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Bonjour
soit $u(t,x)$ une fonction assez régulière continue et bornée sur $[0,\tau] \times \mathbb{R}^d$ et on pose $u(x,0)=u_0(x)$, où $u_0(x)$ est continue et bornée.
Ma question est: est-ce qu'il est possible de majorer $\sum_{i,j=1}^d\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x_i \partial x_j} (1-t^2) dt$ par $\sup_{|\alpha| \leq 2} |D^{\alpha} u_0(x)|$, où $D^{\alpha} u = \dfrac{\partial^{|\alpha| }u}{\partial_ {x_1}^{\alpha_1} .... \partial_{x_d}^{\alpha_d}}$
?

Cordialement

Bonjour
j'ai la fonction suivante
$$
q(x/\epsilon, y/ \epsilon)
=
\begin{cases}
1 &\mbox{ si } (x/\epsilon, y/ \epsilon) \in B_{\delta}+ \mathbb{Z}^2\\
0 &\mbox{ sinon},
\end{cases}
$$ où $B_{\delta}= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\mid \sqrt{x^2+y^2} \leq \delta\}$ et où $\delta= \sqrt{\frac{1}{\pi w}}$ et la mesure de $B_{\delta}$ est égale à $\pi \delta^2=\dfrac{1}{w}$, , et $\epsilon$ et $w$ sont fixés.

Je lis qu'une définition équivalente à cette fonction est
$$
q(t, s)
=
\begin{cases}
w &\mbox{ si } t^2+ s^2< \delta^2\\
0 &\mbox{ sinon},
\end{cases}
$$ Je n'arrive pas à comprendre cette deuxième définition ni comment de 1 on passe à $w$ ?
Merci d'avance.

Bonjour
on considère sur $[0,\infty] \times [0,1]$l'équation
$$
u_t + uu_x -\nu u_{xx}= f(t,x)
$$
avec les conditions au bord $u(t,0)= g_0(t), u(t,1)=g_1(t), t>0$ et la condition initiale $u(0,x)=u^0(x)$. On suppose que $g_i$ et $u^0$ sont continues.
L'équation peut être écrite sous la forme
$$
u_t+ \dfrac{1}{2} (u^2)_x-\nu u_{xx}= f(t,x)
$$
Je lis que pour trouver la formulation variationnelle, on a besoin d'une fonction régulière qui satisfait les conditions au bord
$$
G(t,x)= (1-x)g_0(t)+ xg_1(t)
$$

Je n'arrive pas à deviner ce que veut dire l'écriture $w \in H_0(0,1)$ en sachant que $w$ est une fonction de $(t,x)$ où est passé $t$?

Merci d'avance.
et essayer de trouver $w$ telle que $u=w+G$ satisfait l'équation différentielle
$$
w_t +G_t +\dfrac{1}{2} ((w+G)^2)_x -\nu w_{xx}=f(t,x)
$$
Maintenant on cherche $w \in H_0(0,1)$ telle que $w(0,x)=u^0 - G(0,x)$ telle que pour tout $v \in H_0(0,1)$ on a
$$
\displaystyle\int_0^1 v(w_t +\dfrac{1}{2}(w+G)^2_x)+ \nu v_x w_x = \displaystyle\int_0^1 v(f(t,x)+ \dot{g_0}-\dot{g_1}) dx
$$

Je n'arrive pas à deviner qui est cet espace $H_0(0,1)$ qui contient une fonction $w(t,x)$ à deux variables t et $x$?

Cordialement

Bonjour

Considérons l'équation
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) = \kappa
\Delta u (t , x) + F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d...…(0.1)
\end{equation}
pour la fonction inconnue $ u (t, x) $ qui doit satisfaire
à la condition initiale
\begin{equation}
u (0 , x) = u_0 ( x) \qquad \mbox{dans} \ \ \mathbb{R}^d ….(2)
\end{equation}
Dans (0.1) $ v (t, x) $ et $ F ( t, x, u ) $ sont des fonctions donn\'ees et $ \kappa $ est une constante strictement positive.

Nous désignons par $u^{[\kappa]}(t,x)$ la solution de l'équation  (0.1) avec la condition initiale (0.2).

Rappelons que l'équation de transport
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) =
F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d ,.....(0.3)
\end{equation}
qui correspond à l'équation (0.1) avec $ \kappa = 0 $, peut être r\'esolue, sous des conditions assez générales, par la méthode des caract\'eristiques.
Nous désignons par $ u^{[0]} (t,x) $ la solution de l'\'equation (0.3) avec la condition initiale (0.2).

Alors j'ai définit une famille de solutions $u^{[\kappa,n]}$ de (0.1) qui converge vers $u^{[\kappa]}(t,x)$ quand $n \to +\infty$ et une famille de solutions $u^{[0,n]}(t,x)$ de (0.3) qui converge vers $u^{[0]}(t,x)$.
J'ai montré aussi que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa \to 0$.

Ma question est comment montrer que $\nabla u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa \to 0$ et que $\Delta u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $\Delta u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa \to 0$? Afin de conclure que la solution de (0.1) converge vers la solution de (0.3) quand $\kappa \to 0$? S'il vous plaît

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Bien cordialement

Bonjour
On cherche à montrer que la solution $y_m$ du problème $
\frac{d}{dt} y_m (t) = f ( t , y_m (t) )   pour t > 0 ,   y_m(0) = \eta_m ,
$converge vers la solution $ y_0 (t) $ du problème de Cauchy $
\frac{d}{dt} y_0 (t) = f ( t, y_0 (t) )   pour t > 0 ,   y_0 (0) = \eta_0 , $sous la condition que $\eta_m \to \eta_0   pour m \to \infty . $
Naturellement on suppose la régularité de $ f (t , y) $. En posant
$L = \sup_{ t, y } | \partial_y f ( t , y ) | , $on a $| f ( t , y_m (t) )  - f ( t , y_0 (t) ) | \leq L | y_m(t) - y_0 (t) | . $Ici $ L $ ne dépend pas de $ m $. D'autre part, si on pose
Ma question est: avec toutes ces relaions, comment montrer que  $ y_m(t) \to y_0 (t) $ pour $ m \to \infty $?

Bien cordialement