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Bonjour
à la fin du cours du produit de convolution, on a la notion suivante sur la solution fondamentale. La définition d'une solution fondamentale est donnée par: soit $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$, et soit $A$ une distribution donnée. On dit d'une distribution $w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ qu'elle est solution fondamentale de $A*w=f$ si $A*w=\delta$.
Puis une autre partie dit ceci: nous allons maintenant voir l'utilité de la notion de solution fondamentale en l'appliquant sur le Laplacien. Nous avons la proposition suivante: on définit la fonction $w$ sur $\mathbb{R}^n$ par les deux expressions suivantes:
1. pour $n =2$: $w(x)= \dfrac{1}{2 \pi} \ln||x||$ et pour $n \neq 2$ on a $w(x)= \dfrac{-1}{(n-2) w_n} . \dfrac{1}{||x||^{n-2}}$,
où $w_n$ désigne la surface de la sphére unité: $w_n= \dfrac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$.
cette fonction $w$ est la solution fondamentale du Laplacien.

Après tout ça, je ne réussi pas à voir l'utilité de la notion de solution fondamentale ni comment on calcule la solution fondamentale. Merci par avance pour toute aide.

Bien cordialement

Bonjour
on a un résultat qui dit que: pour tout $\lambda > 0$ et pour tout $f \in H^{-1}(\mathbb{R}^n)$, il existe un unique $u \in H^1(\mathbb{R}^n)$ tel que $(A-\lambda)u=f$, où $A$ est l'opérateur donné par $\sum_{i,j=1}^n D_i(a_{ij} D_j)$.

Pour démontrer ce résultat, on utilise le résultat suivant: l'application qui à $(u,v) \in H^1(\mathbb{R}^n) \times H^1(\mathbb{R}^n)$ on assosie $(u,v)_*= \sum_{i,j=1}^n \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} a_{ij}(x) D_i u \overline{D_j v} dx + \lambda \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} u \overline{v} dx$ représente un produit scalaire sur $H^1(\mathbb{R}^n)$ équivalent au produit scalaire de $H^1$.
Soit $f \in H^{-1}(\mathbb{R}^n)$. Alors on lui associe l'application linéaire continue qui associe à tout $v \in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\langle f,v\rangle_{H^{-1},H^1}$.
D'un autre côté on a par le théorème de représentation de Riesz qu'il existe un unique $w \in H^1(\mathbb{R}^n)$ tel que $\langle f,v\rangle_{H^{-1},H^1}= (w,v)_*, \ \forall v \in H^1(\mathbb{R}^n)$. En posant $w=-u$ on trouve que $f=-\sum_{i,j=1}^n D_j(a_{ij}(x) D_i u )-\lambda u$ dans $\mathcal{D}'$ donc $f=(A-\lambda)u$ dans $\mathcal{D}'$.

Ma question est puisque par Riesz, $w$ est unique est ce que cette preuve donne l'existence et l'unicité de $u$, ou bien il faut démontrer l'unicité en considérant deux solutions $u_1$ et $u_2$ puis prendre $u=u_1-u_2$ ...ect?

Bien cordialement

Bonjour
Soit $m \in \mathbb{N}^\star$. Je souhaite montrer que l'opérateur différentiel
$$
\begin{align*}
A: \sum_{|\alpha| \leq m} (-1)^{|\alpha|} D^{2 \alpha}: H^m(\mathbb{R}^n) & \to H^{-m}(\mathbb{R}^n)\\
u &\to Au
\end{align*}
$$
est une isométrie bijective.

Dans le cours que je lis, on commence par montrer la continuité de $A$. Cela revient à montrer que
$$
\exists C>0, ||Au||_{H^{-m}} \leq C ||u||_{H^m}.
$$
On a $||Au||_{H^{-m}} = \sup_{v \neq 0} \dfrac{|\langle Au,v\rangle_{H^{-m},H^m}|}{||v||_{H^m}}$.
D'où vient cette égalité? Je sais bien que par l'identité canonique: $H^{-m}$ est identique à l'espace dual $(H^m)'$. Donc $Au$ est une application linéaire continue sur $H^m$. On sait aussi que si $f \in \mathcal{L}(E,F)$ alors $||f||_{\mathcal{L}(E,F)}= \sup_{x \neq 0} \dfrac{||f(x)||_F}{||x||_E}$. Mais pourquoi $<Au,v>_{H^{-m},H^m}$ dans la formule de $||Au||_{H^{-m}}$?

Cordialement

Bonjour
si on considère la suite $f_j$ définie par
$$
f_j(x)
=
\begin{cases}
\ln|x| &:|x|>\dfrac{1}{j}\\
- \ln j &: |x| \leq \dfrac{1}{j}
\end{cases}
$$
si on dessine les graphes de $f_1, f_2, f_3$,est ce que sur ces graphes on pourra remarquer que $f_j \to \ln|x|$ dans $D'$ et que $(\ln|x|)'= vp 1/x$? Si oui, alors comment?

Merci par avance.

Bonjour
Soit $u \in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$. Je souhaite montrer que la forme linéaire continue
$$
\begin{align*}
\mathcal{D}(\mathbb{R}^n) &\to \mathbb{C}\\
\varphi &\to \langle u,\varphi \rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}}
\end{align*}
$$
se prolonge en une forme linéaire continue
$$
\begin{align*}
H^m(\mathbb{R}^n) &\to \mathbb{C}\\
v &\to \langle u,v \rangle_{H^{-m},H^m}
\end{align*}
$$

On a les éléments suivant: tout d'abord montrer la continuité revient à montrer qu'il existe une constante positive $C>0$ telle que $\forall v \in H^m(\mathbb{R}^n), |\langle u,v\rangle_{H^{-m},H^m} | \leq C ||v||_{H^m}$.

Pour ça on a les deux éléments suivants:
1- Soit $v \in H^m(\mathbb{R}^n)$. Par la densité de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ dans $H^m(\mathbb{R}^n)$, il existe une suite $(\varphi_j) \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ telle que $\varphi_j \to v$ dans $H^m(\mathbb{R}^n)$.
2- Soit $u \in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$, alors par définition il existe $C>0$ telle que $\forall \varphi_j \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n), |\langle u,\varphi_j\rangle_{D',D}| \leq C ||\varphi_j||_{H^m}$.

Je n'arrive pas à combiner ces éléments pour montrer la continuité et que la première forme se prolonge bien vers la deuxième forme.

Merci pour toute aide.

Bonjour
j'ai l'exercice sivant:
soit $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ une suite de réels. On considère la forme linéaire sur $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ définie par:
$$
\langle T,\varphi\rangle = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \varphi(n)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \langle \delta_n,\varphi\rangle,
$$
où $\delta_n$ est la distribution de Dirac au point $n$.
La question est: montrer que $T$ est bien définie et que c'est une distribution.

Ce qui me perturbe est qu'on dit d'un côté que $n \in \mathbb{Z}$ et de l'autre on définit une série de $n=-\infty$ à $+\infty$. Il n y a pas une erreur? Car il me semble qu'on devrait définir $T$ par $\langle T,\varphi\rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \varphi(n)$.

Ensuite, le fait que $T$ s'écrire en fonction de la distribution de Dirac ne facilite pas la conclusion que $T$ est une distribution?

Merci par avance.