Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#51 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 11-05-2020 15:17:34
J'ai vu votre message pour la primitive
[tex]\left[\frac{t^{-\alpha +2}}{-\alpha +2}\right] = \frac{1}{-\alpha +2} - \frac{X^{-\alpha-2}}{-\alpha +2}[/tex]
#52 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 11-05-2020 14:56:32
Il est vrai qu'il y a un lien étroit entre intégrales et séries.
Je pense que tu comprends cette idée de limite mais tes conclusions sont fausses.
Oui c'est exactement ça
$x+o(x)$ équivaut simplement à $x$ en 0 parce que $o(x)$ est par définition négligeable devant $x$
D'où [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{\alpha-1}}dt[/tex] converge en 0 ssi [tex]\lim_{X->0}\int_{X}^{1}\frac{1}{t^{\alpha-1}}dt[/tex] existe et est finie. J'ai choisi $t$ pour éviter le risque de confusion.
Je te laisse continuer ceci : $\int_{X}^{1}\frac{1}{t^{\alpha-1}}dt= ..$
Oui je suis totalement d'accord que o(x) est négligeable je pensais juste qu'il fallait le marquer. Mais c'est vrai que s'il est négligeable autant ne pas le marquer.
Je peux chercher sa primitive :
[tex]\int_{X}^{1}\frac{1}{t^{\alpha-1}} = [\frac{t^{-\alpha +2}}{-\alpha +2}][/tex] (je n'ai pas réussi à mettre les bornes mais je voulais mettre X et 1 en haut)
Donc [tex][\frac{t^{-\alpha +2}}{-\alpha +2}] = \frac{1}{-\alpha +2}[/tex]
Par conséquent [tex]\lim_{X->0}\int_{X}^{1}\frac{1}{t^{\alpha-1}}dt= \frac{1}{-\alpha +2} < \infty [/tex] Donc l'intégrale converge en 0.
#53 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 11-05-2020 14:18:02
Re,
Re,
Je t'en prie. J'essaie d'être aussi clair que possible...
Je n'en doute pas une seconde et je vous remercie sincèrement de m'accorder tout ce temps !
A partir de ce que tu as judicieusement écrit au tout début de ton post : [tex]ln(1+x)=x- \frac{x^2}{2} + o(x^3)[/tex] tu peux prendre $x$ comme équivalent de [tex]ln(1+x)[/tex] en 0. Les termes suivant de ton DL sont négligeables par rapport à ce $x$ quand $x$ tend vers 0, ce qui se traduit par : [tex]ln(1+x)=x+o(x)[/tex]
D'accord oui je comprends ! Finalement c'est un DL d'ordre 1.
Si je reprends avec toutes vos indications.
En 0 : [tex]\int_{0}^{1}\frac{x+o(x)}{x^\alpha} = \int_{0}^{1}\frac{o(x)}{x^{\alpha-1}}[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{1}\frac{o(x)}{x^{\alpha-1}}[/tex] converge en 0 ssi [tex]\lim_{X->0}\int_{X}^{1}\frac{o(x)}{x^{\alpha-1}}[/tex] existe et est finie.
En fait, oui j'ai du mal à conclure avec les intégrales. Je conclue toujours comme si c'était une série et non une intégrale.
Mais là je vais encore essayer, je dirais pour que la limite existe et est finie il faut que l'intégrale converge.
Or, [tex]\int_{0}^{1}\frac{o(x)}{x^{\alpha-1}}[/tex] converge ssi [tex]\alpha-1>1[/tex] donc [tex]\alpha>2[/tex]
En 1, ton raisonnement est juste. Bonne idée de comparaison avec une série de référence Riemann mais ta conclusion est fausse...
L'intégrale [tex]\int_{0}^{1 }\frac{ln(1+x)}{x^\alpha(1-x)^\beta}dx[/tex] converge en 1 ssi [tex]\int_{0}^{1 }\frac{ln(2)}{(1-x)^\beta}dx[/tex] converge en 1.
Or on peut dire que [tex]\int_{0}^{1 }\frac{ln(2)}{(1-x)^\beta}dx[/tex] converge en 1 ssi [tex]\beta >1[/tex] ...
#54 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 11-05-2020 12:56:38
Re,
re,
En 0 :
DavidBe a écrit :Lorsque [tex]x[/tex] tend vers 0 [tex]x^\alpha(1-x)^\beta \sim x^\alpha[/tex] et [tex]ln(1+x)\sim ln(1)=0[/tex]
Par conséquent, [tex]\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1+\beta x) }dx \sim _frac{0}{x^\alpha}[/tex]L'équivalent de [tex]ln(1+x)[/tex] en 0 que tu as écrit n'est pas faux mais pas assez précis. Tu peux l'exprimer on ne peut plus simplement en fonction de $x$ car en 0 tu as $ln(1+x)=ln(1)+... $"
Je ne suis pas sur de bien comprendre. Vous voulez dire qu'il faut que je fasse un DL en 0 c'est à dire [tex]ln(1+x)=x- \frac{x^2}{2} + o(x^3)[/tex] et lorsque ceci tend vers 0 cela équivaut à [tex]0 -\frac{x^2}{2} + o(x^3)[/tex] c'est à dire à [tex]ln(1)- -\frac{x^2}{2} + o(x^3)[/tex].
