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#51 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » homothéties dans le triangle. » 01-11-2025 18:18:01
Bonsoir,
1) $k=\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}\simeq 0.2247$ ?
L'énoncé n'est pas très clair. L'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{k}$ transforme $B$ en $C'$ ou en $C''$ ? J'ai choisi $C'$.
Cordialement,
Rescassol
#52 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 31-10-2025 21:55:22
Bonsoir,
La suite:
% Courbe isogonale de (ST) par rapport à A'B'C':
M=SimplifieBary(S+t*T);
A1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Bp,Cp),a,b,c));
B1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Cp,Ap),a,b,c));
C1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,Wedge(Ap,Bp),a,b,c));
MedA=SimplifieBary(MediatriceBary(B1,C1,a,b,c));
MedB=SimplifieBary(MediatriceBary(C1,A1,a,b,c));
Mp=SimplifieBary(Wedge(MedA,MedB));
EE=[(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)];
Mp=collect(Mp./EE,t);
E=eliminate([Mp(1)==k*x,Mp(2)==k*y,Mp(3)==k*z],[k,t]);
Eq(x,y,z)=Factor(E(1));
Iso2(x,y,z)=Factor(Eq(x/EE(1),y/EE(2),z/EE(3))/((a-b)*(a-c)*(b-c)));
Iso2(x,y,z)=numden(collect(Iso2(x,y,z),[x y z]));
% On trouve Co =
Tx2=a*(b-c)*(b^2+c^2-a^2)*(b-a+c)^2;
Ty2=b*(c-a)*(c^2+a^2-b^2)*(a-b+c)^2;
Tz2=c*(a-b)*(a^2+b^2-c^2)*(a+b-c)^2;
Txy=-(a-b)*(a-b+c)*(b-a+c)*(c^3 - 2*(a+b)*c^2 + (a+b)^2*c - 2*a*b*(a+b));
Tyz=-(b-c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(a^3 - 2*(b+c)*a^2 + (b+c)^2*a - 2*b*c*(b+c));
Tzx=-(c-a)*(a+b-c)*(b-a+c)*(b^3 - 2*(c+a)*b^2 + (c+a)^2*b - 2*c*a*(c+a));
VerifIso2=Factor(Tx2*x^2+Ty2*y^2+Tz2*z^2+Txy*x*y+Tyz*y*z+Tzx*z*x + Iso2(x,y,z))
% On a bien VerifIso2=0
Z=Factor(resultant(numden(Iso2),ST*[x; y; z],z))
% On trouve Z=(a-b)*(a-c)*(b-c)*(a+b-c)^3*(a-b+c)*(b-a+c)*(b*(a+c)*(b-a+c)*x - a*(b+c)*(a-b+c)*y)^2
% T est solution double, d'où tangence
Co=FactorT(coeffs(Iso2(x,y,z),[x y z]))'
Cen2=SimplifieBary(CentreConiqueBary(Co(1),Co(4),Co(6),Co(2)/2,Co(5)/2,Co(3)/2))
% On trouve Cen2 =
% (a+b-c)*(a-b+c)*(2*(b+c)*a^3 - 2*a^4 + (b^2-4*b*c+c^2)*a^2 - (b^2-c^2)^2)
% (a+b-c)*(b-a+c)*(2*(c+a)*b^3 - 2*b^4 + (c^2-4*c*a+a^2)*b^2 - (c^2-a^2)^2)
% (a-b+c)*(b-a+c)*(2*(a+b)*c^3 - 2*c^4 + (a^2-4*a*b+b^2)*c^2 - (a^2-b^2)^2)
ETC=ETC_Bary(Cen2,a,b,c)
% ETC=0.63831054276866230179398191120303 C'est X_24465
NulCen=Factor(det([Cen1 Cen2 S])) % NulCen=0 donc Cen1, Cen2, S sont alignés
Les deux hyperboles se coupent en l'orthocentre:
$H=X_4=[S_bS_c;\ S_cS_a;\ S_aS_b]$
et le point de Gergonne:
$Ge=X_7=[(a-b+c)(a+b-c);\ (-a+b+c)(a+b-c);\ (-a+b+c)(a-b+c)]$ du triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
#53 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 31-10-2025 16:58:40
Bonjour,
La droite $(ST)$ passe également par le centre $O$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Elle est référencée dans l'ETC comme étant la deuxième "central line" sous le nom "OI Line".
