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#51 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 18:16:58
$C=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right)$
$\dfrac{8\pi}{7} = \pi+\dfrac{\pi}{7}$
$\cos\left(\dfrac{8\pi}{7} \right) = \cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$
$\dfrac{12\pi}{7} = \pi+\dfrac{5\pi}{7}$
$\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi+\dfrac{5\pi}{7}\right) = -\cos \left(\dfrac{5\pi}{7}\right)$
$C=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)-\cos \left(\dfrac{5\pi}{7}\right) = 0$
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
$B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)-\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{6\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{11\pi}{5}\right)$
$\dfrac{4\pi}{5} < \pi $ : $ \dfrac{5\pi}{5} - \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{4\pi}{5}$
$\sin(\pi-x) = \sin(x)$
d'où : $ \sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) = \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{5} \right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$
$\dfrac{6\pi}{5} > \pi $ : $\dfrac{5\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{6\pi}{5}$
$\sin(\pi+x) = -sin(x) $
d'où : $\sin\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{5} \right)= -\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$
$\dfrac{11\pi}{5} > \pi $ : $ \dfrac{10\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{11\pi}{5}$
$\sin(\pi+x) = \sin(x)$
d'où : $ \sin\left(\frac{11\pi}{5}\right) = \sin \left(\pi+\frac{\pi}{5} \right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$
$B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) -\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) -\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = 0$
#52 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 16:52:12
J'ai peut-être fait une erreur :
$\dfrac{5\pi}{7}= \dfrac{7\pi}{7} - \dfrac{2\pi}{7} =\left(\pi-\dfrac{2\pi}{7}\right)$
$\cos(\pi-x) =-cos(x)$
$\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)$$ = \cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7} \right) = $ $-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
#53 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 16:11:20
$\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right) = - \cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) $ et $\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$ donc $\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
et $C = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
#54 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 15:20:24
j'ai trouvé ..
c'est : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) = - \cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) $
$\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) = 0 $
#55 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 15:01:46
$C = \cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)- \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) -\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) = - \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{3\pi}{7}\right)$
#56 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 14:44:11
$C=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right)$
$\pi + \dfrac{a}{b} = \dfrac{5\pi}{7} $
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{5\pi}{7} - \pi = \dfrac{5\pi}{7} - \dfrac{7\pi}{7} = -\dfrac{2\pi}{7}$
$\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) = \cos \left(\pi - \dfrac{2\pi}{7}\right) = - \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) $
$\pi + \dfrac{a}{b} = \dfrac{8\pi}{7}$
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{8\pi}{7} - \pi = \dfrac{8\pi}{7} - \dfrac{7\pi}{7} = \dfrac{\pi}{7}$
$\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{7} \right)= -\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right )$
$C = \cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)- \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) -\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right) $
#57 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 28-05-2020 09:32:05
Bonjour Yoshi, deux angles sont dits "égaux modulo $2\pi$" s'ils ont le même reste dans la division
$\dfrac{12\pi}{7} =2\pi$
donc : $\dfrac{\pi}{7} = \dfrac{12\pi}{7}$
#58 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 20:17:47
Bonsoir Yoshi,
Simplifier :
$C=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right)$
$\dfrac{5\pi}{7}= \dfrac{7\pi}{7} - \dfrac{2\pi}{7} =\left(\pi-\dfrac{2\pi}{7}\right)$
$\cos(\pi-x) =-cos(x)$
$\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)$$ = \cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7} \right) = $ $-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
$\dfrac{8\pi}{7} = \dfrac{7\pi}{7}+\dfrac{\pi}{7} = \left(\pi+\dfrac{\pi}{7}\right)$
$\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
$ \cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right) $ $= \cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{7}\right) = $$-\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$
$\dfrac{12\pi}{7} = 2\pi$
et pour $\dfrac{\pi}{7}$ , je n'ai pas compris pourquoi c'est $\dfrac{\pi}{7}$
#59 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 17:24:09
$\cos(x)=\cos(-x)$
un réel et son opposé ont le même cosinus
donc $\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)$
#60 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 14:49:12
$\dfrac{15\pi}{7} = \dfrac{14\pi}{7} +\dfrac{\pi}{7} = \left(2\pi+\dfrac{\pi}{7}\right) $
$\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
$\cos\left(\dfrac{15\pi}{7}\right) =\cos\left(2\pi+ \dfrac{\pi}{7} \right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{7} \right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$
