Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Yoshi

Merci oui, comment oublier Kafka (décédé tout jeune en 1924) ou Dostoïevsky  ?

Ces deux là font en sorte que dans ma petite cervelle de singe, je puisse me dire que non effectivement il n'y a pas que les maths dans la vie

Mais il faut s'accrocher car ces deux là c'est vraiment hard ce qu'ils font (ils sont comme Euclide, dans deux mille trois cent ans on parlera encore d'eux)

Après il y a dans la douceur de certaines musiques un "style punk " qui peut aussi se cacher

Je sais bien que "ma" Camarade Camélia Jordana ne viendra pas sur ce forum mais sait-on jamais

Elle y trouvera une inspiration pour la suite de son travail musical 

J'aime la violence du punk mais je redoute la douceur des gens qui sont intelligents dans la musique

Sidsel Endresen "try" https://www.youtube.com/watch?v=D067fkj4voQ

ça fait réfléchir son truc à Sidsel et pourtant ce n'est pas du punk (le punk qui à ce jour est le seul genre de musique vraiment, vraiment intelligent)

edit+++ pour respecter la syntaxe de son livre page 270

il fallait lire  [tex] T\times E [/tex] vers [tex]E[/tex] la loi externe

et selon l'écriture que j'ai adopté ensuite [tex] t+x=y [/tex] avec  [tex]x,y[/tex] sont dans [tex]E[/tex] et [tex]t[/tex] est dans [tex]T[/tex]

bon là je ne vois vraiment plus rien (ça fait quarante huit heures d'affilés que je suis là à tout décortiquer la définition et il me parait raisonnable de penser que je ne verrai rien d'autre de toute façon si je ne dort pas au moins un peu- c'est chiant d'être humain -à quoi ça sert de dormir sur le plan logique?)

edit++
manque d'une étape (ça par contre ce n'est pas une faute mais puisque il s'agit ici de faire une analyse puisqu'on est obligé :  il faut donc  respecter toutes les étapes )
[tex]f\left(p_A.q_A^{-1}\right)=f\left(p_A\right).f\left(q_A\right)^{-1}=e_B[/tex]
la  seconde égalité est un théorème
il faut donc lire 
[tex]f\left(p_A.q_A^{-1}\right)=f\left(p_A\right).f\left(q_A^{-1}\right)=f\left(p_A\right).f\left(q_A\right)^{-1}=e_B[/tex]
là c'est la troisième égalité qui est le théorème
et faute d'orthographe : "selon ce que l'on suppose " avec "ce" et non "se"

edit+ : erreur de latex : le noyau demandé est un singleton il manquait \ à { et } 

quelques coquilles dans l'analyse

j'ai édité mon propos

j'ai édité dans cet extrait

il fallait dire : ...Effectivement dans ce cas le graphe [tex] \Gamma [/tex] de cette application existe et il est unique
le domaine de définition de ce graphe est
[tex] \begin {Bmatrix}x|\forall x\in A,\exists y\in B,\left(x,y\right) \in \Gamma \end {Bmatrix}=\varnothing[/tex] avec [tex]A=B=\varnothing[/tex]

erreur stupide : j'ai confondu le graphe et son domaine de définition

je ne vois rien d'autre pour l'instant

Bonjour

Une erreur page 270 Algèbre tome 1 (livre de la photo à droite au premier post)
Jacqueline Lelong-Ferrand & Jean Marie Arnaudiès Dunod

3 ième édition  ISBN 2-04-007074-5

une petite erreur sur A3 (mais franchement c'est rien du tout )

il faut lire la relation [tex]\left(t+x=x\right)[/tex] pour tout [tex]x\in E[/tex] implique [tex]t=0[/tex]

