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Oui, je reprend. On pose $S=xT$. Les solutions de $x S=0$ sont $S = \alpha \delta$. Maintenant il faut résoudre $xT=\alpha \delta$. Dans la feuille d'exercices il est écrit que les solutions de cette dernière équation sont $T=\alpha \delta' + c \delta$, par contre par quelle méthode on obtient ces solutions? (ce n'est pas expliqué sur la feuille d'exercices).

Bonjour Yassine, merci pour la réponse.
En fait j'avais lu la définition sur wikipedia mais je n'ai pas compris et je ne comprend toujours pas, en fait $L^\infty$ est muni de quelle norme? C'est à dire à quoi est égale $||f||_{L^\infty}$?
Est-ce que j'ai raison en disant que
$$
||f||_{L^\infty}= \Supp ess |f|= \{x \in \mathbb{R^n}, |f(x)| \leq M\}?
$$

Pardon j'ai fait une erreur de frappe, le second membre c'est $\delta'$^. Qu'est ce que ça change à la solution?

Ok, alors on calcule $n \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(nx)\varphi(x) dx$ par ipp.
On pose $u(x)= \varphi(x)$ qui implique que $u'(x)= \varphi'(x)$ et $v'(x)= n \sin(nx)$ qui implique que $v(x)= - \cos(nx)$.
Ainsi
$$
n \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(nx) \varphi(x) dx = -[\varphi(x) \cos(nx)]_0^{+\infty} + \displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(nx) \varphi'(x) dx = \varphi(0) + \displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(nx) \varphi'(x) dx.
$$
On calcul par ipp le terme $\displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(nx) \varphi'(x) dx$. On pose
$u(x)= \cos(nx)$ implique $u'(x)= -n \sin(nx)$ et $v'(x)= \varphi'(x)$ implique $v(x)=\varphi(x)$.
Ainsi,
$$
\displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(nx) \varphi'(x) dx = [\varphi(x) \cos(nx)]_0^{+\infty} + n \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(nx) \varphi(x) dx = -\varphi(0) + n \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(nx) \varphi(x) dx.
$$
Mais là on tourne en rond, ça ne donne rien car si on remplace cette deuxième intégrale dans la première, on aura zéro. Que faire pour arranger ce calcul?

Bonjour,
j'ai une autre suite de fonctions $\eta_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\eta_n(x)= n \sin(nx) H(x)$, où $H$ est la fonction de Heaviside.
La question est de calculer la limite de la distribution définie par $\eta_n$. Alors, tout d'abord, on remarque que $(\eta_n)$ est continue sur $\mathbb{R}$, elle est donc $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et elle définie une distribution
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle \eta_n,\varphi \rangle = n \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(nx) \varphi(x) dx.
$$
On a $\lim_{n \to +\infty}  \langle \eta_n,\varphi \rangle = \lim_{n \to +\infty} n \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(nx) \varphi(x) dx$.
Et là, c'est quoi l'astuce pour calculer cette limite?
Merci par avance pour votre aide.

Bonjour,
une question bête mais voilà.  En fait est ce qu'on appelle $\sum_n a_n \varphi(1/n)$ série entière ou bien série numérique? Parce qu'une série entière doit être de la forme $\sum_n a_n z^n$. Donc on ne dit pas de la série $\sum_n a_n \varphi(1/n)$ qu'elle est entière. Non?

Donc d'abord pour que cette application soit bien définit, c'est à dire $\sum_{n \in \mathbb{N}^\star} a_n \varphi(\dfrac{1}{n}) < +\infty$ pourquoi il suffit d'avoir $\sum_n |a_n| < +\infty$? on peut avoit $\varphi(1/n)=1$ pour tout $n$ grand et dans ce cas la série diverge. Ou je me trompe?

Pardonnes moi mais je rame tout d'un coup.  Tout d'abord, la suite $(f_n)$ n'est pas $L^1(\mathbb{R})$, pourquoi elle est régularisante? Ensuite c'est possible de m'écrire le début du calcul car je n'arrive vraiment pas à adapter l'idée de l'exercice 11 à mon cas.