Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut Yoshi,

Tu m'as proposé un DM 2h de seconde, j'ai fait le 1er exo
(je l'ai d'abord fait sur papier en 40min mais pour tout recopier sur internet j'ai mis 1 peu plus de temps
ANALYSE

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x(au cube ) -3x + 1 et C sa courbe  représentative donnée ci-contre
1. Calculer les images par f de  3/2; -2 et √3
(On donnera les valeurs exactes)
2. Déterminer graphiquement, en justifiant les antécédents de 3.
3. D'après la courbe, dresser le tableau de variations de la fonction
4. À l'aide de la question précédente, est-il possible de comparer
a) $f(-1.3)$ et $f(-1.25)$
b) $f(-0.2)$ et $f(0.3)$
c) $f(-0.7)$ et $f(1.3)$
5. Développer $(x-1)² (x+2)$
En déduire une factorisation de $f(x) + 1$, puis résoudre l'équation $f(x) + 1 = 0.$

6. Résoudre par le calcul
    a) l'équation $f(x) = 1$
    b) l'équation $f(x) < 1$
7. En justifiant avec les résultats de la question 6, dire si ce point de la courbe -1.7 a une ordonnée supérieure à 1 ou pas.

1. Calculer les images par f de :
f(3/2) = (3/2)(au cube) - 3(3/2) + 1 = (27 / 8)  - (9/2) + 1 = (27/8) - (36/8) + (8/8) = (-9/8) + (8/8) = (-1/8) = - 0.125

f(-2) = (-2) (au cube) - 3(-2) + 1. = - 8 + 6 + 1  = -2+1 = -1

f(√3) = (√3)(au cube) - 3 (√3) + 1

2. Déterminer graphiquement , en justifiant, les antécédents de 3.
Les antécédents de 3 sont tous les points ayant pour ordonnée 3.
       En traçant  la droite y = 3
je peux Lire sur le graphique les abscisses des points x = -1 et x = 2

3. D'après la courbe, dresser le tableau de vaariation de la fonction f
f(-1.9) = 0
f(-1) = 3
f((1) = -1

x        |-∞                -1.9               -1                      0.35                1               |+∞
------- |------------------| -------------|------------------|--------------- |------------|
          |                        |                 |                        |
f(x).    |           -           0         +      3          +           0          -       -1       +.    |
          |                        |                  |                        |
--------|--------------- - -|--------------|------------------|---------------| -----------|
                   flèche             flèche                 flèche          flèche          flèche vers
                vers le haut       vers le haut      vers le bas        vers le bas     le haut

4. A l'aide de la question précédente est-il possible de comparer :
a ) $f(-1.3)$ et $f(-1.25)$

oui, il est possible de comparer f(-1.3) et f(-1.25) parce que dans cet intervalle
f est croissante donc d'après la définition de la fonction croissante, les images sont rangées
dans le même ordre que les antécédents - 1.3 < -1.25 donc f(-1.3) < f(-1.25)

b) $f(-0.2)$ et $f(0.3)$
les valeurs -0.2 et 0.3 sont dans l'intervalle ]-1;0.35[ du tableau et pour cet intervalle
f(x) est décroissante
donc d'après la définition de la fonction décroissante les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents
comme -0.2 < 0.3 alors f(-0.2) > f(0.3)

c ) $f(-0.7)$ et $(1.3)$
oui, il est possible de comparer f(-0.2) et f(0.3) puisque dans cet intervalle f(x) >

5. Développer $(x-1)²(x+2)$

(x-1)² (x+2)
= (x² - 2x + 1) (x+2)
= x(au cube) - 2x² + x  + 2x² -4x + 2
= x(au cube) -3x + 2

En déduire une factorisation de $f(x) + 1$ ,
f(x) = x(au cube) -3x + 1
et x(au cube) - 3x + 2 peut aussi s'écrire  [x(au cube) -3x + 1 ]+ 1
donc x(au cube) - 3x + 2 = f(x) + 1
Résoudre $f(x)+1 = 0$.
f(x) + 1 = 0 <=> (x-1)²(x+2)  = 0 <=> (x-1)(x-1)(x+2)= 0

6. Résoudre par le calcul
a) l'équation f(x) = 1
x(au cube) -3x + 1 = 1 <=> x(au cube) - 3x + 1 - 1 = 0 <=> x(au cube) - 3x = 0 <=> x(x²-3) = 0 <=> x = 0 ou
x²-3 = 0
je cherche les solutions de x²-3
x²-3 = 0 <=> (x - √3) (x +√3) = 0 <=> x - √3 = 0 ou bien x +√3 = 0 
les solutions de l'équation x²-3 = 0 sont -√3 et √3

b) l'inéquation f(x) < 1
x(au cube) - 3x + 1 < 1 <=> x(au cube) - 3x +1 - 1 < 0 <=> x(au cube) - 3x < 0 <=> x(x²-3) < 0

x         |-∞            - √3                0.              √3             |+∞   
x         |           -             -            0      +            +         |
---------|-------------|----------------|------------|-----------|
x + √3. |          -      0        +         |       +      |      +      |
---------|-------------|-----------—— |------------|---------- |
x - √3  |           -     |          -          |        -      0     +      |
---------|-------------|----------------|------------|-----------|
            |         +     |           +        |        -      |       +

7. En justifiant avec les résultats de la question 6, dire si le point de la courbe d'abscisse -1.7 a une ordonnée
supérieure à 1
J'ai mis oui, parce que d'après la 1ere colonne du tableau je trouve un + et -√3 < 1.7