Ou autrement [tex]ln(1+x)=ln(1)*ln(x)[/tex]
En 1 : on va y aller pas à pas. Avant de sauter sur l'intégrale tu peux déjà décortiquer le problème et t'occuper de la fonction intégrée : que valent [tex]ln(1+x)[/tex] et $x^\alpha$ en $x=1$ ? Ces deux fonctions étant continues en 1, quel équivalent de [tex]\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1-x)^{\beta}}[/tex] peux tu en déduire en ce point ?
En 1, [tex]ln(1+x) = ln(2)[/tex] et $x^\alpha = 1$
Je suis d'accord par conséquent que ces deux fonctions sont continues en 1. On peut donc en déduire que [tex]\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1-x)^{\beta}} \sim \frac{ln(2)}{(1-x)^\beta}[/tex]
Donc maintenant on peut peut-être utiliser le critère de Riemann et dire que cette fonction [tex]\frac{ln(2)}{(1-x)^\beta}[/tex] converge ssi [tex]\beta > 1[/tex]
Je vous remercie pour les réponses et les explications que vous m'apportez
#55 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 11-05-2020 08:33:28
Re,
Quand $x$ tend vers 0, je voyais plutôt un équivalent simple de $x^\alpha(1-x)^\beta$ qui ne dépend plus de $(1-x)^\beta$ et un autre tout aussi simple de $ln(1+x)$. L'équivalent du quotient est alors le quotient des équivalents..
Lorsque [tex]x[/tex] tend vers 0 [tex]x^\alpha(1-x)^\beta \sim x^\alpha[/tex] et [tex]ln(1+x)\sim ln(1)=0[/tex]
Par conséquent, [tex]\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1+\beta x) }dx \sim _frac{0}{x^\alpha}[/tex]
Du coup, cela veut dire qu'on peut prendre n'importe quelle valeur de [tex]\alpha[/tex] ?
Autre chose uniquement sur la forme :
DavidBe a écrit :[tex]\lim_{x->1}\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1+\beta x) }dx[/tex] converge ssi [tex]\beta >1[/tex]
A supposer que la fonction intégrer soit la bonne, ce qui n'est pas le cas mais peu importe ici.. est ce que tu ne voulais pas plutôt écrire que cette limite [tex]\lim_{x->1}\int_{0}^{x}\frac{ln(1+t)}{t^\alpha (1+\beta t) }dt[/tex] est finie ?
En d'autres termes : est ce que la fonction de $X$ qu'est [tex]F(X)=\int_{0}^{X}\frac{ln(1+t)}{t^\alpha (1+\beta t)}dt[/tex] a une limite finie quand $X$ tend vers 1 ?Je te renvoie à la définition du post #2...
Oui exactement, j'ai du mal encore à rédiger correctement mais c'est exactement cela que je voulais écrire (avec la bonne intégrale du début sans DL) :
[tex]\lim_{X->1}\int_{0}^{X}\frac{ln(x+1)}{x^\alpha (1-x)^\beta}[/tex]
Mais je n'arrive pas à trouver cette limite parce qu'à chaque fois que j'essaye de faire un changement de variable j'ai toujours [tex](1-h)^\alpha ou \beta[/tex] et donc j'ai 0 au dénominateur.
#56 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 10-05-2020 22:38:45
Rebonsoir,
re;
DavidBe a écrit :2) [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{ln(1+x)}{x^\alpha(1-x)^\beta}dx[/tex]
Tu es sur que cette fonction $h$ est la bonne avec ce changement de variable ?
Je me suis trompée dans l'énoncé pour les bornes c'est 0 et 1, excusez-moi. Effectivement je voulais faire ceci : [tex]\int_{1}^{0}\frac{ln(h)}{(h-1)^\alpha h^\beta}dh[/tex]
Pour l'étude en 0 tu peux faire plus simple et un équivalent de $\frac{ln(1+x)}{x^\alpha(1-x)^\beta}$ est facile à trouver en ce point.
Une fois que tu l'as trouvé tu peux comparer à une intégrale de Riemann.
Serait-ce une équivalence avec le théorème des croissances comparées (le [tex]x^\alpha[/tex] et [tex]x^\beta[/tex] domine sur le [tex]ln(x+1))[/tex] ? Dans ce cas, ça voudrait dire que l'intégrale converge ssi [tex]\frac{1}{x^\alpha(x+1)^\beta} >1[/tex] d'après Riemann. Donc il faudrait que le [tex]min(\alpha+\beta)>1[/tex]
En 1, j'ai des doutes sur ce que tu as fait car ton DL n'est valable que pour $x$ proche de $0$...et encore ça serait $1-\beta x$. De plus tu n'as aucune condition sur $\alpha$ ce qui est suspect...
