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Je ne comprend pas très bien comment utiliser le développement limité ici.
Taylor d'ordre 1 au voisinage de [tex]\epsilon[/tex] nous donne
[tex]
f(x)= f(\epsilon) + (x-\epsilon) \psi(x)
[/tex]
où
[tex]
\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt
[/tex]
mais comment on l'utilise?

Ah! Oui, oui c'est vrai. Mais quel est [tex]sup_{x \in \mathbb{R}| |D^\alpha \varrphi_n - D^{\alpha+1} \varphi|[/tex]? Il me semble que c'est 0. Non?

oui, c'est [tex]|\psi'(x) - \psi'(x)|=0[/tex], donc [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex] vers [tex]\varphi '[/tex].

Pour la question 1 sur le support de [tex]\varphi'[/tex]: si [tex]\varphi[/tex] est nulle au voisinage de x, alors [tex]\varphi'[/tex] est aussi nulle au voisinage de x, ce qui veut dire que le support de [tex]\varphi'[/tex] est inclus dans le support de [tex]\varphi[/tex]. Mais d'un autre côté, il y a des points où la dérivée est nulle mais la fonction n'est pas nulle, donc le support de la dérivée me parraît plus large que celui de la fonction. Non?

Je ne comprends pas.
On cherche d'abord à calculer
[tex]
D^\alpha (n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)])= n D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}) - n D^\alpha (\varphi(x)).
[/tex]
Maintenant, pour [tex]\alpha=1[/tex], on a:
[tex]
D(n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)])= n[\varphi'(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi'(x)].
[/tex]
Mais dans le cas général [tex]\alpha >1[/tex], pourquoi [tex]g^{(\alpha)}=1[/tex]? et qu'est ce que vous notez g?
Merci pour votre aide.

Bonjour,
je reviens à ce problème.
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}[/tex], et pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] on définit la suite
[tex]\varphi_n(x)= n [\varphi(x+\dfrac{1}{n}) - \varphi(x)][/tex].
La question est de montrer que [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}[/tex].
La limite simple est [tex]\varphi'(x).[/tex]

1. Si on dit que [tex]Supp \varphi_n[/tex] est inclus dans un compact [tex][-R,R][/tex], que dire de [tex]Supp \varphi[/tex]?

2. Pour la convergence uniforme des dérivées, on dit: soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}[/tex]. On a:
[tex]
\lim_{n \to +\infty} |D^\alpha \varphi_n(x)- D^\alpha \varphi(x)| = \lim_{n \to +\infty} |n^\alpha [D^\alpha \varphi(x+\dfrac{1}{n}) - D^\alpha \varphi(x)] - D^{\alpha+1} \varphi(x)|
[/tex]
Comment calculer cette limite?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

et dans ce cas, on ne peut pas noter
[tex]<vp^+ \dfrac{1}{x}, \varphi > = \displaystyle\int_0^R \dfrac{\varphi(x)- \varphi(0)}{x} dx[/tex], non?
surtout que cette notation n'est pas connue. Non?

S'il te plaît, est ce que tu peux me montrer un livre ou une référence où l'on trouve la définition équivalente de la valeur principale eyt la définitrion de la partie positive de la valeur principale?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Par réccurence, je trouve que T qui vérifie [tex]x^n T=0[/tex] est la solution de [tex]x^{n-1}T=s_1[/tex] où [tex]s_1[/tex] est solution de [tex]x L=0[/tex].
Mais ça m'a l'air trop compliqué, en fait je n'ai aucune idée du schéma à suivre pour trouver la solution. Aidez moi à comprendre s'il vous plaît.

1. et l'écriture
[tex]
\dfrac{\Phi}{x}= \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}
[/tex]
n'est pas permise puisqu'on ne peut pas diviser sur x pour tout x. non?

2. et on ne peut pas calculer
[tex]
<g,  \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}>
[/tex]
puisque justement, on ne connait pas [tex]\psi[/tex]. Dans le cas où par exemple g=H, que vaudrai
[tex]
<g,  \dfrac{\varphi}{x} - \varphi(0) \dfrac{\psi}{x}>
[/tex]?
s'il vous plaît

J'ai une autre équation un peu compliquée pour moi s'il vous plaît.
Comment trouver toute les distributions T telle que [tex]x^n T=0[/tex], où [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], et comment en déduire la solution générale de [tex]x^n T= \delta[/tex]?

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Je pense qu'il y a une erreur dans le post 6. On ne peut pas écrire
$\displaystyle <T,\Phi> = <T,\varphi> - \varphi(0) < T,\psi> = <xT, \dfrac{\varphi}{x}> + \varphi(0) c
            = <g, \dfrac{\varphi}{x}> + <c\delta_0,\varphi>$

puisqu'on est dans le cas général, [tex]\varphi[/tex] est quelconque, et donc [tex]\dfrac{\varphi(x)}{x}[/tex] n'est pas une fonction test. Non?

Je vous remercie pour votre aide.

Ca nous donne que
[tex]
g'' H + g'(0) \delta + g(0) \delta' - 4g H = \delta'
[/tex]
il faut donc determiner la fonction g pour que le membre de droite soit égale à [tex]\delta'.[/tex]
Pour ca, il faut que [tex]g(à)=1[/tex] et [tex]g''H -g H =  [/tex]?
comment on trouve le g? s'il vous plaît