Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cette suite, qui peut sembler compliquée, n'était qu'une formalité pour des élèves de Mathélem d'une autre époque.
Je ne donne que les constructions brutes. Leurs justifications figurent par exemple en bonne place dans le Lebossé & Hémery.
Pour déterminer les intersections éventuelles d'une droite et d'une hyperbole, il est nécessaire de construire les éléments suivants (en rouge sur la figure) :
- Les foyers $F$ et $F'$ de l'hyperbole.
- Un de ses cercles directeurs (par exemple ici celui de centre $F'$).
Les droites $D$, $D_1$ et le point $A$ sont donnés.

On trace les asymptotes (en bleu) avec les points $H$ et $H'$ de la figure précédente puis les axes bissectrices.
Le cercle de centre $\Phi$ passant par $H$ et $H'$ recoupe l'axe focal en les foyers $F$ et $F'$.
On construit le cercle principal de centre $\Omega$ à l'aide d'une projection d'un foyer sur une asymptote (ici $K$).
Le cercle directeur de centre $F'$ est l'homologue du cercle principal dans l'homothétie de centre $F$ et de rapport $2$.
On est maintenant paré pour les constructions finales.

On se donne maintenant la droite $D_2$.
Une nouvelle figure où ne sont conservés que les éléments "utiles" :

$F_1$ est le symétrique de $F$ par rapport à $D_2$
Un cercle quelconque passant par $F$ et $F_1$ recoupe le cercle directeur en $U$ et $V$.
Les droites $(UV)$ et $(FF_1)$ se coupent en $I$.
$\varphi$ et $\varphi'$ sont les points de contact des tangentes menées de $I$ au cercle directeur.
Les droites $(F'\varphi)$ et $(F'\varphi')$ coupent $D_2$ en $D$ et $D'$ points d'intersections de $D_2$ avec l'hyperbole.
Dans le cas parabole ($D_1\perp D$), des constructions du même genre permettent d'aboutir.

Tout ceci, un peu insipide, pour répondre à la question de Bernard-maths :

On n'a jamais eu besoin du tracé de l'hyperbole pour obtenir ses intersections éventuelles avec $D_2$ !
Resterait une discussion relative aux nombre de solutions (0,1 ou 2) suivant la position de $D_2$ par rapport aux éléments de la figure.
Tout à fait faisable mais je crois vous avoir assez enquiquiné avec les constructions géométriques ... :)
[Edit] Correction de coquilles en particulier $D_2$ qui s'était transformé en $D_3$

Merci Michel Coste,
J'avais failli écrire :

Bonsoir,

Je vois de mieux en mieux où il est :
Bien que le 256 ème et dernier problème ait été publié en 2018, le défi Turing est toujours ouvert. Sans être un concours, c'est un petit challenge plus ou moins réservé aux lycéens assorti de "récompenses". Un classement pour les groupes ou des "grades" individuels fonction du nombre de problèmes résolus.
FAQ Défi Turing
En conséquence, on peut soupçonner du pire les quidams qui postent les sujets sur divers forum.
La dernière question d'abel (à laquelle il semble qu'il ait reçu une réponse par mail) confirme les soupçons en question.
Quoiqu'il en soit, si on est intéressé par ces problèmes, la bonne réaction est de s'inscrire sur le site officiel et participer : les organisateurs du défi méritent un minimum de reconnaissance.
[Edit] Correction de coquilles.

Bonsoir,
Tu confirmes ce que je soupçonnais :

Donc via un logiciel de géométrie dynamique, ici GeoGebra, tu "tâtonnes" pour trouver une ou des solutions qui seront tout sauf exactes.
D'ordinaire, je rappelle ce que nos aïeux entendaient avec le verbe "construire". De peur de paraître un peu lourd, je ne l'ai pas fait ici. J'ai eu tort.
Les aïeux en question ne disposaient pas de logiciels de géométrie. Et pourtant, ils parvenaient, quand c'était possible, à des solutions.
Que veux dire "construire" dans ce forum dédié à la belle géométrie ?
Feuille de papier, crayon, règle et compas. Rien d'autre.
[Edit] Ah si : peut-être une gomme ;)

Bonjour Bernard-maths,
Je ne comprends pas ta construction. Pourrais-tu la détailler ?

Bonsoir,
Plusieurs solutions, c'est désormais certain. Combien ? Je ne me risquerai pas à répondre.
En situation générale (hormis cas exceptionnel), j'en avais repéré 4 : deux construites dans le message 26 et deux autres dont la construction m'échappe pour l'instant.
En initiant ce fil, j'étais très (trop) optimiste : le tétraèdre "de Rupert", j'allais en faire mon affaire en un tournemain avec la descriptive.
Las ! Non seulement j'ai vite déchanté mais le problème annexe (4 droites et les carrés) a débouché sur des difficultés que je n'avais pas vu venir.
Je me suis perdu à plusieurs reprises dans ma propre figure. Un comble !
Bref, sans être totalement découragé, je commence à faiblir ...

