Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Tâche d'être un peu ordonnée, s'il te plaît. Ta question n'apparaît pas dans ce texte, et de plus il manque la moitié des définitions. Je veux bien t'aider, mais sans question ni définitions claires c'est assez pénible.

S'agit-il de la valeur absolue cette fois ? Ou bien d'une norme de fonctions, ou d'une norme de suite (de fonctions) ?

Je réponds tout de même à ceci :

L'expression [tex]\limsup_{|x|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x)}{x}[/tex] ne fait intervenir que deux lettres : [tex]f[/tex] et [tex]t[/tex]. La variable [tex]x[/tex] est muette, à part une autre lettre muette tu ne peux donc pas lui substituer quoi que ce soit¹. La seule chose que tu pourrais faire, c'est utiliser un théorème de compositions de limites. Ici [tex]x[/tex] est un réel, et les [tex]x_n[/tex] des fonctions réelles, on peut donc éventuellement composer mais seulement point par point. Sauf qu'ici tu n'as pas d'information² sur la valeur ponctuelle des fonctions [tex]x_n[/tex], tu ne peux donc rien en déduire sur la limite.

Remarques :
¹ En étant extrêmement pervers, on a le droit de considérer localement [tex]x_n[/tex] comme une variable muette au même titre qu'un [tex]y[/tex] ou un [tex]z[/tex], tant qu'on garde en tête que cette variable abstraite n'a rien à voir avec les fonctions [tex]x_n[/tex].
² Ce n'est pas tout à fait vrai, on peut faire des trucs à la sauce Bienaymé-Chebyshev.

Et enfin une piste : as-tu pensé à écrire ce que fournissent les définitions de limite sup et limite inf ?

GK

Je l'ignore, cette notation n'a pas de sens : [tex]\limsup_{|x_n|\to\infty}[/tex].

Si tu remplaces [tex]x_n[/tex] par [tex]x[/tex] partout, alors oui c'est vrai (tu ajoutes des constantes à tes inégalités). Si au contraire tu veux dire [tex]\forall t, \limsup_{n\to\infty}[/tex], là c'est faux : il suffit de choisir des fonctions [tex]x_n[/tex] qui s'annulent toutes en 0 par exemple.

J'ai peur qu'il ne faille sortir les [tex]\epsilon[/tex] pour arriver au bout de la question. Es-tu certaine de n'avoir rien oublié dans ton énoncé ?

GK

Salut à toi MaximeD,

Je ne connais rien à la granulométrie, tout ce que je peux te dire c'est que la solution qu'on te propose fait intervenir du calcul matriciel, a priori il s'agit d'une méthode dite des moindres carrés. (Si tu es anglophone, je te conseille très fortement la version anglaise de l'article.)

Ces références t'éclairent-elles ?

GK

Rhooo...

Il est simplement dit que [tex]c(I)\subset M[/tex], et M est a priori bien plus grande que [tex]U[/tex].

Histoire de mettre les points sur les "I" : dans la première phrase, on explique que l'on travaille sur l'ensemble de courbes suivant :
[tex]\mathcal{A}_m=\bigcup_{\stackrel{I\text{ intervalle réel}}{0\in I}}\{c:I\to M\text{ différentiable}\ |\ c(0)=m\}[/tex]
À noter que l'on pourrait très bien se fixer [tex]I=[-1,1][/tex] pour toutes les courbes mais ce serait moins flexible dans la pratique. (Le mieux étant d'utiliser des germes de courbes pour supprimer la présence de I, mais ce serait introduire un concept très compliqué pour masquer un détail sans importance.)

Dans la seconde phrase on définit une relation d'équivalence sur [tex]\mathcal{A}_m[/tex], à savoir :
[tex]c\sim c' \quad\Leftrightarrow\quad \exists(U,\varphi)[/tex] carte en [tex]m[/tex] telle que [des trucs].
Cette relation d'équivalence faisant intervenir un [tex]U[/tex] qui peut être très petit et des courbes qui peuvent a priori faire 10 fois le tour de la variété, on prend la précaution de préciser qu'il faudra restreindre les domaines de [tex]c[/tex] et [tex]c'[/tex] pour que leurs images soient contenues dans [tex]U[/tex].
Par exemple, avec les notations précédentes, tu peux voir [tex]\gamma[/tex] tout entière comme une courbe sur M, et si [tex]f'(0)\neq 0[/tex], la projection sur l'axe des ordonnées est une carte locale au voisinage de [tex]m=\gamma(0)[/tex]. Ici la carte à toutes les chances d'être bien plus petite que la courbe. (À moins que [tex]f[/tex] soit un difféo... bon, bref.)

