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#26 Re : Entraide (supérieur) » Théorème de Beatty » 23-09-2023 18:44:33
Merci beaucoup pour vos réponses détaillées.
Fred
Intéressant mais je n'ai pas l'impression que tu as pris le même ensemble que Glozi.
Mais ton message m'a beaucoup aidé.
Glozi
On a : [tex]A= \{1 \}[/tex]. Il y a donc un élément dans [tex]A[/tex] et aucun dans [tex]\bar{A}[/tex].
On met donc [tex]2,3,4[/tex] dans [tex]\bar{A}[/tex].
On a alors [tex]A=\{1 \}[/tex] et [tex]\bar{A}= \{2,3,4 \}[/tex]
Il y a à présent [tex]3[/tex] fois plus d'entiers non mis dans [tex]A[/tex] que d'entiers mis dans [tex]A[/tex].
On met donc dans [tex]A[/tex] les nombres [tex]5,6,7,8,9,10,11,12[/tex]
Maintenant [tex]A=\{ 1,5,6,7,8,9,10,11,12 \}[/tex] et [tex]\bar{A}= \{2,3,4 \}[/tex].
On a donc [tex]| A |=9 [/tex] et [tex]| \bar{A} | =3[/tex]
Si on s'arrête ici, on aurait [tex]n=12[/tex].
On a [tex]d_{12} (A)= \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4} [/tex].
On continue. On met [tex]13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,35,36[/tex]
On a [tex]d_{12} (A)= \dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4} [/tex]. On est redescendu à une densité de [tex]\dfrac{1}{4}[/tex].
On a [tex]A= \{ 1 \} \displaystyle\bigcup_{n \geq 0} \{ 4^n +1, \cdots , 2 \times 4^n \} [/tex]
Notons : [tex]\varphi(n)=2 \times 4^n[/tex] et [tex]\psi(n)=4^{n+1}[/tex].
Les applications [tex]\varphi[/tex] et [tex]\psi[/tex] sont bien strictement croissantes.
Posons : [tex]A_n= \{ 4^n +1;2 \times 4^n \}[/tex]. Je trouve [tex]| A_n | = 4^n[/tex]
Donc comme [tex]A=\displaystyle\bigcup_{n \geq 0} A_n[/tex] et que l'union est disjointe, donc :
[tex]d_{\varphi(n)} (A)=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^n 4^k}{2 \times 4^n}= \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=0}^n (\dfrac{1}{4})^{n-k}= \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{j=0}^n ( \dfrac{1}{4} )^j =\dfrac{2}{3} ( 1- (\dfrac{1}{4})^{n+1} ) \longrightarrow \dfrac{2}{3}[/tex]
Je ne comprends pas mon erreur, on devrait trouver [tex]\dfrac{3}{4}[/tex].
#27 Re : Entraide (supérieur) » Théorème de Beatty » 20-09-2023 18:20:23
Bonsoir,
Merci pour votre réponse. J'avoue que je m'attendais à des exemples plus simples et faciles à manipuler.
J'ai du mal à comprendre la construction de [tex]A[/tex].
Ce que je ne comprends pas c'est que si [tex]A=\{ 1 \}[/tex], on a [tex]d_n(A)=\dfrac{1}{n}[/tex] qui ne bouge pas.
J'ai du mal à voir pourquoi on regarde [tex]1/4[/tex] et [tex]3/4[/tex].
Pour l'exemple explicite, je ne comprends pas qui est [tex]n[/tex]. Je ne comprends pas vraiment cet ensemble [tex]A[/tex].
Il me semble que [tex]A[/tex] n'est pas une partie de [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex] défini comme tel. Il peut contenir des réels non entiers non ?
#28 Entraide (supérieur) » Théorème de Beatty » 19-09-2023 19:59:19
- Cosmic Gate
- Réponses : 57
Bonsoir,
Pour la question 1 je suppose que la réponse est non mais je ne trouve pas d'exemple pour le prouver.
Soit [tex]A[/tex] une partie de [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex]. On considère la suite [tex]d_n(A)=\dfrac{card ( A \cap \{1, \cdots, n \} )}{n}[/tex].
On définit la densité de [tex]A[/tex] notée [tex]d(A)[/tex] comme la limite de cette suite si elle existe.
1) Toutes les parties de [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex] ont-elles une densité ?
2) Montrer que si [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux parties disjointes de [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex] ayant une densité alors [tex]d(A \cup B)=d(A)+d(B)[/tex].
3) Soit [tex]a>1[/tex]. Quelle est la densité de [tex]E_a = \{ E(na) \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \}[/tex].
4) En déduire que si [tex]E_a[/tex] et [tex]E_b[/tex] forment une partition de [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex], [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont irrationnels et [tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1[/tex].