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Sinon, pour corriger ma rédaction précédente. On note :

[tex]K_1=\{f-g\,,g\in K\}[/tex]

[tex]K_1[/tex] est un compact.

La fonction [tex]f:h\in K_1\to\lvert\lvert h\rvert\rvert_I[/tex] est continue sur le compact [tex]K_1[/tex] donc y est bornée et atteint ses bornes. Ainsi [tex]\exists u\in K_1[/tex] tel que [tex]f(u)=inf_{h\in K_1}\lvert\lvert h\rvert\rvert_I[/tex].

Ce qui donne l'égalité :

[tex]\lvert\lvert u\rvert\rvert_I=inf_{h\in K_1}\lvert\lvert h\rvert\rvert_I[/tex].

Puisque [tex]u\in K_1[/tex] alors il existe [tex]p\in K[/tex] tel que [tex]u=f-p[/tex].

De même, puisque [tex]h\in K_1[/tex] alors il existe [tex]p'\in K[/tex] tel que [tex]h=f-p'[/tex].

On obtient alors l'égalité :

[tex]\lvert\lvert f-p\rvert\rvert_I=inf_{p'\in K}\lvert\lvert f-p'\rvert\rvert_I[/tex].

Reste à montrer que :

[tex]inf_{p'\in K}\lvert\lvert f-p'\rvert\rvert_I=inf_{p'\in \mathbb{R}[X]}\lvert\lvert f-p'\rvert\rvert_I[/tex].

Est-ce bien cela ?

Je vois.
J'essaye de le rédiger.
Je note :

[tex]K=\{\lvert\lvert f-g\rvert\rvert_I\le 1+m\,,g\in\mathbb{R}_n[X]\}[/tex] et [tex]K_1=\{f-g\,,g\in\mathbb{R}_n[X]\}[/tex]

[tex]K[/tex] et [tex]K_1[/tex] sont deux compacts.

La fonction [tex]f:h\in K_1\to\lvert\lvert h\rvert\rvert_I[/tex] est continue sur le compact [tex]K_1[/tex] donc y est bornée et atteint ses bornes. Ainsi [tex]\exists u\in K_1[/tex] tel que [tex]f(u)=inf_{h\in K_1}\lvert\lvert h\rvert\rvert_I[/tex].

Ce qui donne l'égalité :

[tex]\lvert\lvert u\rvert\rvert_I=inf_{h\in K_1}\lvert\lvert h\rvert\rvert_I[/tex].

Puisque [tex]u\in K_1[/tex] alors il existe [tex]p\in\mathbb{R}_n[X][/tex] tel que [tex]u=f-p[/tex].

De même, puisque [tex]h\in K_1[/tex] alors il existe [tex]p'\in\mathbb{R}_n[X][/tex] tel que [tex]h=f-p'[/tex].

On obtient alors l'égalité :

[tex]\lvert\lvert f-p\rvert\rvert_I=inf_{p'\in\mathbb{R}_n[X]}\lvert\lvert f-p'\rvert\rvert_I=m[/tex].

Qu'en dites-vous ?

PS : je vois pourquoi K est compact (intersection de deux fermés et en plus borné). Mais comment justifier que K_1 l'est ?

Bonjour,

en refaisant la démonstration, je m'aperçois qu'il y a une coquille.
En effet, dans les grandes lignes, je montre que :

$\lim_{n}\lvert\lvert f-p_{\phi(n)}\rvert\rvert_I=\lvert\lvert f-p\rvert\rvert_I$ (1)

Et ensuite, je veux montrer que :

$\lim_{n}\lvert\lvert f-p_{\phi(n)}\rvert\rvert_I=\lim_{n}\lvert\lvert f-p_n\rvert\rvert_I=m$ (2)

Pour conclure par unicité que :

$\lvert\lvert f-p\rvert\rvert_I=m$ (3)

Or, pour montrer (2), je dois pouvoir écrire que :

$\lim_{n}p_{\phi(n)}=\lim_{n}p_n$

Mais suite et suite-extraite ont même limite qu'à condition que la suite de départ converge. Or on ne montre pas que c'est le cas. On montre seulement que $\lim_{n}\lvert\lvert f-p_n\rvert\rvert_I=m$.

Qu'en pensez-vous ?
Est-ce que j'ai mal compris la démonstration ?
Merci encore de votre aide !

Bonsoir,

je vois. D'après la définition, on sait que :
$m=inf_{p\in\mathbb{R}_n[X]}\lvert\lvert f-p\rvert\rvert_I$

Donc :
$\forall\epsilon>0,\quad\exists p_n\in\mathbb{R}[X],\quad m\le\lvert\lvert f-p_n\rvert\rvert_I\le m+\epsilon$

Ainsi, avec $\epsilon=\frac{1}{n}>0$, on obtient :
$m\le\lvert\lvert f-p_n\rvert\rvert_I\le m+\frac{1}{n}$

Par le th. des gendarmes, on déduit que $\lim_n\lvert\lvert f-p_n\rvert\rvert_I=m$.

Donc la suite $(\lvert\lvert f-p_n\rvert\rvert_I)_n\subset K$ converge vers $m$.

Suis-je dans la bonne direction ?