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$S_n = \dfrac 1 4$ [($1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1)$$ + (4 + 4 + 4 + 4+.... + 4)]$
on s'intéresse à la première parenthèse : D'accord.
et on remarque  : $1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1)$ est une suite de nombres impairs
après la suite, je vois pas..

Bonjour Yoshi,
pour passer de 1 à 1:  j'ajoute 0,
pour passer de 2 à 3 : j'ajoute 1,
pour passer de 3 à 5 : j'ajoute 2,
pour passer de 4 à 7 : j'ajoute 3,
donc c'est une suite de raison 1

donc pour la première parenthèse, j'ai une suite qui augmente à chaque fois de 2 x 2

Salut Yoshi,

$S_n = \dfrac 5 4+ \dfrac 7 4  + \dfrac 9 4 + \dfrac{11}{4} + ……… + \dfrac{2n + 5}{4}$

$S_n = \dfrac 1 4 \left(5 +7 + 9 + 11 + …… + (2n  + 5)\right)$

$S_n = \dfrac 1 4 (($ $4$ $ + 1) + ($$4$ $+ 3) + ( $ $4$$ + 5 ) + ( $$4$ $+ 7)+....+ ( $$4$ $+ ...)$

$a_{n-1} + a_1 = (a_n + r) + (a_0 - r  ) = a_n + a_0$

Bonsoir Yoshi, je n'ai pas terminé la démonstration et je n'ai pas répondu à tes 2 questions que tu m'as posées au post #23
- Combien as -tu de colonnes qui donnent la même somme ?
   - Que valent alors $2\times S_n$ ? $S_n$

pour la colonne 1 :
$a_0 + a_n$

pour la 2e colonne : $a_1 - a_{n-1}$
$a_0 +r + a_n $ $\;\;\;- \,r$ $\;=\; a_0 +a_n$

pour la colonne 3 : $a_2 - a_{n-2}$
$ a_1+r  + a_{n-1}  $  $- \,r$  $= \;a_1+a_{n-1}$

pour la colonne 3 = $a_3 - a_{n-3}$
$a_2 +r + a_{n-2}$ $- \,r$  $=\; a_2 + a_{n-2}$

pour l'avant dernière colonne :  $a_{n-1} + a_{1}$
$a_{n-2} + r + a_2 $ $- \,r$  $\;= a_{n-2} + a_2$

la dernière colonne, c'est $a_n - a_0$

Soit : $2\times S_n = a_0 + a_n + a_1+a_{n-1}+a_2 + a_{n-2} + a_{n-2} + a_2 + a_n - a_0$

Bonjour Yoshi, est-ce bien du post #4 dont il s'agit :

Si oui :
Alors, ce n'est pas comme ça que j'ai pensé ...
Mais c'est :

    - Pour la question 1 :
       $S_n = a_0+a_1+a_2+ ………+ a_{n-1}+a_n$
       Combien il y a de temes ?
     
       je réponds : il y a n termes par ce que je ne sais pas combien il y a de termes…
       que vaut n ? dans ce cas
       je n'en sais rien
      donc je réponds, il y a n termes

   - Pour  la question 2:
           $S_n = a_1+a_2+a_3+ . . . + a_{n-1} + a_n$
           Combien il y a de termes ?
         
           je réponds bien : il y a $(n-1)$ termes
           par ce que j'enlève le premier terme de la suite précédente, dans ma tête, je me dis :
           comme je ne commence pas par $a_0$ et bien j'enlève 1 termes donc je fais $(n-1)$ termes

Salut, donc tu dit que : $_{n-2}$ est un numéro

en fait, c'est comment dire , je sais pas si on peut dire "l'appellation"  $a_{n-2}$
on veut dire l'avant dernier terme
c'est ça ?

Bonjour Yoshi,  ce que je ne comprends pas dans la démonstration, c'est $a_{n-1}$ et le $a_{n-2}$

oui, il fallait deviner..