Soit [tex]T[/tex] un espace vectoriel (à gauche) sur [tex]\mathbb {K}[/tex] et [tex]E[/tex] un ensemble
Définir sur [tex]E[/tex] une structure d'espace affine attaché à [tex]T[/tex],
c'est se donner une loi externe sur [tex]E[/tex], de domaine [tex]T[/tex],
notée [tex]\left(t,x\right)\mapsto t+x[/tex] telle que
A1
[tex]\left( \begin {array}{rcl} \left(t+t^{\prime}\right)+x=t+\left(t^{\prime}+x\right) \text {  pour tous } t,t^{\prime}\in T,x\in E\\ 0+x=x \text {  pour tout } x\in E \end {array}\right.[/tex]
A2
pour tous [tex]x,y \in E[/tex] il existe [tex]t\in T[/tex] tel que [tex]y=t+x[/tex]
A3
la relation [tex]\left(t+x=0\right)[/tex] pour tout [tex]x\in E[/tex] implique [tex]t=0[/tex]

Bonjour

À propos des formules sur les CBN, comme je les avaient écrites à la main et comme je refais tous mes cahiers en écriture plus propre, je me suis dit comme ça "bah autant que je poste les formules ici une fois écrites" (ça peut intéresser quelqu'un qui lui aussi a toutes ses formules écrites à la main et qui compte tout refaire au propre c'est aussi le désavantage qu'on a quand fait tout bêtement soi même au lieu de les trouver dans un bouquin -sauf que on a pas besoin de milliers de livres comme je l'ai dit sur un autre fil même si ça fait vivre les auteurs) 

