Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

J'ouvre une nouvelle discussion pour répondre à la question de yannD.

Je vais me permettre de corriger tes définitions.
Déjà, une fonction est croissante (ou décroissante) sur un intervalle.
Cet intervalle peut être $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$.
Et si la variation de $f$ n'est pas stricte, l'inégalité devient large.

Cela donne les définitions suivantes :
Soit $f$ une fonction définie sur $I$ un intervalle réel.

• On dit que $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)\le f(y)$).

• On dit que $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)<f(y)$).

• On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)\ge f(y)$).

• On dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)>f(y)$).

Et j'en rajoute deux pour la route :

• On dit que $f$ est monotone sur $I$ si et seulement si
  ($f$ est croissante sur $I$  OU  $f$ est décroissante sur $I$)

• On dit que $f$ est strictement monotone sur $I$ si et seulement si
  ($f$ est strictement croissante sur $I$  OU  $f$ est strictement décroissante sur $I$)

Autrement dit, une fonction monotone sur $I$ ne change pas de variation sur $I$.

Voilà pour la partie cours un peu fastidieuse (pour rester poli).
On pourra retenir simplement que
- une fonction croissante conserve le sens de l'inégalité ;
- une fonction décroissant change le sens de l'inégalité.

Concernant la "subtile" différence entre croissant et strictement croissant,
dans la pratique, on omettra très souvent de préciser si les variations sont strictes.
En effet, beaucoup d'inégalités importantes en mathématiques sont au sens large, on donc on a rarement besoin de s'embêter avec ce détail.
Mais ce n'est pas toujours le cas, donc il vaut mieux l'avoir en tête pas trop loin.

Une petite application : Tu as dû voir au collège que dans une inégalité,
- si on multiplie de chaque coté par un réel strictement positif, alors le sens de l'inégalité ne change pas ;
- si on multiplie de chaque coté par un réel strictement négatif, alors le sens de l'inégalité change.
Par exemple, $4\le 5\quad\Rightarrow\quad 4\times 3\le 5\times 3$ ;
mais, ${}\qquad\quad4\le 5\quad\Rightarrow\quad 4\times(-3)\ge 5\times(-3)$.
C'est une conséquence directe des définitions au dessus.

En effet, multiplier par 3 revient à passer à la fonction $f$ avec $f:x\mapsto 3x$.
Or $f$ est une fonction linéaire de coefficient directeur positif ($3>0$),
donc $f$ est croissante,
donc l'inégalité ne change pas.
Et cela fonctionne de la même manière en remplaçant 3 par n'importe réel strictement positif.

Par contre, multiplier par -3 revient à passer à la fonction $g$ avec $g:x\mapsto -3x$.
Or $g$ est une fonction linéaire de coefficient directeur négatif ($-3<0$),
donc $g$ est décroissante,
donc l'inégalité change.
Et encore une fois, cela fonctionne de la même manière en remplaçant -3 par n'importe réel strictement négatif.

Un autre exemple avec la fonction carrée :
$4\le 5\quad\Rightarrow\quad 4^2\le 5^2$,
${}\quad$car la fonction carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$ ;
$-5\le -4\quad\Rightarrow\quad (-5)^2\ge (-4)^2$;
${}\quad$car la fonction carrée est décroissante sur $\mathbb{R}_-$

Et un dernier exemple avec la fonction inverse :
$4\le 5\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{5}$,
${}\quad$car la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ ;
$-5\le -4\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{-5}\ge \dfrac{1}{-4}$;
${}\quad$car la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$

Voilà, ça fait beaucoup d'information d'un coup. Normalement, il me faut bien 3h de cours pour expliquer tout ça en classe. Donc je te laisse digérer tout ça et deux petits exercices.

1) À quel intervalle appartient $x^2$ si
     a) $2\le x\le 7$
     b) $-10\le x\le -5$
     c) $x\le -9$
     d) $-6\le x\le 4$     (attention pour celui-ci)

2) À quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ si
     a) $2\le x\le 7$
     b) $-10\le x\le -5$
     c) $x\ge 9$              (attention pour celui-ci)
     d) $-6\le x\le 4$     (attention pour celui-ci)

Tu dois bien entendu justifier tes réponses.

Salut,

Je fais quelques entraînement aux Olympiades mathématiques avec mes élèves ; et dans l'exercice 2 du sujet première Asie de l'année dernière, on tombe sur la suite suivante :
$R_3=2$
$R_{n+1}=\dfrac{R_n}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

La dernière question consiste à formuler une conjecture sur cette suite.
Avec les élèves, on a rapidement conjecturé que cette suite était convergente mais sans vraiment approfondir par manque de temps.
Ils ont laissé tourner un petit script Python pendant plusieurs jours pour vérifier... et ça semble correct.
Mais ce n'est pas une preuve. (Si je laisse tourner le même script pour calculer la série harmonique, je risque de conjecturer la même chose...)

Une idée pour étudier plus rigoureusement cette suite ?

Salut,

Petite énigme sympa trouvée sur internet :

"Un octogone inscrit dans un cercle a quatre cotés consécutifs égaux à 3 et les quatre autres égaux à 2.
Quelle est l'aire de cet octogone ?"