Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il y a quelque chose qui m'échappe dans ce raisonnement :

La fonction [tex]x\to \frac{1}{x}[/tex] est continue sur [tex]]0;+\infty[[/tex], donc [tex]\forall x\in ]0;+\infty[, \forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall x'\in ]0;+\infty[, |x-x'|<\delta[/tex] implique [tex]|f(x)-f(x')|<\epsilon[/tex].

En particulier, pour [tex]\epsilon=1, \exists \delta>0, \forall x'\in ]0;+\infty[, |x-x'|<\delta[/tex] implique [tex]|f(x)-f(x')|<1[/tex].
En particulier, pour [tex]x'=x+\frac{\delta}{2}[/tex], on obtient [tex]1>|\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{\delta}{2}}|=\frac{\delta}{(2x+\delta)x}[/tex].
Ceci étant vrai pour tout [tex]x\in ]0;+\infty[[/tex], alors lorsque [tex]x\to +\infty[/tex], on obtient une contradiction.

Je ne vois pas où est l'erreur...

Merci à vous :)

Bonjour,

Voici ce que je trouve dans un manuel de Terminale :

D et U sont deux variables aléatoires indépendantes prenant leurs valeurs de manière équiprobable dans [|0;9|].
1) Déterminer E(U) et l'écart-type de U.
2) On note N=10D+N.
a) Justifier que N prend ses valeurs dans [|0;99|].
b) Calculer E(N) et l'écart-type de N.
c) La variable N a-t-elle la même loi qu'une variable aléatoire X prenant ses valeurs de manière équiprobable dans [|0;9|] ?

Tout va bien, mais pour la 2)c), quel type de justification est attendue ? Pour info, E(X)=E(N) et V(X)=V(N).

Merci !

Bonjour,

Je bloque complètement sur un truc.
J'étudie une preuve du fait que sur [tex](R^d,\|.\|)[/tex], tout sous-ensemble [tex]F[/tex] fermé borné est compact.
On considère la norme euclidienne.

Soit donc [tex]x=(x^n)^n[/tex] une suite d'éléments de [tex]F[/tex]. Puisque [tex]F[/tex] est borné, il existe un [tex]M[/tex] positif tel que pour tout [tex]n[/tex], [tex]\|x\|\le M[/tex].
Or, [tex]\|x\|=\sum_{i=1}^d |x^n_i| \le |x^n_i|\le M[/tex] pour tout [tex]1\le i\le d[/tex].

Déjà, que signifie ce [tex]x_i^n[/tex] ? En effet, [tex](x^n)_n=(x^1,x^2,...,x^n,x^{n+1},...)[/tex] donc à quoi correspond l'indice [tex]i[/tex] ici ?
Ensuite, on somme de 1 à d, car nous sommes en dimension finie égale à d. Mais ma suite est infinie a priori, donc où passent tous les autres termes ? Est-ce qu'il s'agit de l'écriture de la suite dans la base canonique ?

Voilà, mes questions sont sûrement idiotes, mais comme je bloque totalement, je préfère ratisser large...

Merci

Bonsoir tout le monde,

Je m'intéresse à l'ensemble [tex]T=[0;1]\times {0}[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], et dans le but de détermilner son intérieur relatif, je dois d'abord rechercher l'enveloppe affine de [tex]T[/tex].
Il faut donc recherche le plus petit sous-espace affine contenant [tex]T[/tex]. Comment fait-on cela ? J'essaye de passer par la caractérisation par les combinaisons affines finies, sans succès.

Merci pour votre guidage !

Bonjour,

Je considère l'ensemble [tex]C=\{x=(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3, x_1\ge 0, x_2 \ge 0, x_3\ge 0, x_1+x_2+x_3\le 1\}[/tex] et on pose [tex]O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0) et C=(0,0,1)[/tex].

J'essaye de démontrer que pour tout [tex]x\in C[/tex], il existe un unique quadruplet [tex](t_1,t_2,t_3,t_4)[/tex] de réels positifs et de somme [tex]1[/tex] tels que [tex]x=t_1O+t_2A+t_3B+t_4C[/tex].

