Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Eh bien commence par nous dire ce que tu as trouvé et comment, et où tu coinces exactement. Quelles questions t'es-tu posé, qu'as-tu trouvé comme réponse, etc.

Si vraiment tu ne trouves rien en essayant, alors soit tu n'as pas les connaissances pour faire cet exercice (ça arrive), soit il faut modifier ta méthode de travail. Je vais supposer que c'est la seconde hypothèse et attendre de tes nouvelles.

La réponse à ta question est non de façon triviale. Mais comme tu t'évertues à poser des questions en attendant la réponse au lieu d'essayer de réfléchir, je te laisse en chercher tout seul la raison.

Sans rancune,
GK

Il te suffit de te poser ces deux questions :
- Comment trouve-t-on la courbe représentative d'une fonction réciproque ?
- Géométriquement, à quoi correspondent ces deux intégrales ?

Et la réponse devrait s'ensuivre :-)

Oki, je vois ^^

Il te suffit d'utiliser la présentation canonique de ton quotient [tex]\pi:\mathbb{C}[X,Y]\twoheadrightarrow A[/tex], comme pour [tex]\mathbb{C}[/tex] : tu utilises que [tex]X^2+1[/tex] est de degré 2, donc [tex]\mathbb{C}[/tex] est un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace de dim 2, et sa structure d'anneau est engendrée à l'aide de la relation [tex]i^2=-1[/tex].

Ici c'est à peine plus dur. Commençons par remarquer que [tex]\mathbb{C}[X][/tex] s'injecte dans A : en effet, si on restreint [tex]\pi[/tex] à [tex]\mathbb{C}[X][/tex], on voit que le noyau [tex]\mathbb{C}[X]\cap I[/tex] est nul, donc on a bien une injection. Ensuite, il nous faut rajouter le deuxième générateur Y de A (générateur au sens des anneaux). Et là on voit que la seule puissance [tex]Y^1[/tex] suffit à générer tout le monde dans A (au sens des [tex]\mathbb{C}[X][/tex]-modules), puisqu'à partir de la puissance 2, [tex]Y^2=-1-X^2\in\mathbb{C}[X][/tex].

Donc en tant qu'espace vectoriel (ou même [tex]\mathbb{C}[X][/tex]-module) : [tex]A = \mathbb{C}[X]\oplus Y\mathbb{C}[X][/tex], et la structure d'anneau est générée par [tex]Y^2=-1-X^2[/tex] (alliée au produit standard, comme les a+ib dans [tex]\mathbb{C}[/tex]).

Du moins si j'ai pas dit de bêtises, ça fait un moment que j'ai pas quotienté d'anneau ^^

Si tu veux t'entraîner, voici une série d'exercices simples à faire :

On considère un groupe [tex](G,\cdot)[/tex] d'ordre [tex]|G|=n[/tex]. On rappelle que l'ordre [tex]|g|[/tex] d'un élément [tex]g[/tex] est le plus petit entier naturel [tex]\omega[/tex] tel que [tex]g^{\omega}=1_G[/tex].

1) Montrer que l'ordre d'un élément est égal à l'ordre du sous-groupe qu'il engendre : [tex]<g>=\{g^k\,;\,k\in\mathbb{Z}\}[/tex]. En déduire que [tex]|g|\,|\,n[/tex].
2) Montrer que l'ordre d'un élément est invariant par isomorphisme : [tex]\forall\phi:G\widetilde{\longrightarrow} H\,,\,|\phi(g)|=|g|[/tex].
3) Montrer que [tex]G[/tex] est cyclique si et seulement si il admet au moins un élément d'ordre [tex]n=|G|[/tex].