C'est un diamètre du cercle circonscrit, donc son isogonale par rapport au triangle $ABC$ est une hyperbole équilatère circonscrite, dont une équation barycentrique est $a(b-c)(b-a+c)yz+b(c-a)(a-b+c)zx+c(a-b)(a+b-c)xy=0$
C'est l'hyperbole de Feuerbach du triangle $ABC$, centrée au point de Feuerbach
$X_{11}=[(b-c)^2(b-a+c);\ (a-c)^2(a-b+c);\ (a-b)^2(a+b-c)]$
D'autre part:
Iso1(x,y,z)=a*(b-c)*(b-a+c)*y*z + b*(c-a)*(a-b+c)*z*x + c*(a-b)*(a+b-c)*x*y;
Z=Factor(resultant(Iso1,ST*[x; y; z],z))
% On trouve Z=c*(a-c)*(b-c)*(a*y-b*x)^2*(a-b+c)*(b-a+c)
% I est solution double, d'où tangence
Cordialement,
Rescassol
#54 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 31-10-2025 09:35:12
Bonjour,
La droite $(ST)$ est: $ST=[bc(b-c)(b-a+c),\ ac(c-a)(a-b+c),\ ab(a-b)(a+b-c)]$.
Cordialement,
Rescassol
#55 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 30-10-2025 19:15:17
Bonsoir,
Oui, ton $\dfrac {8\sqrt {35}}{6}$ et mon $\dfrac {\sqrt {560}}{3}$ sont liés, ce n'est pas une coïncidence.
Cordialement,
Rescassol
PS: Ici, il est d'usage de se tutoyer.
#56 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 30-10-2025 17:47:13
Bonjour,
Voilà le code de ma fonction ETC_Bary qui donne le nombre de la table 6-9-13 d'un point donné en coordonnées barycentriques:
function Dbc = ETC_Bary(P,a,b,c)
f(a,b,c)=P; P=f(6,9,13); X=P(1)/sum(P);
Dbc=vpa(X*sqrt(560)/3);
end
vpa sert à forcer le mode flottant au lieu de rationnel.
Cordialement,
Rescassol
#57 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 30-10-2025 17:20:05
Bonjour,
Les coordonnées barycentriques de $Da,Db,Dc$ étaient déjà dans mon code, ainsi que tous les autres points.
Cordialement,
Rescassol
#58 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 30-10-2025 16:53:52
Bonjour,
Je rajoute ceci à mon code précédent:
FaDa=SimplifieBary(Wedge(Fa,Da)); % Droite (Fa Da)
% On trouve FaDa=[-(b-c)*(b-a+c), (b+c)*(a-b+c), -(b+c)*(a+b-c)]
% De même:
FbDb=[-(a+c)*(b-a+c), (a-c)*(a-b+c), (a+c)*(a+b-c)]; % Droite (Fb Db)
FcDc=[(a+b)*(b-a+c), -(a+b)*(a-b+c), -(a-b)*(a+b-c)]; % Droite (Fc Dc)
Nul=Factor(det([FaDa; FbDb; FcDc]))
% Nul=0 donc les droites (Fa Da), (Fb Db), (Fc Dc) sont concourantes
Y=SimplifieBary(SimplifieBary(Wedge(FaDa,FbDb)));
% On trouve Y=[a*(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c), b*(a+c)*(a+b-c)*(b-a+c), c*(a+b)*(a-b+c)*(b-a+c)]
ETC=ETC_Bary(Y,a,b,c);
% On trouve ETC=0.52972631350505312550460407983051 C'est bien X_65
YY=SimplifieBary(OrthocentreBary(Fa,Fb,Fc,a,b,c))
Nul=FactorT(Y-YY) % Nul=[0; 0; 0] donc YY est aussi X_65
Cordialement,
Rescassol
#59 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » À propos de X(57) » 30-10-2025 15:02:35
Bonjour,
% DSBmath - 30 Octobre 2025 - À propos de X(57) (BibM@ths)
clear all, clc
syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
%-----------------------------------------------------------------------
I=[a; b; c]; % Centre du cercle inscrit et son triangle de contact
Fa=[0; a+b-c; a-b+c]; Fb=[a+b-c; 0; -a+b+c]; Fc=[a-b+c; -a+b+c; 0];
Am=[0; 1; 1]; Bm=[1; 0; 1]; Cm=[1; 1; 0]; % Milieux des côtés du triangle ABC
Ha=[0; Sc; Sb]; Hb=[Sc; 0; Sa]; Hc=[Sb; Sa; 0]; % Pieds des hauteurs