Il suffit donc de démontrer que [tex](O,A,B,C)[/tex] est un repère affine de [tex]C[/tex], autrement dit que [tex](\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})[/tex] est un repère de l'espace, c'est bien ça ?

Merci !

Bonjour,

Je considère [tex]f(x,y)=x^2+2x+2xy+y^2[/tex] avec [tex]x,y\in R^2[/tex]. Je cherche à savoir si [tex]f[/tex] est convexe sur [tex]R^2[/tex].
Pour cela, je détermine la matrice hessienne, et sauf erreur, on obtient un déterminant nul.
Dans ce cas, comment étudier la convexité de cette fonction ?

Merci

Bonsoir,

Je m'intéresse au système suivant : [tex]x'(t)=f(t,x(t))[/tex] et [tex]x(t=0)=x_0\in \mathbb{R}^d[/tex] et où[tex] f: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d[/tex].
On définit [tex]A=Df(x)\in L(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d)[/tex] avec [tex]A_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}[/tex].
On suppose que [tex]f\in C^2(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)[/tex] et que [tex]f(t,x_s)=0[/tex] pour tout [tex]t\in \mathbb{R}[/tex].
On suppose que toutes les valeurs propres de la matrice [tex]A^s(t):=\frac{1}{2}[A(t)+A^{t}(t)]=D_xf(t,x_s)[/tex] sont toutes strictement négatives, ie qu'il existe [tex]u[/tex] strictement positif tel que [tex]u^t.A(t).y\le -u|y|^2[/tex] pour tout [tex]t\ge 0[/tex] et tout [tex]y\in \mathbb{R}^d[/tex].
On suppose aussi que [tex]K_R:=\frac{1}{2} \sup_{t\ge 0} \sup_{|x-x_s|\le R} |D^2_xf(t,x)|[/tex] est fini.
Alors les solutions du système avec [tex]|x_0-x_s|[/tex] assez petit, sont globales et vérifient [tex]|x(t)|\to 0[/tex] lorsque [tex]t\to +\infty[/tex].

Pour la démonstration, on commence par le cas linéaire.
On écrit alors que [tex]\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|y(t)|^2=y(t)^t.A(t).y(t)=...[/tex]
Je ne vois pas du tout d'où ça sort. Avez-vous une idée ?

Bonsoir à toutes et à tous,

Soit [tex]f[/tex] une fonction croissante de [tex][0;1][/tex] dans [tex][0;1][/tex]. J'ai démontré qu'alors [tex]f[/tex] admettait un point fixe.
On me demande ensuite d'étudier le système dynamique associé à [tex]f[/tex].
Je ne comprends pas bien ce qui est demandé.

Dans le corrigé, on considère [tex]x_0\in [0;1][/tex] tel que [tex]f(x_0)\ge x_0[/tex], et on montre alors que la suite [tex](x_n)[/tex] définie par [tex]x_{n+1}=f(x_n)[/tex] est croissante.
Je ne vois pas en quoi ces hypothèses interviennent ici, puisque, par croissance de [tex]f[/tex], on montre par récurrence que la suite [tex](x_n)[/tex] est croissante.

Ensuite, on considère le cas où [tex]f[/tex] n'est pas strictement croissante. On dit qu'il existe alors [tex]n\ge 0[/tex] tel que [tex]x_{n+1}=f(x_n)=x_n[/tex] et qu'alors, pour tout m strictement plus grand que [tex]n[/tex], on a encore [tex]x_m=x_n[/tex].
Ici, on a juste dit que si [tex]f[/tex] n'est pas strictement croissante, alors elle est croissante (par exemple), et donc elle admet un point fixe, c'est bien ça ?

Enfin, on dit que dans le cas contraire, en posant [tex]l=\lim_n x_n[/tex], on trouve que [tex]f^{-}=\lim_n f(x_n)=l[/tex]. Bon là, je ne vois pas, car la fonction n'est pas supposée conitnue.

Il y a un dernier cas, que j'ai réussi à traiter, celui où [tex]f[/tex] est supposée monotone.

Merci d'avance pour votre aide.