En particulier, 2) et 3) entraînent ta proposition. 3) entraîne aussi que les groupes [tex]\mathbb{Z}/4[/tex] et de Klein ([tex]\mathbb{Z}/2^2[/tex]) ne sont pas isomorphes : il suffit de compter pour chacun le nombre d'éléments d'ordre 2. Ce sont des propriétés de base à bien garder en tête ;-)

@ Mohamed : je crois que la remarque de Imed était en rapport avec l'implication : cardinal premier => cyclique. Mais hélas, la réciproque est fausse, la non-primalité de 4 ne nous intéresse pas. Ce qui nous intéresse plus c'est que 4 est non-radical, mais ça dépasse le cadre de cette discussion ;-)

Ah pardon, ma faute, j'ai lu trop vite :S

Dans ce cas il me semble que la réponse est non en général. Si je prends [tex]c_1[/tex] ou [tex]c_2[/tex] nul, tu es en train de demander si être solution d'une des deux sous-équations implique d'être solution de l'autre.

Regardons ce que ça donne avec une seule dimension : une fonction c vérifie [tex]\partial_x^2c=0[/tex] ssi elle est de la forme c(x,t)=a(t)x+b(t). Pour une telle fonction, la première sous-équation signifie que [tex]\dot{a}x+\dot{b}+ua=0[/tex]. Et là c'est fichu : si je prends [tex]c_2=t[/tex] tout simplement, [tex]0\cdot c_1 + 1\cdot c_2[/tex] n'est pas solution de ton équation de départ.

Du moins si j'ai pas fait de bêtises cette fois-ci ^^

EDIT : renommage des équations pour plus de clarté.

Héhé

Ne te laisse pas déstabiliser par ce résultat : tu penses à ta précision en base 10, donc toi tu découpes mentalement tes intervalles en 10 pour placer tes nombres. La dichotomie fonctionne en base 2, il est donc normal qu'elle aille beaucoup moins vite que le nombre de décimales demandées ;-)

Essaye un peu décrire [tex]10^{-10}[/tex] en base 2 pour voir ^^

@ freddy : à sa décharge, je n'ai pas non plus été très poli ^^

Mes excuses alors Inou ^^ Mais au moins maintenant j'ai matière à te répondre ;-)

Tâchons de mettre les choses à plat. Tu as une fonction réelle j dépendant d'une variable i, et tu souhaites différentier max(0,j(i)) (que l'on note en général [tex]j_+(i)[/tex]). Tu n'as pas besoin de la différentielle du max pour ça ! En fait il y a deux possibilités : ou bien à chaque fois que ta fonction j(i) s'annule, elle s'annule en faisant un "plat" c'est-à-dire dj(i)=0, auquel cas j+ est différentiable avec dérivée nulle (mais attention, pas [tex]C^2[/tex] a priori). Ou bien [tex]dj(i)\neq0[/tex] admet au moins une direction dans laquelle elle est non nulle, auquel cas il n'y a rien à faire : la composée n'est pas différentiable, tu ne peux donc pas la différentier. C'est un peu le même principe que la valeur absolue d'une fonction qui s'annule.

Maintenant si la différentielle du max t'intéresse : le max est différentiable partout en dehors de la droite {y=x}, de différentielle dx là où il vaut x (x>y), et dy là où il vaut y (y>x). Là encore, rien à faire le long de {y=x}, il n'y a pas de différentielle.

Si vraiment tu as besoin de différentier dans un mauvais cas, il faudra trouver un substitut à la différentielle qui aura le comportement que tu souhaites.

Houuuulàlàlà ! On va reprendre doucement si tu veux bien.

D'abord, f n'est pas définie sur un intervalle, mais sur un ouvert de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] : [tex]U=]0,1[ \times ]0,1[[/tex]. Cet ouvert n'est pas plat (1-dimensionnel), on peut l'assimiler à un disque (2-dimensionnel). Dans ton cours, on a dû bien insister sur le fait qu'entre la dimension 1 et les dimensions supérieures, les notions de continuité et de différentiabilité deviennent atrocement plus compliquées.

