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#126 Entraide (supérieur) » solution maximal ou global » 13-09-2018 12:22:30
- mati
- Réponses : 1
Bonjour
si on a le problème
$$
\partial_t u -\Delta u + F(u)= f(x,t), t > 0, x \in \mathbb{R}^n
$$
$$
u(x,0)=u_0.
$$
où $f: [0,T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.
1- c'est normal de considérer le problème pour tout $t>$ puis de définit $f$ pour $t \in [0,T]$? Dans ce cas $T$ est fixé ou bien $T=+\infty$?
2- Si on montre que ce problème admet une solution u définie sur $[0,T] \times \mathbb{R}^n$, est-ce que cette solution est dite maximale ou globale?
3- c'est quoi l'intérêt de montrer que la solution est définie sur $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^n$ au lieu de $[0,T] \times \mathbb{R}^n$
Merci d'avance.
#127 Entraide (supérieur) » Séries de Fourier » 30-06-2018 19:08:42
- mati
- Réponses : 1
Bonjour,
comment écrire le développement en série de Fourier d'une fonction $f(x,t)$ - $1$ périodique en $x$ définie sur $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+$?
Je sais comment developper une fonction en dimention 1 mais il est difficile pour moi de développer une fonction définie sur $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+$
Merci par avance.
#128 Entraide (supérieur) » Fourier des fonctions à decroissance rapide » 18-06-2018 12:16:50
- mati
- Réponses : 1
Bonjour,
si on note $S(\mathbb{R}^n)$ l'espace des fonctions à décroissance rapide. Je cherche un document où je peux trouver la preuve que
1. Fourier est une application linéaire et continue de $S(\mathbb{R}^n)$ dans $S(\mathbb{R}^n)$.
2. La transformée de Fourier $F: S(\mathbb{R}^n) \to S(\mathbb{R}^n)$ est un isomorphisme.
Merci par avance pour toute aide.
#129 Re : Entraide (supérieur) » déduire une intégrale de Fourier » 16-05-2018 19:12:30
Alors on dit que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et par Planchrel
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(2 \pi x) . g(2 \pi x) dx.
$$
c'est correct?
#130 Entraide (supérieur) » déduire une intégrale de Fourier » 15-05-2018 23:22:51
- mati
- Réponses : 3
Bonjour
j'ai l'exercice suivant
1- Soit $a>0$ et soit la fonction $f$ définie par $f(x)= e^{-ax} \chi_{[0,+\infty[}(x)$. Calculer $Ff$.
2- Soit la fonction $g$ définie par $g(x)= e^{ax} \chi_{]-\infty,0[}(x)$. Calculer $Fg$0
3. Déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$.
Pour les questions 1 et 2 je trouve ceci: $Ff(\xi)= \dfrac{1}{i \xi +a}$ et $Fg= \dfrac{1}{a-i\xi}$.
Comment on déduit l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$?
J'ai essayé d'écrire que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et après je bloque pour la suite
Merci par avance de m'aider à achever cette question.