GK

Re,

Mea culpa, j'ai employé la même lettre mais il aurait été plus judicieux effectivement d'en changer pour éviter les amalgames. Quelques détails donc.

Il y a deux paramétrisations à distinguer : celle de M, que j'ai appelée [tex]\gamma[/tex], et celle de c : [tex]c(t)=\gamma(t_0+\lambda t)[/tex].
Les deux se ressemblent beaucoup ici du fait que je me suis contenté d'une transformation affine sur la paramétrisation de M, mais j'aurais pu choisir [tex]c_2(t)=\gamma(t_0+\mathrm{Argth}(\lambda t))[/tex] où [tex]c_3(t)=\gamma(t_0+\lambda\sin(t))[/tex]. Ces courbes représentent le même vecteur tangent abstrait [tex][c]=[c_2]=[c_3][/tex], que tu peux (abusivement) identifier au vecteur géométrique [tex]m+\lambda\frac{\dot{\gamma}(t_0)}{\| \dot{\gamma}(t_0) \|}[/tex] (de [tex]\mathbb{R}^2[/tex]).

Tu remarqueras que j'ai utilisé [tex]\gamma[/tex] à chaque fois : on n'a en fait pas trop le choix, pour définir un objet numériquement (une courbe) sur une variété, il faut d'abord le créer dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex], puis l'envoyer sur M à l'aide d'une carte (d'une paramétrisation en fait, l'inverse d'une carte). C'est essentiellement le seul moyen de faire du numérique sur l'objet abstrait M. Ici n=1, je trace donc d'abord une courbe dans... [tex]\mathbb{R}[/tex], puis je l'envoie sur M avec [tex]\gamma[/tex].

GK

Salut à toi missedz,

On peut en effet se forcer à formaliser des définitions mathématiques de résonance, mais comme a prévenu pas_glop ce sera nécessairement très orienté analyse de Fourier : une définition sur la wikiversité. En outre, je pense que c'est une mauvaise idée d'emprunter cette voie, le terme convenable en mathématiques ce n'est pas "résonance" mais "valeur propre du système".

Le mieux est de garder en mémoire que "Régime de résonance = Excitateur avec une pulsation égale à une pulsation propre du système". Ici on te rappelle que les carrés d'entiers sont les valeurs propres de l'opérateur [tex]-\partial_{t}^2[/tex] (enfin je crois, l'analyse n'a jamais été ma spécialité). Mais ton système n'étant pas linéaire, celà n'a aucun sens (abuserai-je ?) de parler de valeur propre pour f. C'est seulement par analogie entre la condition demandée et le cas linéaire qu'il est fait mention de "résonance à l'infini". Évidemment si ce terme est employé, il y a sûrement une raison plus profonde que cette condition, qui est probablement l'un des sujets de l'article.

Bon, après si ça se trouve, j'ai dit n'importe quoi xD

GK, pas doué chronique en analyse xD

Salut tous les deux,

"Corps factoriel" est quasiment une antinomie. La notion de factoriel est en général réservée aux anneaux qui ne sont pas des corps, car l'intérêt d'un anneau factoriel est l'utilisation de ses éléments irréductibles, or un corps ne contient aucun élément irréductible. Pourquoi ? Parce que par définition, pour être irréductible il ne faut être ni nul, ni inversible, or dans un corps tout le monde est soit nul, soit inversible.
De fait, un corps est donc bien un anneau factoriel, mais de façon vide : comme il ne contient pas d'élément non nul et non unité, il est impossible de nier le fait que "Tout élément non nul et non unité admet blablabla". [Remarque analogue pour la notion d'anneau principal.]