Ensuite, relis bien la réponse de Mohamed (du 12 mai). Il faut étudier la continuité partout dans U. Si on doit le faire point par point, ça va vite devenir fastidieux, on essaie donc autant que possible de prendre des raccourcis. C'est pourquoi Mohamed a d'abord commencé par découper l'ouvert en 3 parties : les ouverts [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], et le "segment" diagonal [tex]U_3[/tex].
Pourquoi ce découpage ? Eh bien dans [tex]U_1[/tex], on a [tex]f(x,y)=y-xy[/tex], c'est un polynôme donc c'est partout [tex]C^{\infty}[/tex]. Même chose dans [tex]U_2[/tex] (mis à part que le polynôme n'est plus le même : [tex]f(x,y)=x-xy[/tex]). Comme ce sont des ouverts, et que la continuité est une propriété locale (il suffit de la vérifier sur un seul voisinage pour qu'elle soit vraie en le point), on obtient que f est continue en tout point de [tex]U_1\cup U_2[/tex]. Il ne reste donc plus qu'à regarder ce qui se passe pour les points de [tex]U_3[/tex], autrement dit les points de la forme A(a,a).

Et là l'affaire se corse : on n'est pas dans [tex]\mathbb{R}[/tex] où il suffit de regarder comment qu'ça s'passe quand on arrive à gauche, et comment qu'ça s'passe quand on arrive à droite. Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] il y a une infinité de façons de tendre vers un point : par la droite, la gauche, le haut, le bas, en diagonale, en faisant des spirales, ou même en dansant la gigue.
Comme les points [tex]A\in U_3[/tex] ont des voisins infiniment proches dans chacun de deux ouverts [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], il faut tenir compte du fait qu'on ne *sait pas* comment on arrive sur notre point A, et que donc les deux formules données pour f peuvent intervenir chacune leur tour à tout moment quand on approche de A. Il faut donc faire un bidouillage à grande échelle comme celui proposé par Mohamed pour s'en sortir (réponse du 13 à 16h).

Ensuite pour la différentiabilité, retiens au moins ceci : MEME dans [tex]\mathbb{R}[/tex], ce n'est pas parce que f' existe que f est dérivable. C'est le CONTRAIRE.
Que signifie dans [tex]\mathbb{R}[/tex] d'être dérivable ? Il existe une limite gnagnagna... Bof. Une fonction f est dérivable en un point a si en ce point, il existe une droite qui est tangente à la courbe au point (a,f(a)). Mieux. De façon analytique, on demande que f puisse être approximée à l'ordre 1 au voisinage de a par une fonction affine :
[tex]f(x)=f(a)+coef\times (x-a)+o(x-a)[/tex]
Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex], c'est cette version qui s'applique. f est dérivable au point (a,b) si on peut l'approcher au voisinage de ce point par une fonction affine :
[tex]f(x,y)=f(a,b)+L(\left[\begin{array}{c}x-a &y-b\end{array}\right])+o(x-a,y-b)\quad (*)[/tex]
Donc si tu dois monter que f est dérivable au point (a,a), il te faut trouver une fonction linéaire à 2 variables (une matrice 2x2 quoi) telle que (*) soit vraie. Bien sûr, on se sert rarement de cette définition pour montrer que quelque chose est différentiable, mais elle est utile pour montrer que quelque chose N'EST PAS différentiable (par l'absurde... cette remarque te sera utile ;-) ).

Il existe toutefois un théorème, celui que tu tentes d'appliquer :

Sauf que dans notre cas, pas de bol, ça ne marche pas. Pourquoi ? Eh bien tout simplement parce que contrairement à ce que tu dis, on n'a pas [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=1-y,\,si\,x=y[/tex]. Ça n'est vrai que là où tu peux appliquer ta formule de dérivation, c'est-à-dire dans un ouvert, en l'occurence l'intérieur de ton ensemble [tex]U_2[/tex] (x<y). Tu ne PEUX PAS dériver le long de [tex]\{x=y\}[/tex] (du moins pas sans te justifier), parce que pour ça il faudrait pouvoir aller "un peu plus loin" que la droite [tex]\{x=y\}[/tex], autrement dit empiéter dans [tex]U_1[/tex], mais là la formule de f n'est plus la même.
Tu l'as d'ailleurs démontré à ton insu : tu as donné deux valeurs différentes de [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a,a)[/tex] ! ^^

Hum... Désolé pour le pavé.

