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Bonjour Yoshi, pourquoi faut-il calculer l'équation de la droite (AP)

.    Bonsoir Yoshi, maintenant que la Q2 est faite, je rédige la question suivante et pour cela, j'utilise la 1ere  méthode que tu m'as proposé  c'est à dire en trouvant une équation de la droite (AB).

Je suis parti de la forme générale d'une équation de droite :
$y = mx +p $
Cette droite passe par le point A et par le point B donc ces 2 points vérifient cette équation
Donc les coordonnées du point A et celles du point B vérifient l'équation de la droite,
Je choisi le point A pour trouver l'équation et je remplace x et y par les coordonnées du point A(-2;1)
$1 = (-2) . m + p$
$p = 2 m + 1$
Je reprends la forme générale et je remplace $p$ par la valeur trouvée.
soit : $y = mx + 2m + 1 $
Donc arrivé là, si j'ai bien compris j'ai une équation de droite qui passe par un seul point, donc j'ai une équation qui va vérifier beaucoup de droites

Bonjour à Yoshi et à Zebulor, je vous remercie pour vos conseils, j'ai rédigé de cette façon pour les 5 premières questions :

a) déterminer les coordonnées de C' symétrique de C par rapport à B
A(-2;1)
B(2;3)
C(3;1)
C' est le symétrique de C par rapport à B donc B est le milieu de [CC']

(xC + xC')/2 = xB <=> (3 + xC')/2 = 2 <=> 3/2 + xC' /2 = 2 <=>xC'/2 = 2 - 3/2 <=> xC'/2 = 1/2 <=> xC' = 1/2 * 2/1 = 1

(y C+ yC')/2 =  yB <=> (-1 + yC') /2 = 3 <=> -1/2 + yC' /2 = 3 <=> yC'/2 = 3 + 1/2 <=> yC'/2 = 7/2 <=> yC' = 7/2 * 2/1 = 7

C' (1 ; 7)

b) D image de C par translation de vecteur AB donc, ces vecteurs sont égaux
Donc je peux écrire l'égalité suivante :
vecteur AB = vecteur CD

vecteur AB c'est  (xB - xA ; yB - yA) = (2 -(-2) ; 3 - 1) = (4 ; 2)
et vecteur CD c'est (xD - xC ; yD - yC) = (xD - 3; yD +1 )

comme vecteur AB = vecteur CD, je peux écrire les 2 équations :

xD - 3 = 4  <=> xD = 7
et yD + 1 = 2 <=> yD = 1

Donc : D(7 ; 1)

c) E définie par AE = 3 AB
le vecteur AE c'est (xE - xA ; yE - yA) = (xE +2; yE -1)
comme AE = 3 AB , je peux écrire les 2 équations suivantes :

XE + 2 = 12 <=> xE = 12 - 2 = 10
et yE - 1 = 6 <=> yE  = 6 + 1 = 5

d) J milieu de [DC']
j'utilise la formule qui donne les coordonnées du milieu pour avoir xJ = (xD + xC') /2 = (7+1)/2 = 4

et yJ = (yD + yC')/2 = 4

2. Montrer J milieu de [AE]

J'ai trouvé les coordonnées de E , c'est (10;7) donc xJ = (xA + xE)/2 = (-2 + 10)/2 = 4
et yJ = (xA + xE)/2 = (1 + 7)/2 =  4
     alors :
          je constate que les coordonnées du point J milieu de [DC'] sont les mêmes que celles du milieu de [AE]
    Or, on me demande de prouver que le quadrilatère  ADEC'  est un parallélogramme, donc de prouver que ses diagonales ont le même milieu.
Le quadrilatère ADEC' a pour diagonales [AE] et [DC'], puisque J est milieu des deux diagonales de  ADEC', c'est un parallélogramme.

Salut Yoshi, je sais que j'insiste beaucoup mais j'ai essayé ceci :

1 ) Je montre d'abord (ED) // (BF)

  a) je montre que (ED) // (AC) en utilisant l'un des théorèmes de la droite des milieux.

       Par hypothèse, EA = AB
       donc A est le milieu de [EB]
et par hypothèse, ABCD parallélogramme donc :
       • AB = DC et (AB) // (DC) + AD = BC et (AD) // (BC) et
       • 0 milieu des diagonales [BD] et [AC]
    Alors,  dans le triangle EBD, la droite qui passe par 0 milieu de [BD] et par A milieu de [ED] est parallèle au 3e côté de ce triangle.
et j'ai démontré que (ED) // (AO)

    b) je montre que (BF)  //  (OC) toujours en utilisant le même théorème.