Changement de repères barycentriques dans le plan affine

Soient [tex]\left(ABC\right)[/tex] et [tex]\left(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\right)[/tex] deux repères barycentriques
[tex]P[/tex] un point du plan et on note [tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex] resp.[tex]\left(i_P^{\prime}:j_P^{\prime}:k_P^{\prime}\right)[/tex]
ses CBN par rapport à [tex]\left(ABC\right)[/tex] resp. [tex]\left(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\right)[/tex] 
[tex]\left(i_A:j_A:k_A\right)=\left(i_{A^{\prime}}^{\prime}:j_{A^{\prime}}^{\prime}:k_{A^{\prime}}^{\prime}\right)=\left(1:0:0\right)[/tex]
[tex]\left(i_B:j_B:k_B\right)=\left(i_{B^{\prime}}^{\prime}:j_{B^{\prime}}^{\prime}:k_{B^{\prime}}^{\prime}\right)=\left(0:1:0\right)[/tex]
[tex]\left(i_C:j_C:k_C\right)=\left(i_{C^{\prime}}^{\prime}:j_{C^{\prime}}^{\prime}:k_{C^{\prime}}^{\prime}\right)=\left(0:0:1\right)[/tex]
et on notera [tex]\begin {pmatrix}x_P\\y_P\end {pmatrix}[/tex] la matrice des coordonnées cartésiennes du point [tex]P[/tex]
[tex]\begin {pmatrix}x_P\\y_P\end {pmatrix}=i_P\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_P\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_P\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}=i_P^{\prime}\begin {pmatrix}x_{A^{\prime}}\\y_{A^{\prime}}\end {pmatrix}+j_P^{\prime}\begin {pmatrix}x_{B^{\prime}}\\y_{B^{\prime}}\end {pmatrix}+k_P^{\prime}\begin {pmatrix}x_{C^{\prime}}\\y_{C^{\prime}}\end {pmatrix}[/tex]
avec
[tex]\begin {pmatrix}x_{A^{\prime}}\\y_{A^{\prime}}\end {pmatrix}=i_{A^{\prime}}\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_{A^{\prime}}\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_{A^{\prime}}\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
[tex]\begin {pmatrix}x_{B^{\prime}}\\y_{B^{\prime}}\end {pmatrix}=i_{B^{\prime}}\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_{B^{\prime}}\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_{B^{\prime}}\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
[tex]\begin {pmatrix}x_{C^{\prime}}\\y_{C^{\prime}}\end {pmatrix}=i_{C^{\prime}}\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_{C^{\prime}}\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_{C^{\prime}}\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
donc
[tex]\begin {pmatrix}x_P\\y_P\end {pmatrix}=\left(i_P^{\prime}i_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}i_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}i_{C^{\prime}}\right)\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}[/tex]
[tex]+\left(i_P^{\prime}j_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}j_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}j_{C^{\prime}}\right)\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}[/tex]
[tex]+\left(i_P^{\prime}k_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}k_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}k_{C^{\prime}}\right)\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
donc
[tex]i_P=i_P^{\prime}i_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}i_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}i_{C^{\prime}}[/tex]
[tex]j_P=i_P^{\prime}j_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}j_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}j_{C^{\prime}}[/tex]
[tex]k_P=i_P^{\prime}k_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}k_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}k_{C^{\prime}}[/tex]
donc
[tex]\begin {pmatrix}i_P\\j_P\\k_P\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}i_{A^{\prime}}&i_{B^{\prime}}&i_{C^{\prime}}\\ j_{A^{\prime}}&j_{B^{\prime}}&j_{C^{\prime}}\\ k_{A^{\prime}}&k_{B^{\prime}}&k_{C^{\prime}}\end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_P^{\prime}\\j_P^{\prime}\\k_P^{\prime}\end {pmatrix}[/tex]
de la même manière
[tex]\begin {pmatrix}i_P^{\prime}\\j_P^{\prime}\\k_P^{\prime}\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}i_{A}^{\prime}&i_{B}^{\prime}&i_{C}^{\prime}\\ j_{A}^{\prime}&j_{B}^{\prime}&j_{C}^{\prime}\\ k_{A}^{\prime}&k_{B}^{\prime}&k_{C}^{\prime}\end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_P\\j_P\\k_P\end {pmatrix}[/tex]
donc
[tex]\begin {pmatrix}i_{A^{\prime}}&i_{B^{\prime}}&i_{C^{\prime}}\\ j_{A^{\prime}}&j_{B^{\prime}}&j_{C^{\prime}}\\ k_{A^{\prime}}&k_{B^{\prime}}&k_{C^{\prime}}\end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_{A}^{\prime}&i_{B}^{\prime}&i_{C}^{\prime}\\ j_{A}^{\prime}&j_{B}^{\prime}&j_{C}^{\prime}\\ k_{A}^{\prime}&k_{B}^{\prime}&k_{C}^{\prime}\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix}[/tex]
notons les déterminants
[tex]d=det\begin {pmatrix}i_{A^{\prime}}&i_{B^{\prime}}&i_{C^{\prime}}\\ j_{A^{\prime}}&j_{B^{\prime}}&j_{C^{\prime}}\\ k_{A^{\prime}}&k_{B^{\prime}}&k_{C^{\prime}}\end {pmatrix}[/tex] et [tex]d^{\prime}=det \begin {pmatrix}i_{A}^{\prime}&i_{B}^{\prime}&i_{C}^{\prime}\\ j_{A}^{\prime}&j_{B}^{\prime}&j_{C}^{\prime}\\ k_{A}^{\prime}&k_{B}^{\prime}&k_{C}^{\prime}\end {pmatrix}[/tex]
[tex]d=i_{A^{\prime}}j_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}+i_{B^{\prime}}j_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}+i_{C^{\prime}}j_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}[/tex]
[tex]-i_{A^{\prime}}j_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}j_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}j_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}[/tex]
[tex]d^{\prime}=i_A^{\prime}j_B^{\prime}k_C^{\prime}+i_B^{\prime}j_C^{\prime}k_A^{\prime}+i_C^{\prime}j_A^{\prime}k_B^{\prime}[/tex]
[tex]-i_A^{\prime}j_C^{\prime}k_B^{\prime}-i_B^{\prime}j_A^{\prime}k_C^{\prime}-i_C^{\prime}j_B^{\prime}k_A^{\prime}[/tex]

On obtient les formules de changement de repères  barycentriques

[tex]d.i_P^{\prime}=\left(j_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}-j_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}\right).i_P+\left(i_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}\right).j_P+\left(i_{B^{\prime}}j_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}j_{B^{\prime}}\right).k_P[/tex]
[tex]d.j_P^{\prime}=\left(j_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}-j_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}\right).i_P+\left(i_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}\right).j_P+\left(i_{C^{\prime}}j_{A^{\prime}}-i_{A^{\prime}}j_{C^{\prime}}\right).k_P[/tex]
[tex]d.k_P^{\prime}=\left(j_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}-j_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}\right).i_P+\left(i_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}-i_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}\right).j_P+\left(i_{A^{\prime}}j_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}j_{A^{\prime}}\right).k_P[/tex]

