Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à vous.
f est une fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
f(0)=0
[tex]f(x)=\frac{ln(1+x^2)}{x}    si  x\neq{0}[/tex].

Question:f est-elle dérivable en 0?

Réponse:Il faut calculer la limite du rapport [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex] quand x tend vers O;

[tex]\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x^2)}{x^2}[/tex].J'ai utilisé la composition des fonctions x² et [tex]\frac{ln(1+y)}{y}[/tex].

[tex]\lim_{x\to 0}x^2=0[/tex] et [tex]\lim_{y\to 0}\frac{ln(1+y)}{y}=1[/tex] donc [tex]\lim_{x\to0}\frac{ln(1+x^2)}{x^2}=1[/tex].f est donc dérivable en O.
Je ne sais pas si c'est vraiment correct.Je n'ai aucune confiance en moi et je vous prie d'excuser ce travers.

Merci beaucoup de m'aider

Bonjour à tous.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit A(xo;f(xo)), B(xo-h;f(xo-h)) et C(xo+h;f(xo+h)) avec h > 0 et proche de 0, xo, xo-h, xo+h appartenant à I.
(Cf) admet au point d'abscisse xo une tangente (T).
La perpendiculaire à (y'y) en B coupe la perpendiculaire à (x'x) en C au point D (D est l'intersection des perpendiculaires).
Quand h--->0 calculez l'aire approchée de BCD en fonction de h et f'(xo).
Calculer cette aire si h=0,002 et la pente de (T) en xo=7.

Solution.

S est l'aire approchée de BCD qu'on peut assimiler à un "triangle" puisque h--->0 (B et C sont presque sur (T).
J'écrirai = au lieu de sensiblement égal (le Latex étant provisoirement arrêté).
S=BDxDC/2.
BD=2h.
Je calcule la longueur approchée de CD sur l'axe des ordonnées en utilisant les ordonnées de C ( l'ordonnée de C est l'approximation affine hf'(xo)+f(xo) ) et D (l'ordonnée de D est f(xo-h))
CD=[hf'(xo) +f(xo)]-[f(xo-h)] et CD=hf'(xo)-[f(xo-h)-f(xo)]
je multiplie l'expression entre crochets par -h et je divise par -h :
CD=hf'(xo)-(-h)[(f(xo-h)-f(xo))/(-h)]
et quand h--->0  [f(xo-h)-f(xo)](-h)=f'(xo)on obtient CD=hf'(xo)+h[f'(xo)]
donc CD=2hf'(xo).
On remplace et S=4h²f'(xo)/2 donc S=2h²f'(xo).
L'application numérique est facile si  S est correcte.

Je vous prie de m'aider.

Merci.

Bonjour à tous.
J'ai  bien compris les variations infinitésimales dy et dx et que f'(x)dx (partie linéaire) est la différentielle.
Tout s'est embrouillé quand j'ai consulté PlanetMath,MathWorld et Wikipédia(meme la discussion).
1)je sais ce qu'est une fonction dérivée.Y'a-t-il une fonction différentielle?
2)j'ai consulté le dictionnaire de bibm@th mais ce n'est pas de mon niveau.
Sur Wikipédia,si j'ai compris,ils disent qu'au premier ordre(c'est f') la différentielle est la dérivée,sous-entendu qu'aux ordres supérieurs(f",...) c'est autre chose?Ils disent aussi que lorsqu'on a une fonction à plusieurs variables,on ne parle plus que de différentielle et on utilise la notation de Leibniz df/dx.
Sur MathWorld,c'est un autre son de cloche:la différentielle numérique est le procédé qui permet de trouver la valeur
de la dérivée d'une fonction en un point(si ma traduction est bonne).Vous aurez remarqué la différence avec Wikipédia.
3)dans le manuel de la classe Terminale on dit que c'est les physiciens qui utilisent la notation df/dx.Est-ce exclusif à
la physique?La différentielle est-elle seulement une histoire de notation?
Je ne me retrouve plus entre toutes ces affirmations.Il y'a certainement que je cherche des problèmes là ou il n'y en a pas.J'aimerai tant comprendre pour avoir une notion nette dans ma tete.Je pense qu'une notion est quelque chose
d'important en mathématiques.
Merci de m'éclairer.