      Par hypothèse, DC = CF
   donc C est le milieu de [DF]
     Alors, dans le triangle DFB, la droite qui passe par O milieu de [BD] et par C milieu de [DF] est parallèle au 3e côté , le côté [BF]
  et j'ai montré que (CO) // (BF)

   Comme O milieu de [AC] : les points A, O et C sont sur la même droite et (AO) et (OC) sont les mêmes noms pour cette droite alors (ED) // (BF). et si (ED) // (AO)   et (BF) // (OC) alors on peut dire que (ED) // (BF)

2) Je montre que les côtés [EB] et [DF] sont eux aussi parallèles.

  Par hypothèse, ABCD parallélogramme donc AB = DC + (AB) // (DC)
  et par hypothèse EA = AB et DC = CF donc (EA) = (AB) et (DF) = (DC)

Comme ABCD parallélogramme, (AB) //(DC) donc (EB)//(DF)

3) Je montre que EBFD est un parallélogramme en disant que (ED) // (BF) et (EB) // (DF) avec la règle : si un quadrilatère a ses 4 côtés parallèles(*) alors c'est un parallélogramme.

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[EDIT by Yoshi] 4 côtés parallèles deux à deux dit la définition...
4 côtés parallèles, c'est ça : /  /  /  /

Salut Yoshi, il faut absolument que je m'entraine à faire le + de démonstrations possibles, cet après-midi, j'ai essayé de la faire plusieurs fois mais je n'arrive à faire moins long et donc à être plus efficace, je propose ceci :

a) Montrer que (ED) // (BF)
  Par hypothèse, A est  le milieu de [EB]
      et par hypothèse, on sait que ABCD est un parallélogramme de centre O
       donc O est le milieu de [BD]
   Alors, dans le triangle EAD, la droite qui passe par les milieux des côtés [EA] et [BD] est parallèle au 3e côté [ED]
       Alors,  dans le triangle EDB, la droite qui passe par les milieux   des côtés [ED] et [BD] est parallèle au 3e côté [ED]

      Par hypothèse, C est  le milieu de [DF]
    et O est le milieu de [BD]
    Alors, dans le triangle ABF, la droite qui passe par les milieux des côtés [BD] et [DF] est parallèle au 3e côté [BF]
                   dans le triangle DBF
(ED) // (AO)  donc (ED) // (OC)   et puisque (ED) // (OC)
    Alors (ED) // (BF)

b) Montrer que ED  =  BF
    Dans le triangle EAD, dans le triangle EDB, la droite (AO) qui passe par les milieux des cotés a une longueur moitié celle de (EF)(ED) et dans le triangle DBF, (OC) a une longueur moitié celle de (BF)
   Comme  AO = 1/2 ED
    et AC = AO + OC alors AC = 2 AO
        donc 2AO = 2 * 1/2 ED
                  <=> 2 AO = ED

        Comme OC = 1/2 BD
     et 2 OC = 2 * 1/2 BD  alors 2 OC = BD

puisque AO = OC alors 2 AO = 2 OC et ED = BD

  c) Montrer que EBFD est un parallélogramme
   je dis que le quadrilatère EBFD a les côtés [ED] et [BF] parallèles et de même longueur

j'ai essayé de faire la démonstration en utilisant la droite des milieux dans le triangle EBD et DBF et en prouvant que EBFD a 2 côtés parallèles et de même longueur, mais je n'arrive pas à prouver que EB = BF,

si c'était un exercice que tu m'aurais posé, franchement, je n'aurais pas trouvé
en fait, on doit arriver à vec(EF) = 2 fois le vecteur EO

Oui, ce que je cherchais c'est cette forme géométrique :

tout ce que je vais arrivé à démontrer c'est que AO // ED et CO // BF mais ça ne m'avance pas, je suis vraiment nul en démonstration

Bonsoir Yoshi, j'ai tracé [ED] et [AO] mais rien ne prouve que (ED) // (AO)

et pour  reparler de la démonstration…
  a) On va mettre les définitions directement sous cette forme :
     • pour la fonction croissante
         a < b <=> a - b < 0
        f(a) < f(b) <=> f(a) - f(b) < 0
     • pour la fonction décroissante
        a < b <=> a - b  < 0
        f(a) > f(b) <=> f(a) - f(b) > 0

  b) On passe à la démonstration
         Ainsi pour démontrer que $f(x) = x^2$  est croissante sur [0;+∞[
           • On prend 2 valeurs quelconques a<b dans [0;+∞[
           • On veut voir si f(a) < f(b) ou bien f(a) > f(b) et il est plus simple d'étudier le signe de leur différence

            => et c'est là que c'est intéressant à comprendre : oui, c'est plus simple parce qu'en factorisant $a^2 - b^2 $ on va avoir 2 expressions