[tex]d^{\prime}.i_P=\left(j_{B}^{\prime}k_{C}^{\prime}-j_{C}^{\prime}k_{B}^{\prime}\right).i_P^{\prime}+\left(i_{C}^{\prime}k_{B}^{\prime}-i_{B}^{\prime}k_{C}^{\prime}\right).j_P^{\prime}+\left(i_{B}^{\prime}j_{C}^{\prime}-i_{C}^{\prime}j_{B}^{\prime}\right).k_P^{\prime}[/tex]
[tex]d^{\prime}.j_P=\left(j_{C}^{\prime}k_{A}^{\prime}-j_{A}^{\prime}k_{C}^{\prime}\right).i_P^{\prime}+\left(i_{A}^{\prime}k_{C}^{\prime}-i_{C}^{\prime}k_{A}^{\prime}\right).j_P^{\prime}+\left(i_{C}^{\prime}j_{A}^{\prime}-i_{A}^{\prime}j_{C}^{\prime}\right).k_P^{\prime}[/tex]
[tex]d^{\prime}.k_P=\left(j_{A}^{\prime}k_{B}^{\prime}-j_{B}^{\prime}k_{A}^{\prime}\right).i_P^{\prime}+\left(i_{B}^{\prime}k_{A}^{\prime}-i_{A}^{\prime}k_{B}^{\prime}\right).j_P^{\prime}+\left(i_{A}^{\prime}j_{B}^{\prime}-i_{B}^{\prime}j_{A}^{\prime}\right).k_P^{\prime}[/tex]

Produit scalaire

Soit [tex]\left(ABC\right)[/tex] une base affine du plan
on considère les notations conventionnelles sur un triangle [tex]ABC[/tex]
[tex]a=BC , b=AC , c=BC[/tex]
[tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex] resp. [tex]\left(i_Q:j_Q:k_Q\right)[/tex]
resp. [tex]\left(i_T:j_T:k_T\right)[/tex] resp. [tex]\left(i_U:j_U:k_U\right)[/tex]
les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex] resp. [tex]T[/tex] resp. [tex]U[/tex]
par rapport à [tex]\left(ABC\right)[/tex]

[tex]\langle \overrightarrow {PQ}|\overrightarrow {TU} \rangle = c^2\left(j_Q-j_P\right)\left(j_U-j_T\right)+b^2\left(k_Q-k_P\right)\left(k_U-k_T\right)[/tex]
[tex]+\dfrac {1}{2}\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(\left(j_Q-j_P\right)\left(k_U-k_T\right)+\left(k_Q-k_P\right)\left(j_U-j_T\right)\right)[/tex]

Cas général dans [tex]\mathbb {R}^n[/tex]

Soit [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex] avec [tex]n=m-1[/tex] une base affine de [tex]\mathbb {R}^n[/tex]
[tex]\left(p_1:...:p_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(q_1:...:q_m\right)[/tex]
resp. [tex]\left(t_1:...:t_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(u_1:...:u_m\right)[/tex]
les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex] resp. [tex]T[/tex] resp. [tex]U[/tex]
par rapport à [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex]

[tex]\langle \overrightarrow {PQ}|\overrightarrow {TU} \rangle = \dfrac {1}{2}\sum _{i=1,j=1}^{i=n,j=n}\left(q_{i+1}-p_{i+1}\right)\left(u_{j+1}-t_{j+1}\right)\left(A_1A_{i+1}^2+A_1A_{j+1}^2-A_{i+1}A_{j+1}^2\right)[/tex]

Distance entre deux points du plan

À partir de là on obtient aisément [tex]3!=6 [/tex] formules pour la distance entre deux points du plan

une seule suffit (les autres sont faciles à retrouver à partir de celle-là

toujours en prenant [tex]a=BC , b=AC , c=AB[/tex]