EDIT : grillé par Mohamed ^^

Hello Chipp

L'exemple chiffré t'a déjà été donné par Hadrien, mais vu ta réaction je suppose que tu ne dois pas bien connnaître les développements limités mentionnés par Freddy.

En considérant la variable 2D [tex]X:=\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right][/tex], tu peux voir ton équation sous cette forme :
[tex]\dot{X}=f(X),\quad \text{avec }f(X)=f(x,y)=\left[\begin{array}{l}7{x}^{2}-2y+1 \\ -x{y}^{1/2}+2{x}^{3}\end{array} \right][/tex]

Les équations qu'on sait bien résoudre, ce sont celles où la fonction f est linéaire. Quand on a une équation non linéaire comme ici, on peut essayer d''approximer [tex]\dot{X}=f(X)[/tex] par [tex]\dot{X}=L(X)[/tex] où L(X) est la fonction dont tu parles. (Note : cette opération n'est intéressante qu'au voisinage des points [tex]a=X_0=(x_0,y_0)[/tex] où f s'annule). La fonction L est le développement limité à l'ordre 1 de la fonction f.

Le calcul qu'a fait Hadrien était le développement limité de la composante en x de f ([tex]f_1(x,y)[/tex]) : à proximité de [tex]a=(x_0,y_0)[/tex], on écrit [tex](x,y)=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)[/tex] de sorte que [tex]X-a=(\Delta x,\Delta y)[/tex]. On obtient alors :

[tex]f_1(x,y)=f_1(a)+Df_1(a)\cdot(X-a)+o(X-a)=(1 + 7 x_0^2 - 2 y_0) + 14 x_0 \Delta x + \Delta y + o(\Delta x, \Delta y)[/tex]

Pour linéariser on fait comme si le petit o était nul. Il ne te reste plus qu'à faire de même chose pour la seconde composante de f.

Ce diagramme est correct. Par contre tu emploies ton vocabulaire de façon étrange. En général, les termes de minorant/majorant et borne inf/sup sont réservés à des sous-parties d'un ensemble ordonné plus grand. En outre, on parle rarement de minimum/maximum, plutôt de plus petit élément / plus grand élément.

De plus tes arguments sont faux pour la plupart.
"d et a sont elements minimaux,donc ducoup le minimum n'existe pas" oui, tout ppe est par définition minimal universel. "There can be only one."
"c est le seul element maximal,ce qui fait de lui un maximum" affirmation vraie, argument faux. L'ensemble N n'a pas de maximal. Si j'adjoints l'ensemble N à ton ensemble, l'ensemble résultant admettra encore c pour unique maximal, et pourtant il n'aura plus de pge. C'est pas le tout d'être le seul maximal, encore faut-il être plus grand que tout le monde ^^
"etant donné que c est le seul majorant,il est donc la borne sup" idem, pour la même raison, en utilisant en plus le théorème qui dit que quand il y a un pge, il est forcément égal à la borne sup dans tout ensemble ordoné où on plongerait celui-ci.
"etant donné qu'il n'existe pas de minorants,il n'ya pas de borne inf" c'est là où ça devient vraiment bizarre. Vu de l'intérieur du sous-ensemble, minorant = ppe s'il existe. mais vu d'un ensemble plus grand, par exemple :
                 c
               /   \
             d      b
            /       /
           /      a
          e__ /

l'ensemble {a,b,c,d} peut admettre un minorant (e, qui est également borne inf ici), bien qu'il n'ait pas de ppe.

Heu... non, non, tu changes d'ordre une fois sur deux ! Cette relation n'est pas symétrique, dRc et cRd ne sont pas interchangeables.

Si tu ne t'y retrouves pas, réessaie en notant ta relation [tex]\leqslant[/tex]