Là par contre un changement de variable pourrait être approprié..
Exacte ! J'ai fait un DL en 0 et en plus je me suis trompé.
Je ne vais pas faire le même changement de variable autrement j'aurai 0 au dénominateur.
Je ne vois pas quel changement de variable je pourrais faire. Cependant, je sais que [tex]x^\alpha = exp(\alpha ln(x))[/tex]
#57 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 10-05-2020 21:11:18
Bonsoir,
La définition est : l'intégrale [tex]\int_{a}^{b} f(t) dt[/tex] est convergente si la fonction [tex]F : X \mapsto F(X)=\int_{a}^{X} f(t) dt[/tex] admet une limite finie $l$ quand $X \mapsto b$, où :
$a$ est un nombre fini et $b$ un nombre fini plus grand que $a$ ou $+\infty$
Oui exactement c'est ce que je voulais dire, la limite de 'l'intégrale !
Ah oui je n'avais pas pensé à prolongé par continuité mais c'est une très bonne idée !
Pour le 2) exacte si x=0 alors le dénominateur est égale à 0 donc nous avons aussi un problème.
Pour celle -ci au début j'ai posé (changement de variable) [tex]h=1-x[/tex] ce qui me faisait [tex]\int_{0}^{1}\frac{ln(h)}{(1-h)^\alpha (h)^\beta }dh[/tex] mais le problème est toujours le même...
Pour la limite en 1, j'ai eu l'idée de faire un DL de (1-x)^B ce qui me donne [tex]\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1+\beta x) }dx[/tex]
et donc [tex]\lim_{x->1}\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{x^\alpha (1+\beta x) }dx[/tex] converge ssi [tex]\beta >1[/tex]
Pour la limite en 0 je n'ai toujours pas trouvé.
#58 Entraide (supérieur) » Intégrale Impropre » 10-05-2020 15:50:28
- DavidBe
- Réponses : 70
Bonjour !
J'ai du mal à montrer la convergence (ou non) de ces intégrales suivantes. Avant tout, je sais que pour montrer qu'une intégrale impropre est convergente, il faut montrer que sa limite (lorsque n tend vers +infini) de l'intégrale existe et est finie.
1) [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex]
Alors ici, je vois bien que le problème est en 0 et en [tex]\infty[/tex].
Par conséquent, je cherche d'abord à savoir si la limite en [tex]\infty[/tex] de [tex]\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] existe et est finie.
J'utilise ici par exemple la convergence absolue ce qui me donne que [tex]\frac{sin(t^2)}{t^2}dt = \frac{1}{t^2}[/tex] et d'après le critère de Riemann donc la limite existe et est finie, l'intégrale converge en [tex]\infty[/tex].
J'ai quand même ici un doute sur ma méthode: est-ce suffisant de montrer que [tex]\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] converge en +infini, pour montrer que [tex]\lim_{t->\infty } =\int_{1}^{\infty }\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] converge (j'ai prix exprès la borne 1 pour "enlever" le problème en 0, je ne sais pas si cela est nécessaire ...)
Mais pour montrer en 0, je n'arrive pas à trouver comment faire.
2) [tex]\int_{0}^{1 }\frac{ln(1+x)}{x^\alpha(1-x)^\beta}dx[/tex]
De même, le problème est en 1.
Pour celle-ci, je n'ai réellement pas d'idée, j'ai tenté un développement limité mais je n'ai pas réussir à conclure.
3) [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1+x^2}{\sqrt{x}}*\exp{-x}dx[/tex]
Je vois bien que le problème est en 0.
Pour celle-là, j'ai testé plusieurs méthode : absolue convergence mais ça nous avance à rien, le théorème de comparaison, le théorème d'équivalence. Mais je ne suis jamais arrivé à conclure.
J'ai donc une idée d'utiliser le théorème des croissances comparées: on voit bien ici que [tex]exp(-x)[/tex] domine et que donc l'intégrale converge mais peut-on l'utiliser ?
4) [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex]
Pour celle-ci, je vois que le problème est seulement en [tex]\infty[/tex]
Par conséquent, je me suis dit que [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge si [tex]\lim_{t-->\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] existe et est finie
Donc il faut que [tex]3-\alpha >1[/tex] pour que cela converge donc [tex]\alpha<2[/tex]
Mais là encore je ne suis pas certain de la méthode que j'utilise.
Je tiens à remercier d'avance toutes les personnes qui me donneront des indications et qui m'aideront.
Je vous souhaite à tous une bonne journée,
Bien cordialement,
David