Et en prenant
[tex]\alpha [/tex] l'angle géométrique en [tex]A[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex]
[tex]\beta [/tex] l'angle géométrique en [tex]B[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex]
[tex]\gamma [/tex] l'angle géométrique en [tex]C[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex]
et en considérant
[tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex] resp. [tex]\left(i_Q:j_Q:k_Q\right)[/tex] les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex]
et en posant [tex]\delta =i_P-i_Q+j_P-j_Q[/tex]
alors
[tex]PQ=\sqrt {\left(b\delta+c\left(j_Q-j_P\right)\right)^2+2bc\delta\left(j_Q-j_P\right)\left(cos(\alpha)-1\right)}[/tex]

Translation

Cas général dans  [tex]\mathbb {R}^n[/tex]

on posera [tex]m=n+1[/tex]

Soient sont donnés :
un réel [tex]t\in \mathbb {R}[/tex]
[tex]\left(p_1,...,p_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(q_1,...,q_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(r_1,...,r_m\right)[/tex] 
les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex] resp.  [tex]R[/tex] 
par rapport à une base affine [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex]
on considère la translation [tex]T=R+t \overrightarrow {PQ}[/tex]
alors en notant [tex]\left(t_1,...,t_m\right)[/tex]
les CBN de [tex]T[/tex] par rapport à [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex]
on obtient
[tex]t_1=1-t_2-...-t_m[/tex]
[tex]t_2=r_2+t\left(q_2-p_2\right)[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]t_m=r_m+t\left(q_m-p_m\right)[/tex]

bon avec ces formules sous les yeux on peut re écrire cette limite (et le rapport ) de façon plus commode

mais là je dois partir

Bonjour

L'époque du en même temps qui veut ça

Dans le même temps on écoute de la musique mais pas vraiment complètement et de l'autre on bosse ses maths mais pas vraiment complètement

Personnellement  préfère me défoncer en écoutant un truc punk deutsche allemand hyper violant (dans lequel je ne comprends rien) et quand je me suis calmé me défoncer en bossant mes maths (mais bon chacun son truc ceci dit et puis mon avis c'est comme le dit l'inspecteur Callahan : un avis tout le monde en a un c'est comme les t___  du c__ tout le monde en a un)

Bonjour

Ci-dessous afin de visualiser l'angle orienté [tex]t[/tex]  consiste à le fixer puis prendre  [tex]GD[/tex] pour variable dans l'écriture du point  [tex]D[/tex] 

[tex]t[/tex] c'est l'angle orienté [tex]t=\left(\overrightarrow {GI},\overrightarrow {GD}\right)_{\left[\overrightarrow {GI},\overrightarrow {GJ}\right]}[/tex] définit sur le plan orienté par  la base orthonormale [tex]\left[\overrightarrow {GI},\overrightarrow {GJ}\right][/tex]

Merci Fred

Quand je pense que dans les années 80 dans mon kraï de Krasnoyarsk on avait rien de tout ça à l'époque

On avait juste une fois par semaine, des groupes de punk qui imitaient les anglais, mais ceci dit ils avaient l'art de nous faire oublier l'usine tous les vendredi soir

on avait même eu une imitation de "the sound" une fois 

The Sound "Judgment" https://www.youtube.com/watch?v=mAg6UbE0V78 ils savaient bien que cette musique là est la bonne musique de fin de semaine et c'est la seule qui pouvait nous éduquer

ils avaient bien raison mais certes ils étaient subtils dans la manière de nous amener au bon endroit

edit faute sur "issu"

Bonjour CCEH

Je suis extrêmement étonné de savoir qu'il existait un théorème de mathématiques issu de la physique (là en l'occurrence l'électricité) 

Je pensais que la physique n'avait de sens que si elle était soumise non aux sens des évidences et des résultats d'expériences mais au sens du raisonnement logique dont sont soumises les mathématiques

Je pensais (à tord? non je ne le pense pas) que ce qui tombe sous l'évidence tombe sous l'évidence du cerveau mais ça arrange bien ses affaires de constater par exemple (un exemple parmi d'autres) qu'une plume tombe moins vite qu'un kilo de plomb et d'en déduire des tas de trucs complètement faux

Je pensais que plus quelque chose est évident pour lui (le cerveau)  plus on peut être certain qu'il y a une entourloupe quelque part dans la manière qu'il interprète ce qu'il reçoit de l'extérieur (i.e. des informations)