Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à toutes et à tous
Le problème est (s'il n'y a pas d'erreurs) résolu pour les matrices carrées 2×2 dans [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] (p premier)
car on montre que si le déterminant de la matrice [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex] est égal à 0 on a:
[tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^k=(a+d)^{k-1}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex] 

Dans [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]  on a  [tex]0\le(a+d)\le(p-1)[/tex] et on considère ici les entiers [tex] k\ge 2[/tex]
Si (a+d)=0 avec  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}[/tex] on a  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^2= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}[/tex]
la matrice  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex] est nilpotente d'indice 2
Si [tex](a+d)\neq0[/tex] il existe un plus petit exposant q entier naturel non nul tel que [tex](a+d)^q=1[/tex]
q étant un diviseur de p-1
on a alors [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{q+1}=(a+d)^q\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex]
donc (voir SVP le début des posts) dans le cas (a+d) non nul [tex] k_2=q[/tex] tel que [tex](a+d)^q=1[/tex] et [tex]k_1=1[/tex]
exemple dans  [tex]\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}[/tex] avec  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\4&8\end{bmatrix}[/tex]      a+d=9       [tex]9^3=1[/tex]          q=3
[tex]\begin{bmatrix}1&2\\4&8\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix}1&2\\4&8\end{bmatrix}[/tex]
Merci pour la vérification et pour la résolution pour les matrices r×r (r>2)
Bonne semaine
Ddtrg

Par exemple dans [tex] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/tex] pour les matrices (m) 2×2 on trouve
pour les 33 matrices à déterminant égal à zéro

- 1 matrice telle que [tex] (m)^1 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} [/tex]
- 8 matrices telles que [tex] (m)^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} [/tex]
- 12 matrices telles que [tex] (m)^2 =(m)^1  [/tex]    [tex] k_1=1, k_2=2 [/tex]
- 12 matrices telles que [tex] (m)^3  =(m)^1[/tex]    [tex] k_1=1, k_2=3 [/tex]

Bonsoir à toutes et à tous
Autre exemple (Désolé on m'a sorti du forum crypto)
La matrice de codage à coefficients dans [tex]\mathbb{Z}/26 \mathbb{Z}[/tex]
servant à coder les mots à 3 lettres, matrice choisie par convention,
est [tex](m_3)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}[/tex]
Elle permet de trouver le code de rang k d'un mot [tex]u_1u_2u_3[/tex] en calculant [tex]\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}^k*\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}[/tex]
Exemple pour le mot MAI [tex]u_1=13,u_2=1,u_3=9[/tex] (avec les conventions canadiennes) les codes successifs sont
NHE(rang 1) TWQ (rang 2) CTZ(rang 3) ...etc
On se demande quelle est la plus petite valeur  [tex]K_3[/tex] entière non nulle telle que
[tex](m_3)^{K_3}=I_3[/tex]
dans [tex]\mathbb{Z}/13 \mathbb{Z}[/tex]
[tex]N_{13}=13^3(13^3-1)(13^2-1)(13-1)=2*3^4*7*13^3*61[/tex]
dans [tex]\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}[/tex]
[tex]N_{2}=2^3(2^3-1)(2^2-1)(2-1)=2^3*3*7[/tex]
Les facteurs premiers de [tex]K_3[/tex] sont à chercher dans [tex]N_{2}[/tex] et [tex]N_{13}[/tex]
Ensuite on peut imaginer un programme lancé à partir de [tex]k = N_{2}* N_{13}[/tex] et qui éliminerait successivement les facteurs inutiles de [tex]k = N_{2}* N_{13}[/tex] pour obtenir finalement le plus petit diviseur    [tex]K_3 \ de \ k = N_{2}* N_{13}[/tex]  tel que [tex](m_3)^{K_3}=I_3[/tex]
On trouve ainsi [tex]K_3=1281=3*7*61[/tex] et effectivement le code de rang 1281 de MAI est MAI
La recherche des moyens d'étude des cycles de codes à n lettres est assez intéressante à découvrir du moins pour un retraité.
Pour les codes à 3 lettres on a:
1 cycle à 1 code {ZZZ}
1 cycle à 7 codes {MMM,ZZM,ZMM,MZZ,MZM,MMZ,ZMZ}
12 cycles à 183 codes à 3 lettres toutes paires Z,B,D,F,H,J,L,N,P,R,T,V,X
12 cycles à 1281 codes à 3 lettres non toutes paires
[tex]1+7+12*183+12*1281=17576=26^3[/tex]

Bonjour
Pour la matrice m11 le plus petit entier non nul K11 tel que m11^K11=I11
est K11=2^4×3×5×7×23×89×5229043
Pourquoi retrouve-t-on le même facteur premier 5229043 à la fois dans K7 et dans K11 ????
m7^K7=I7     K7=3×31×5229043
Merci

Bonjour
On peut modifier la matrice m2 pour que son déterminant soit égal à 1 comme c'est le cas pour toutes les matrices mn
m2=[[1,-1][-1,2]]
Dans 26/26Z le plus petit entier non nul tel que m2^K2=I2
devient K2= 42
Ensuite il y a une erreur pour K10
Dans 26/26Z le plus petit entier non nul tel que m10^K10=I10
est K10= 5124 et non pas 4022340 comme indiqué auparavant