Da=SimplifieBary(Wedge(Wedge(A,Ha),Wedge(I,Am))); % Da=[a*(b+c); Sc; Sb]
% De même:
Db=[Sc; 2*b*(a+c); Sa]; Dc=[Db; Da; c*(a+b)];
Ap=SimplifieBary(Wedge(Wedge(Fa,Da),Wedge(Fb,Fc)));
% On trouve:
Ap=[(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)];
% De même:
Bp=[a*(a+b-c)*(a-b+c); (a+c)*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)];
Cp=[a*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); (a+b)*(a-b+c)*(b-a+c)];
AAp=SimplifieBary(Wedge(A,Ap)); % AAp=[0, c*(a-b+c), -b*(a+b-c)]
% De même:
BBp=[-c*(b-a+c), 0, a*(a+b-c)]; CCp=[b*(b-a+c), -a*(a-b+c), 0];
Nul=Factor(det([AAp; BBp; CCp]))
% Nul=0 donc les droites (AA'), (BB'), (CC') sont concourantes
X=SimplifieBary(Wedge(AAp,BBp));
% On trouve X=[a*(a+b-c)*(a-b+c); b*(a+b-c)*(b-a+c); c*(a-b+c)*(b-a+c)]
ETC=ETC_Bary(X,a,b,c);
% On trouve ETC=0.38045529151766019566349378080782 C'est bien X_57
Cordialement,
Rescassol
#60 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Vocabulaire sur les triangles » 28-10-2025 15:42:19
Bonjour,
Les notations de Conway traditionnelles sont plutot $S_A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$ et permutation circulaire, même si c'est équivalent.
Par contre je ne crois pas qu'il y ait de nom particulier pour $S_A+bc$ etc...
De plus, on a déjà $s_a=\dfrac{b+c-a}{2}$ etc... d'où risque de confusion avec tes notations.
Cordialement,
Rescassol
#61 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Il ne faut pas s'endormir » 27-10-2025 09:22:13
Bonjour,
C'est un problème majeur, mais il doit être marié au dernier mouton.
Cordialement,
Rescassol
#62 Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Un alignement » 26-10-2025 20:26:20
- Rescassol
- Réponses : 0
Bonsoir,
Soit un triangle $ABC$ et le centre $I$ de son cercle inscrit.
$A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$, et $A''$ le symétrique de $I$ par rapport à $(BC)$.
Soit $O_A$ le centre du cercle $IA'A''$ et permutation circulaire.
Montrer que $O_A,O_B,O_C$ sont alignés sur une droite passant par $I$ qui est la polaire trilinéaire de $X_{88}$ par rapport au triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
PS: Cette droite est aussi la parallèle à la tripolaire de $I$ passant par ce même $I$.
#63 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Les 2 triangles » 26-10-2025 17:50:37
Bonjour,
Il suffit de rajouter ceci à mon code:
f(p,q,r, u,v,w, x,y,z)=[(u*x+u*y+w*x)*(p+q+r), (q*x+q*y+r*y)*(u+v+w), (r*u+q*w+r*w)*(x+y+z)];
M1=f(p,q,r, u,v,w, x,y,z);
M2=f(p,q,r, x,y,z, u,v,w);
M3=f(u,v,w, x,y,z, p,q,r);
M4=f(u,v,w, p,q,r, x,y,z);
M5=f(x,y,z, u,v,w, p,q,r);
M6=f(x,y,z, p,q,r, u,v,w);
NulConic=CoconiquesBary(M1,M2,M3,M4,M5,M6) % NulConic=0 donc c'est gagné
La fonction CoconiquesBary utilisant le Véronèse:
function X = CoconiquesBary(M1,M2,M3,M4,M5,M6)
function N = P(M)
u=M(1); v=M(2); w=M(3);
N=[u^2 v^2 w^2 u*v v*w w*u];
end
X=det([P(M1); P(M2); P(M3); P(M4); P(M5); P(M6)]);
end
Cordialement,
Rescassol
#64 Re : Entraide (supérieur) » relations et applications » 25-10-2025 22:51:22
Bonsoir,
Je t'ai déjà dit de poser des questions précises.
Comment veux tu qu'on te simplifie une explication sans savoir une explication de quoi ?