$\dfrac{23\pi}{7} = \dfrac{21\pi}{7} + \dfrac{2\pi}{7} = 3\pi+\dfrac{2\pi}{7}$
$\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
$\cos\left(\dfrac{23\pi}{7}\right) =\cos\left(3\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = $$-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
$A =\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{15\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{23\pi}{7}\right)$
$A = \cos\left(-\dfrac{\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
$ A = 2 \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
#61 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 13:56:56
et pour les deux derniers, je dis que c'est 2 fois et 3 fois le tour du cercle don c que c'est modulo $\pi$
#62 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 13:52:15
$\dfrac{9\pi}{7} = \dfrac{7\pi}{7} + \dfrac{2\pi}{7} =\left( \pi + \dfrac{2\pi}{7}\right)$
$\cos\left(\pi+x\right) = -\cos(x) $ donc $\cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
#63 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 13:06:37
$\dfrac{9\pi}{7} = \dfrac{7\pi}{7} + \dfrac{2\pi}{7} = \pi + \dfrac{2\pi}{7}$
$\sin\left(\pi+x\right) = -\sin(x) $ donc $\sin\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = -\sin\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$
#64 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 27-05-2020 12:44:54
Bonjour Yoshi ,
$A =\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{15\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{23\pi}{7}\right)$
1.$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)$
2.$\cos\left(\frac{9\pi}{7}\right) = $
$\frac{9\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} + \frac{2\pi}{7} = \pi + \frac{2\pi}{7}$
$\sin\left(\pi+x\right) = -\sin(x) $ donc $\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$
3.$\cos\left(\frac{15\pi}{7} \right)= $
$\frac{15\pi}{7} = \frac{14\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 2\pi+\frac{\pi}{7}$
4.$\cos\left(\frac{23\pi}{7}\right) = $
$\frac{23\pi}{7} = \frac{21\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 3\pi+\frac{\pi}{7}$
#65 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 26-05-2020 17:57:11
Bonsoir Yoshi, pour $\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$, est-ce que c'est ça : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/22/yf5n.png
#66 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 17:24:13
$(\pi+x) = \frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2}+x \right)$
$\sin(\pi+x) = \sin \left(\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2}+x \right) \right)$
$\sin$(210) < 0 et $\cos$(90+30) <0
$\sin(\pi+x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+x\right) \right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$
Propriété 3 : $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) =$ $-\sin(x)$
Puisque $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) =$ $-\sin(x)$ alors $\sin(\pi+x) = $$-\sin(x)$
#67 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 16:05:29
je trouve : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$
je précise que j'ai trouvé ce résultat en faisant un dessin
#68 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 15:00:29
$\sin(\pi+x) =\sin\left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right]$
$\alpha = \left(\frac{\pi}{2} +x\right)$
$\sin(\pi+x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha \right)$
#69 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 14:49:31
je dois dire que $\alpha = \left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$
c'est ça ?
#70 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 14:30:18
La 2e décomposition ?
#71 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 13:42:39
$\sin(\pi+x) = \sin(2\pi -\pi+x) = \sin(2\pi $$-$$ (\pi-x))$
$\sin(2\pi - (\pi-x ) ) = \sin($ $-$$(\pi-x) ) $
$\sin(\pi+x ) = \sin(2\pi -\pi+x) = \sin(2\pi $$-$$ (\pi-x)) = \sin\left(-(\pi-x) \right)$
1ère propriété :
$\sin(-x) = -\sin(x)$ // je prends l'opposé de l'ordonnée $\sin(x)$ pour avoir l'ordonnée de $\sin(-x)$
Puisque que : $\sin(-x) = -\sin(x)$ alors
$\sin(\pi+x)$$ = \sin(2\pi-(\pi+x) = \sin(2\pi-(\pi-x) = \sin(-\pi-x) =$$ -\sin(x)$
#72 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 25-05-2020 08:53:28
Bonjour Yoshi ,
$\sin(\pi-x) = \sin(x)$ et $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$
$\sin(\pi+x) = \sin(-x)$ et $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
#73 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 12-05-2020 13:45:53
Yoshi, je vais pas pouvoir répondre tout de suite, il faut que j'aille dans ma famille et je n'aurais pas la wi-fi.
j'espère que le déconfinement se passe bien pour toi et pour tes proches, mes parents te remercie pour l'aide que tu m'as apporté pendant cette période, grâce à toi, j'ai fait beaucoup de progrès
#74 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 12-05-2020 12:43:59
Bonjour Yoshi, tu as raison , j'ai dû me mélanger les crayons...tu n'as pas écrit $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(x)$
c'est moi qui me suis me trompé ..
et pour $\pi-x$ , je suis parti de ce dessin : https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08W
voici ce que j'ai fait pour $\pi-x$ : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/20/fin9.png
#75 Re : Entraide (collège-lycée) » Dm produit scalaire » 11-05-2020 16:22:16
Salut, pour la démonstration sans dessin # 251
tu remplaces la recherche de $\cos(\pi-x)$ par la recherche de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$
et sur mon dessin, pour le calcul de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+ x\right)$ la longueur sur l'axe des cosinus n'est pas la même que la longueur du cosinus pour $\cos (\pi-x) $ donc on ne peut pas dire que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(x)$ , ??