Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
Puisque tu n'as pas donné l'énoncé de ton exercice, tu as obtenu une réponse générale. Tu n'as pas forcément besoin de savoir ce qu'est un point isolé pour résoudre ton exercice.
Soit $A \subset \mathbb{R}$ et $x\in A$. On dit que $x$ est isolé s'il existe $\varepsilon>0$ tel que $]x- \varepsilon, x+ \varepsilon[ \cap A = \{x\}$, autrement dit il existe un voisinage de $x$ qui ne contient aucun autre élément de $A$.

Bonjour
Réciproquement, si $u_n \rightarrow \ell$ alors $|u_n| \rightarrow |\ell|$ par continuité de la valeur absolue (on peut également le démontrer directement sans parler de continuité).

Bonjour
Je ne suis pas un spécialiste de la didactique, mais a priori des références comme Guy Brousseau (Théorie des Situations Didactiques) ou Yves Chevallard (Transposition didactique, théorie anthropologique du didactique) sont incontournables. Sinon, les brochures IREM sont plus utilisables dans le cadre de l'enseignement, et donc de la préparation du CAPES.
Par contre, il ne faut pas passer trop de temps de préparation là-dessus (notamment sur la théorie). En l'état actuel des choses, la sélection se fait principalement sur les connaissances mathématiques (la plupart des candidats obtiennent des notes supérieures à la barre d'admission aux épreuves pédagogiques et à l'entretien).
Sinon, au vu de ton profil, tu peux tenter l'agrégation externe spéciale. C'est un concours réservé aux titulaires d'un doctorat, et qui est peut-être moins exigeant en termes de niveau mathématique que l'agrégation standard, mais il y a très peu de postes.

Bonjour
La réponse que tu as trouvée est la bonne. Celle que t'a donnée l'IA aussi. Il suffit de distinguer dans la formule donnée par l'IA le cas n pair et n impair pour retrouver ta formule.
Pour obtenir la formule donnée par l'IA, ce n'est pas une suite récurrente linéaire d'ordre 1 en raison du n dans la formule. Tu peux t'inspirer des suites arithmético-géométriques en étudiant la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_n=u_n - \frac{n}{2}$.
Moralité : il faut se méfier des réponse de l'IA.

Bonjour

Bonjour
Difficile de répondre sans informations sur $f_t$.

Mais le temps de présentation de 20 minutes permet justement d'écrire une partie du plan au tableau et de présenter des diaporamas. Le but de cette épreuve n'est pas de présenter un cours complet ou d'en dire le plus possible. D'ailleurs, à l'agrégation externe, pour l'épreuve de leçon, on ne dispose que de 6 minutes pour présenter son plan, mais uniquement à l'oral.
Voila ce que dit le rapport du jury du CAPES:

Bonjour
Le principe de doubler la mise à chaque fois est à la base du paradoxe de Saint-Pétersbourg

Le fait que tout élément de l'ensemble de départ d'une application a une image unique alors qu'un élément de l'ensemble de départ d'une fonction n'a pas forcément d'image n'implique pas que pour certaines fonctions, tout élément de l'ensemble de départ admet une image unique.
Toute application est une fonction mais certaines fonctions ne sont pas des applications.

Bonjour
Il suffit de calculer $f(x+2\pi)$ et de vérifier si cette quantité est égale à $f(x)$ quel que soit $x$, par exemple en développant $(x+2\pi)\sqrt{2}\sin(x)$.

@Black Jack : Où est-ce que j'ai dit que les bases étaient des parallélogrammes?

Bonjour
Tu peux essayer de vérifier si les deux produits semi-directs obtenus sont isomorphes.