Bonjour à tous,
Ma pauvre machine est en toute fin de vie. J'en suis à sauver ce qui peut encore l'être sur un disque dur amovible (Mots de passe, fichiers GeoGebra, autres ... ).
Poster est un calvaire.
Bref, ne vous étonnez pas si je reste silencieux dans un proche avenir.
J'ai repoussé l'échéance trop loin : il faut absolument que j'investisse dans un ordi.
Je vais m'y employer très prochainement. En attendant ...
Amicalement.

Bonjour à tous,
Je réponds d'abord à Imod (j'ai les pires difficultés pour poster ...)

Hélas, trois fois hélas, non ! Avec le centre, j'étais sauvé !
Je n'ai fait que construire un des sommets du carré solution :

- On construit $H$ et $K$ (angles droits en $D$ et $C$)
- On construit les triangles rectangles isocèles (dans le "bon sens") $DHE$ et $CKF$.
- La droite $(EF)$ coupe la droite $D_1$ en $A_1$ premier sommet du carré solution.

On en déduit les trois autres sommets facilement.
On peut observer qu'il y a 0, 1 ou une infinité de solutions suivant que la droite $(EF)$ est strictement parallèle, sécante ou confondue avec  $D_1$.
Cette construction n'est pas robuste. Elle dépend des circonstances (position relative des 4 droites). C'est en cela qu'elle n'est pas "satisfaisante".
Je ne parle pas des discussions pour que le carré soit inscrit dans le quadrilatère convexe $ABCD$ (où on ne considère plus la droite $(EF)$ mais le segment $[EF]$  : infernal ...)

Excuse mes retards : mon écran est lézardé avec une vilaine tache noire qui prend des proportions inquiétantes. Qui plus est, mon disque dur est vérolé (plantages à répétitions, je mets deux heures à poster un misérable message). Il faut absolument que j'investisse ...
Quand je clique sur ton lien, je n'obtiens qu'une feuille de travail GeoGebra ... vide.
Ce qui m'intéresse :
-Les équations des 4 droites que tu as utilisées pour vérification.
-Les 4 points $P,Q,R,S$ obtenus par calculs qui ne semblent pas être les sommets d'un carré.
-Le fichier GeoGebra correspondant (au pire sous forme d'une image si tu n'arrives pas à poster un lien direct).
Ceci dans le but de confirmer certains soupçons dont je ne manquerai pas de faire état dans un prochain message.

Bonjour à tous et merci à vous deux : je me sens moins seul ...
>>Imod Curieusement (Bac C 73) j'ai subi de pleins fouet la réforme "Maths modernes" et je n'ai jamais entendu parler de la Géométrie de grand papa pendant mes études. Je ne m'y suis mis que (beaucoup) plus tard et la discipline m'a plu.
Si mes élucubrations géométriques peuvent intéresser ne serait-ce qu'un quidam qui passe ici et l'inciter à approfondir la matière, je serai pleinement satisfait.
>> Bernard-maths J'ai du mal à te comprendre :

Tu avoueras que c'est un peu court ...
En Géométrie, les calculs sont souvent nécessaires. Mais ils faut qu'ils aboutissent ! Autrement dit, tu dois mettre les mains dans le cambouis pour convaincre ton auditoire.
Et pas que : tous calculs faits, il faut les interpréter géométriquement et revenir à la figure pour en déduire (ici) une construction.
C'est cette étape (la plus difficile) qui est souvent ignorée.
Ce sont ces aller-retours permanents entre calculs et figures qui sont l'âme de la "belle Géométrie".

Bonjour à tous,
Je fais remonter une dernière fois ce sujet. On oublie le tétraèdre "de Rupert" pour se concentrer sur la question que je reformule ici sous une forme moins contraignante :

Je vous vois venir : "le vieux filou a commencé par le carré".
Non, non, pour vous en convaincre, voici un lien où on peut "bouger" (dans certaines limites) les 4 points $A,B,C,D$ :
https://www.geogebra.org/m/s5wbtxeg
Je vous avoue que j'en suis encore au stade "recherche". Les "discussions" sont difficiles ...

Bonjour Imod,
Ce que j'ai compris relativement à l'article Wiki que tu as publié :
Il ne tient pas compte de l'ordre chronologique des choses. La première partie "Solution" et la perspective font état de la solution optimisée par Pieter Nieuwland où le trou est une section carrée de côté $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$, ses diagonales de longueur $\dfrac{3}{2}$ représentant l'arête du tétraèdre régulier "maximal" traversant le cube d'arête 1. Les 12 directions possibles du trou sont définies par les vecteurs dont j'ai parlé au message 50. C'est la situation décrite dans ce fil.
La situation originale de Rupert est un trou  "moins bon" de section carrée de côté $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, les 4 directions possibles étant les grandes diagonales du cube. L'arête du tétraèdre régulier "maximal" traversant le cube unité vaut dans cette situation $2\sqrt{3}-2\approx 1.464$
Voici cette situation en descriptive où on peut remarquer en magenta l'hexagone régulier projection de la figure sur un plan d'équation $x-y+z+d=0$ (normale = direction d'une des grandes diagonales) et le rapport $\dfrac{ab}{AB}=2\sqrt{3}-2$