse de Picatshou est correcte, a une broutille près : le mot "canonique" est un peu ambigu dans cet exemple. Par exemple, pour moi la base canonique du R-espace [tex]\mathbb{C}_2[X][/tex] serait (1,i,X,iX,X²,iX²) dans cet ordre. L'ennui c'est que rien ne justifie mon choix plutôt que celui de Picatshou, ou le contraire.

Je serai curieux d'avoir le détail du calcul en dimension supérieure ? Bêtement j'ai pris l'angle dans la sphère ad'hoc ([tex]\theta\in S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n[/tex]) et là j'ai dû calculer le jacobien du changement de variables entre [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et ... une variété ! (et là c'est dur). Comment qu'y faut fezé ?

EDIT : Je dis n'importe quoi ^^;
Avec des variétés on intègre des formes différentielles et non des fonctions, il n'y a donc pas d'histoire de jacobien. Et il est effectivement facile de voir que [tex]P^*\det=dr\wedge(r^{n-1}\,d\theta)[/tex] !

GK, rouillé

N'hésites pas à revenir te plaindre si tu ne comprends rien à mon lien ^^

L'astuce à utiliser y est donnée, même si ici on peut le présenter de façon beaucoup plus simple : méthode des tiroirs de Dirichlet ;-)

Bien vu, j'avais complètement oublié ce théorème, qui utilise la partition en atomes. (La preuve est d'ailleurs sur Wikipédia) :-)

Ok, je vois ^^ As-tu au moins essayé de regarder les exemples que je t'ai donnés ?

Analysons ensemble l'énoncé. On a un ev muni d'une forme quadratique. C'est l'objet le plus compliqué de l'énoncé, donc on se met en bonnes conditions pour le simplifier : d'après la réduction de Gauss (ou l'inertie de Sylvester, c'est pareil), il existe une base [tex](e_1,\ldots,e_n)[/tex] de E dans laquelle Y est une somme de carrés (munis de signes) :
[tex]Y(u_1,\ldots,u_n) = -u_1^2 - \ldots - u_p^2 + u_{p+1}^2 + u_{p+q}^2 + 0[/tex]
où n = p+q+k, avec k la dimension du noyau de Y. Là-dessus on nous donne une autre base de E, qui elle peut être disposée n'importe comment par rapport à Y, mis à part la "condition bizarre". Dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] muni de Y = produit scalaire standard, cette condition dit que les vecteurs de la base [tex](v_1,\ldots,v_n)[/tex] forment tous des angles obtus, comme par exemple les branches d'une molécule d'eau en dimension 2, ou celles d'une molécule d'ammoniac en dimension 3.

On se sert de cette base bizarre pour générer un certain polytope P, i.e. un polygone généralisé (avec des faces, des arrêtes, etc, mais ici un seul sommet : 0). En dimension 2 c'est un "quart de plan" ([tex]\{x_1\geq 0, x_2\geq 0\}[/tex]), en dim 3 un "huitième d'espace", etc. On nous dit alors que Y est partout positive sur P, autrement dit que P est inclus dans le cône positif de Y (ce qui restreint nettement les possibilités).

Ensuite la question : on coupe P suivant le noyau K de Y. On obtient une certaine figure dans K qui est elle aussi un "polygone généralisé", que j'ai appelé Q. On te demande de montrer que les éléments de Q engendrent l'espace K tout entier.

On prend donc un élément x quelconque dans K\Q, le but du jeu est de montrer qu'il est combinaison linéaire des éléments de Q.

C'est là que plusieurs méthodes se présentent, algébriques ou/et topologiques... et c'est là que je t'ai demandé dans quel contexte tu as eu cette question : est-ce un problème d'examen, un exercice ? quel est le titre du chapitre, quels théorèmes as-tu étudiés ? Si c'est de la géométrie projective ou algébrique, ça change grandement l'angle d'attaque !