Cordialement,
Rescassol
#65 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Les 2 triangles » 25-10-2025 22:46:33
Bonsoir,
Une figure:
Cordialement,
Rescassol
#66 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Les 2 triangles » 25-10-2025 22:09:40
Bonsoir,
Effectivement, la droite $(RR')$ coupe $(B'C')$ en $R_1=[ux+uy+wx;\space y(u+v+w);\space uz+wy+wz]$ qui est indépendant de $A'=[p;\space q;\space r]$.
Cordialement,
Rescassol
#67 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Les 2 triangles » 25-10-2025 19:55:12
Bonsoir,
Depuis que je suis retraité, j'ignore complètement la notion de niveau.
Sinon, je précise la méthode donnant une droite parallèle à une autre en barycentrique:
La parallèle à $D$ passant par $M$ est donnée par $\Delta=sum(M)*D - D*M$.
Cordialement,
Rescassol
#68 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Les 2 triangles » 25-10-2025 19:04:46
Bonjour,
En barycentrique avec Matlab:
% Vassillia - 25 Octobre 2025 - Les 2 triangles
% (BibM@ths)
clc, clear all
A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC
%-----------------------------------------------------------------------
syms p q r u v w x y z real
Ap=[p; q; r]; Bp=[u; v; w]; Cp=[x; y; z];
ApBp=Wedge(Ap,Bp); % ApBp=[q*w - r*v, r*u - p*w, p*v - q*u]
BpCp=Wedge(Bp,Cp); % BpCp=[v*z - w*y, w*x - u*z, u*y - v*x]
CpAp=Wedge(Cp,Ap); % CpAp=[r*y - q*z, p*z - r*x, q*x - p*y]
P=Wedge(ApBp,AB); % P=[r*u - p*w; r*v - q*w; 0]
Q=Wedge(BpCp,BC); % Q=[0; u*y - v*x; u*z - w*x]
R=Wedge(CpAp,CA); % R=[p*y - q*x; 0; r*y - q*z]
ParaC=DroiteParalleleBary(C,AB); % ParaC=[1, 1, 0]
ParaA=[0, 1, 1]; ParaB=[1, 0, 1];
ParaCp=DroiteParalleleBary(Cp,ApBp);
% On trouve ParaCp =
% [p*w*y - p*v*z + q*u*z - r*u*y + q*w*y - r*v*y + q*w*z - r*v*z,
% r*u*x - p*w*x - p*v*z + q*u*z - q*w*x + r*v*x - p*w*z + r*u*z,
% p*v*x - q*u*x + p*v*y - q*u*y + p*w*y - q*w*x - r*u*y + r*v*x]
ParaAp=DroiteParalleleBary(Ap,BpCp);
ParaBp=DroiteParalleleBary(Bp,CpAp);
Pp=Wedge(ParaC,ParaCp);
% On trouve:
% Pp=q*u*x - p*v*x - p*v*y + q*u*y - p*w*y + q*w*x + r*u*y - r*v*x;
% p*v*x - q*u*x + p*v*y - q*u*y + p*w*y - q*w*x - r*u*y + r*v*x;
% (x + y + z)*(p*w - r*u + q*w - r*v)]
Qp=Wedge(ParaA,ParaAp);
Rp=Wedge(ParaB,ParaBp);
PPp=Wedge(P,Pp)
% PPp=[-(q*w-r*v)*(x+y+z), (p*w-r*u)*(x+y+z), q*u*x-p*v*x-p*v*y+q*u*y-p*w*y+q*w*x+r*u*y-r*v*x]
QQp=Wedge(Q,Qp); RRp=Wedge(R,Rp);
Nul=Factor(det([PPp; QQp; RRp])) % Nul=0 donc c'est gagné
X=SimplifieBary(Wedge(PPp,QQp)); % Le point de concours
% X=[(u*x+u*y+w*x)*(p+q+r); (q*x+q*y+r*y)*(u+v+w); (r*u+q*w+r*w)*(x+y+z)]
Cordialement,
Rescassol
#69 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Vocabulaire sur les triangles » 24-10-2025 09:57:26
Bonjour,
Si j'ai bien compris ce que dit l'ETC, il faut rajouter ceci à mon code précédent:
% Point cévien N (cevapoint) de M et M':
N=[(p*v+q*u)*(p*w+r*u); (q*w+r*v)*(q*u+p*v); (r*u+p*w)*(r*v+q*w)];
A2=[0; (q*w+r*v)*(q*u+p*v); (r*u+p*w)*(r*v+q*w)]; % Triangle cévien de N
B2=[(p*v+q*u)*(p*w+r*u); 0; (r*u+p*w)*(r*v+q*w)];
C2=[(p*v+q*u)*(p*w+r*u); (q*w+r*v)*(q*u+p*v); 0];
Le triangle $A_2B_2C_2$ est donc le triangle cévien de $N$, point cévien de $M$ et $M'$.
