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#51 Re : Entraide (supérieur) » convergence » 25-11-2017 22:45:32
As tu un exemple de l'étude de la convergence dans $\mathcal{D}'$ par ce concept pour que je puisse l'appliquer?
#52 Re : Entraide (supérieur) » convergence » 25-11-2017 22:13:28
Non mais en faisant des recherches j'ai trouvé ceci: http://fracademic.com/dic.nsf/frwiki/121716
comment ce concept peut nous aider à calculer la limite? Je t'en pris.
J'ai oublié mon autre question: pourquoi ce n'est pas crrecte d'appliquer la convergence dominée à la suite $f_n \varphi$? Voici ce que je pensais faire: on fait un changement de variables $y=nx$ qui implique
$$
<f_n,\varphi>=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{1+y^2} \varphi(\dfrac{y}{n}) dy
$$
d'un côté, $\dfrac{1}{1+y^2} \varphi(\dfrac{y}{n})$ converge simplement vers $\dfrac{1}{1+y^2} \varphi(0)$ et d'un autre côté $|\dfrac{1}{1+y^2} \varphi(\dfrac{y}{n})| \leq \sup|\varphi| |\dfrac{1}{1+y^2}| \in L^1(\mathbb{R})$.
On conclut par le théorème de convergence dominée que $\lim_{n \to +\infty} <f_n,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{1+y^2} \varphi(0) dy.$ Pourquoi c'est faux?
#53 Entraide (supérieur) » convergence » 25-11-2017 18:44:48
- uni
- Réponses : 14
Bonjour,
je révise le chapitre sur la convergence dans l'espace des distributions et j'ai l'exercice qui suit: étudier la convergence dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ de la suite donnée par $f_n(x)= \dfrac{n}{1+n^2x^2}$.
J'ai essayé une solution: vu que $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ alors elle est $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et définie une distribution par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <f_n,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{n}{1+n^2x^2} \varphi(x) dx
$$
J'essaye d'appliquer le théorème de convergence dominée, mais j'hésite: est ce que je l'applique sur $f_n$ ou bien sur $f_n \varphi$?
Merci d'avance