Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

j'ai tenté de reprendre cet exercice aujourd'hui. Voici ce que cela donne :

Si $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ était cyclique, alors il serait monogène est fini. Il existerait donc un élément $a\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ d'ordre fini de sorte que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=<a>$.

Or pour tout $a\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, on a $a^2=e$. Ainsi $o(a)\le 2$. Or $o(a)=card(<a>)$ et donc $card(<a>)\le 2$.

On aurait donc $card(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)=card(<a>)\le 2$.

Contradiction puisque $card(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)=4$.

Qu'en pensez-vous ?

En revanche, quelque chose me gêne dans la rédaction.

Lorsque je fais le cas 1, à savoir n=0.

Je dis que $Ker(\phi)=0$ donc que $\phi$ est injective.

Et là, j'ai deux morphismes :

1. Celui de l'exercice : $\begin{array}{ll} \phi_1 : &\mathbb{Z}\longrightarrow G \\    &k \longrightarrow a^k \end{array}$, qui est injectif mais pas forcément surjectif.

2. Celui qui m'intéresse : $\begin{array}{ll} \phi_2 : &\mathbb{Z}\longrightarrow \phi(\mathbb{Z})=<a> \\    &k \longrightarrow a^k \end{array}$, qui est injectif et surjectif, donc un isomorphisme.

Je voudrais savoir, comment le rédiger correctement ?

Je dis que puisque $Ker(\phi_1)=0$ alors $\phi_1$ est injective et donc induit une surjection $\phi_2$ qui sera une bijection donc un isomorphisme ?

Cela me semble lourd de rédaction.

Comment le feriez-vous ?

Bonjour,

merci pour la réponse. J'essaye de suivre votre raisonnement. On fixe $(\bar{a},\bar{b})\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. Alors :

$<(\bar{a},\bar{b})>:=\{k(\bar{a},\bar{b})\,,k\in\mathbb{Z}\}=\{(\bar{ka},\bar{kb})\,,k\in\mathbb{Z}\}$

Je fais la division euclidienne de $(\bar{u},\bar{v})$ par $2$ ce qui donne :

$(\bar{u},\bar{v})=2(\bar{a},\bar{b})+(\bar{r_1},\bar{r_2})$ avec $0\le r_1,r_2<2$

D'où $(\bar{u},\bar{v})=(\bar{r_1},\bar{r_2})$ puisque $2(\bar{a},\bar{b})=(\bar{0},\bar{0})$. Et donc :

$<(\bar{a},\bar{b})>=\{(\bar{r_1},\bar{r_2})\,,0\le r_1,r_2<2\}$

Je ne suis vraiment pas certain de ce que j'écris.
Mais je cherche à comprendre.

Merci, je comprends beaucoup mieux.

Pour répondre à cette dernière question 4, j'avais pensé écrire que $p_i^{max(a_i,b_i)}$ est un diviseur de $m$ ou de $n$.

Donc par la question 3, il existe $x_i$ un élément d'ordre $p_i^{max(a_i,b_i)}$ dans $G$.

Dans la décomposition écrite pour m et n, les $p_i^{max(a_i,b_i)}$ sont deux à deux premiers entre eux. Donc l'élément x_1\cdots x_r est d'ordre $p_1^{max(a_1,b_1)}\cdots p_r^{max(a_r,b_r)}=ppcm(m,n)$ par application de la question 1.

Qu'en pensez-vous ?

Je n'arrive finalement pas à le voir :/

Les notations sont les suivantes :
$\mathcal{B}=(u_1,...,u_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
$\mathcal{B'}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.
$P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$.

Alors :
$$\begin{matrix}
&&&e_1& \cdots && e_n\\
\end{matrix}$$
$$
P=
\begin{pmatrix}
p_{11}&\cdots&p_{1n}\\
\vdots &\ddots&\vdots \\
p_{n1}&\cdots&p_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
u_{1}\\
\vdots\\
u_{ n }
\end{matrix}$$

C'est bien cela ?

Arf oui.
Je corrige.

Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$.
Je note $\mathcal{B}=(u_1,...,u_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
Je note $\mathcal{B'}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.
Je note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$.

Avec ces notations :
$A=(a_{ij})$ est la matrice d'un endomorphisme $f\in L(E)$ dans la base $\mathcal{B}'$ (c'est le choix de l'énoncé).
$B=(b_{ij})$ est la matrice de ce même endomorphisme dans la base $\mathcal{B}$.

Alors on a $A=P^{-1}BP$ et donc $<Ae_i,e_i>=<P^{-1}BPe_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>$.

Pour montrer cette dernière égalité, on utilise :
1) $P$ est une matrice de passage d'une base canonique à une base orthonormée alors P est orthogonale et donc $P^{-1}=^tP$.
2) $<U,V>=^tUV$ où $U$ et $V$ sont des vecteurs colonnes.

On poursuit en écrivant que $Pe_i=u_i$.

Donc : $<Ae_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>=<Bu_i,u_i>$.

Cette fois on peut écrire que $Bu_i=c_i$ où $c_i$ est la ième colonne de la matrice B et donc $<Ae_i,e_i>=<Bu_i,u_i>=<c_i,u_i>=b_{ii}$.

On en déduit alors que $\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>=\sum_{i=1}^nb_{ii}=tr(B)$.

Et par invariance de la trace par changement de base, on a :
$tr(A)=tr(B)=\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>$.

Qu'en pensez-vous ?

Je vois.

Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$.
Je note $B=(u_1,...,u_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
Je note $B'=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.
Je note $P$ la matrice de passage de la base $B$ à $B'$.

Avec ces notations :
$A=(a_{ij})$ est la matrice d'un endomorphisme $f\in L(E)$ dans la base $B'$ (c'est le choix de l'énoncé).
$B=(b_{ij})$ est la matrice de ce même endomorphisme dans la base $B$.

Alors on a $A=P^{-1}BP$ et donc $<Ae_i,e_i>=<P^{-1}BPe_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>$.

Pour montrer cette dernière égalité, on utilise :
1) $P$ est une matrice de passage d'une base canonique à une base orthonormée alors P est orthogonale et donc $P^{-1}=^tP$.
2) $<U,V>=^tUV$ où $U$ et $V$ sont des vecteurs colonnes.

On poursuit en écrivant que $Pe_i=e_i$.

Donc : $<Ae_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>=<Be_i,e_i>$.

Cette fois on peut écrire que $Be_i=c_i$ où $c_i$ est la ième colonne de la matrice B et donc $<Ae_i,e_i>=<Be_i,e_i>=<c_i,e_i>=b_{ii}$.

On en déduit alors que $\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>=\sum_{i=1}^nb_{ii}=tr(B)$.

Et par invariance de la trace par changement de base, on a :
$tr(A)=tr(B)=\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>$.