Cordialement,
Rescassol
#70 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Vocabulaire sur les triangles » 24-10-2025 09:36:26
Bonjour,
Bon, il faudrait un énoncé où les choses sont définies correctement et dans l'ordre:
Soient un triangle $ABC$ et deux points quelconques $M$ et $M'$.
$A'B'C'$ est le triangle cévien de $M$ par rapport à $ABC$.
$A''B''C''$ est le triangle anticévien de $M'$ par rapport à $ABC$.
$(D_1)$ est la polaire trilinéaire de $M$ par rapport à $ABC$.
Elle coupe les côtés de $ABC$ en $A_1,B_1,C_1$.
(Des points alignés sur une droite, il y en a une foultitude)
Ensuite, $A_2,B_2,C_2$ ne sont pas définis et je ne sais pas ce qu'est le point cévien de deux points.
Voilà un début en barycentrique avec Matlab:
% DSBmath - 24 Octobre 2025 - Vocabulaire sur les triangles (BibM@ths)
clc, clear all
A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC
syms p q r u v w real
M=[p; q; r]; Ap=[0; q; r]; Bp=[p; 0; r]; Cp=[p; q; 0]; % Triangle cévien de M
Mp=[u; v; w]; As=[-u; v; w]; Bs=[u; -v; w]; Cs=[u; v; -w]; % Triangle anticévien de M
D1=[q*r, r*p, p*q]; % Polaire trilinéaire de M
A1=[0; q; -r]; B1=[-p; 0; r]; C1=[p; -q; 0]; % Intersections de D1 avec ABC
VerifA1B1C1=det([A1 B1 C1]) % VerifA1B1C1=0, donc A1,B1,C1 sont alignés
Cordialement,
Rescassol
PS: en français, on dit cévien, cevian est de l'anglais.
#71 Re : Café mathématique » Le site mathématiques.net en panne ? » 22-10-2025 17:25:43
Bonjour,
Si je suis dans une ornière d'après toi, et que je veux y rester, je ne vois pas de quel droit tu m'en sortirais.
De toutes façons, vu que nous ne savons pas ce qu'il en est, nous discutons dans le vide.
Cordialement,
Rescassol
#72 Re : Café mathématique » Le site mathématiques.net en panne ? » 22-10-2025 17:10:40
Bonjour,
C'est incroyable comme personne ne comprend ce que je me tue à expliquer depuis des années ! Ou refuse de comprendre...
.
C'est incroyable que tu ne comprennes pas que Manu est propriétaire de son forum et qu'il peut donc en faire ce qu'il veut, en particulier gérer la situation actuelle comme il veut, même si ce n'est pas la meilleure façon d'après tes critères.
Si ça ne te plaît pas, passe ton chemin et/ou va créer ton forum à ta façon.
Cordialement,
Rescassol
#73 Entraide (supérieur) » Reponse à Azertyy » 22-10-2025 17:03:19
- Rescassol
- Réponses : 1
Bonjour,
Je n'ai pas le temps de faire un travail de professeur en préparant des documents de révision
pour des échanges en privé.
D'ailleurs, le but d'un forum n'est pas dans les messages privés.
Par contre, si tu poses des questions précises sur le forum, je peux éventuellement répondre dans la mesure de mon possible, et d'autres pourront répondre également.
Cordialement,
Rescassol
#74 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » centres perdus? » 21-10-2025 21:38:17
Bonsoir,
Les sommets du triangle tangentiel ne sont pas des centres de triangle.
Tu trouveras la définition dans l'ETC.
Cordialement,
Rescassol
#75 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Erreur sur wikipedia ? (cercles inscrits et exinscrits) » 21-10-2025 21:27:28
Bonsoir,
Tu as raison, on a bien $R=\dfrac {1}{4} \left(r_a+r_b+r_c-r\right)$.
C'est facile à vérifier avec Géogébra, par exemple.
Cordialement,
Rescassol