Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en Terminale (spécialités Maths, Physique-Chimie, et option Maths expertes).

Actuellement, en spé, on travaille sur la loi binomiale. Dans le cours, ma prof a démontré la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale grâce aux notions de listes et de combinaisons, qui faisaient l'objet du chapitre précédent.

Mais pourrait-on démontrer cette loi de probabilité par récurrence ?

Je vous transmets ci-dessous :

           1) L'énonce de la propriété du cours.
           2) La démonstration du cours.
           3) Ma tentative de démonstration par récurrence.

1) On a préalablement défini une épreuve de Bernoulli, une variable aléatoire, et une loi binomiale.

Propriété : lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, $p$ étant la probabilité du succès sur une épreuve, la probabilité d'obtenir $k$ succès est :

[tex] P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} [/tex]

2) Démonstration du cours :

$k$ compris entre 0 et $n$.
- Sur $n$ épreuves, pour obtenir exactement $k$ succès, on dénombre $k$ succès et $n-k$ échecs. La probabilité d'une seule issue correspondant à $k$ succès est donc égale à : $p^{k}(1-p)^{n-k}$.
- Le nombre d'issues menant à $k$ succès est égal au nombre de parties de $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments : $\binom{n}{k}$
- L'événement $(X=k)$ est la réunion de toutes les issues menant à exactement $k$ succès, donc :

[tex] P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} [/tex]

3) Démonstration par récurrence (non aboutie) :

Montrons par récurrence que pour tout $n$ entier naturel non nul (i.e. quel que soit le nombre d'épreuves) la propriété est vraie.

Initialisation : si $n=1$, il n'y a qu'une épreuve, donc deux issues : succès ($k=1$) ou échec ($k=0$).

La probabilité du succès est : [tex]P(X=1) = p [/tex]
La probabilité de l'échec est : [tex]P(X=0) = q [/tex]

Or : [tex] \binom{1}{1} \times p^{1} \times (1-p)^{1-1} = p = P(X=1) [/tex]
et : [tex] \binom{1}{0} \times p^{0} \times (1-p)^{1-0} = 1-p = P(X=0) [/tex]

La propriété est vérifiée pour $n=1$.

Hérédité : Par souci de clarté, on notera $P(X=k)_n$ pour la probabilité d'obtenir $k$ succès pour $n$ épreuves, et $P(X=k)_{n+1}$ pour $n+1$ épreuves.

Supposons la propriété vraie pour un entier naturel $n$ non nul.

Montrons que pour $(n+1)$ épreuves, [tex] P(X=k)_{n+1} = \binom{n+1}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n+1-k} [/tex]

$n+1$ épreuves signifie qu'il y a une issue de plus par rapport à $n$ épreuves.

Je distingue donc deux cas.

1er cas : la $(n+1)$-ième épreuve est un succès.

[tex] P(X=k)_{n+1} = P(X=k)_{n} + (P(X=k-1)_n \times p) [/tex] (à visualiser avec les chemins de l'arbre)
[tex] P(X=k)_{n+1} = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} + \binom{n}{k-1} \times p^{k-1} \times (1-p)^{n-(k-1)} \times p [/tex]
[tex] P(X=k)_{n+1} = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k} + \binom{n}{k-1} \times p^{k} \times (1-p)^{n+1-k} [/tex]
[tex] P(X=k)_{n+1} = p^{k} \times [\binom{n}{k}\times (1-p)^{n-k} + \binom{n}{k-1} \times (1-p)^{n+1-k}] [/tex]
(Je suis bloqué sur ce calcul.)

2nd cas : la $(n+1)$-ième épreuve est un échec. (Je suis bloqué ici aussi.)

Merci d'avance pour votre aide.