Je pense que le seul anneau factoriel qui t'intéresse ici, lieutenantaka, est [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Sa factorialité est nécessaire pour pouvoir définir l'application contenu des polynômes [tex](\mathbb{Z}[X],\cdot)\to (\mathbb{Z},\cdot)[/tex] (morphisme de monoïdes), qui est utilisée pour un corollaire classique du critère d'Eisenstein (mais inutile pour le critère dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]). En as-tu entendu parler ?

Alors dans l'ordre :
1) Pourquoi la décomposition en facteurs irréductibles est unique (à permutation des facteurs et association près) dans un anneau factoriel ? C'est la définition d'anneau factoriel.
2) Comment démontrer Eisenstein sans utiliser les anneaux quotients ? Exactement comme en les utilisants, c'est une simple traduction à faire : il faut remplacer les termes "égale 0 modulo p" par "divisible par p", etc. Veux-tu de l'aide sur cette partie ? Ou bien préfères-tu d'abord des explications sur la démonstration modulo p, que visiblement tu n'as pas bien saisie ?
3) Est-ce la partie corollaire qui te pose problème ? As-tu des soucis avec le lemme de Gauss / l'application contenu ?

À te lire,
GK

EDIT : décidément, chaque fois que je corrige je refais une boulette ^^ Manger devant son clavier c'est maaal

Euh... déjà tu gardes tes sarcasmes pour toi s'te plaît. On n'a pas gardé les topoi ensemble.

Ensuite je te dis que l'élément qu'il te manque pour comprendre Roro est justement contenu dans ta remarque "intuitivement je me dis que". D'où t'es venue cette intuition ? En ce qui me concerne, il a fallu que je fasse quelque chose avant d'arriver à cette même conclusion. Quelque chose de fondamental pour arriver à la solution, et qui est mentionné par Roro.
Ensuite bin si tu ne veux pas de mon aide pas de souci, bonjour chez toi.

GK

Salut tous les deux.

Comme le signale Pas_Glop, en effet les coniques impropres (attention à wikipedia, impropre et dégénéré c'est légèrement différent) résultent de l'intersection d'un cône de révolution avec un plan passant par son sommet. La description de wikipedia à côté de l'image distingue bien les 3 bons cas :
[tex]x^2 = 0[/tex] -> c'est une droite (double)
[tex]x^2-y^2=0[/tex] -> deux droites
[tex]x^2+y^2=0[/tex] -> c'est un point ... mais seulement dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. Dans [tex]\mathbb{C}[/tex], c'est le même cas que le précédent.

Et pour répondre à Pas_Glop, dans [tex]\mathbb{R}[/tex], l'image géométrique de ta conique est vide. En revanche, il s'agit de la trace réelle d'une ellipse dans [tex]\mathbb{C}[/tex] qui est affinement indiscernable de sa soeur [tex]x^2+y^2=+1[/tex].

En espérant que ça aide :)

GK, les coniques sans géométrie projective c'est maaal xD

N'aimant pas laisser une preuve incomplète, je précise la fin de ma méthode : par un calcul de déterminants (comprenant, je le concède, une récurrence immédiate), on trouve que le polynôme caractéristique de A est [tex]X^{n-2}(X^2-2X-2(n-2))[/tex]. Il s'ensuit, à cause de la dimension du noyau, que A admet le polynôme annulateur simplement scindé [tex]X(X^2-2X-2(n-2))[/tex] (pour [tex]n\geqslant 3[/tex]), et donc A est diagonalisable.

Pas très élégant et un peu longuet, si quelqu'un a mieux je suis preneur :)

GK

Bonsoir Anas,

Pourrais-tu préciser ce que tu entends par Newton "modifié" ? Les directions de Newton il y en a pléthore, et à ma connaissance aucune n'exige de f d'être une forme quadratique.

GK

Salut Simon,

La récurrence me semble une mauvaise idée. À l'oeil nu je vois que le Ker de ta matrice est très gros (dim >= n-2), du coup je tente ma chance avec le polynôme caractéristique... ça devrait se finir assez vite ^^

GK