Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re salut,

Heu.. J'avais initialement commencé mon post par ce que l'on peut lire à la fin, j'ai ensuite vu que c'était réductible à ce que j'ai finalement choisi de mettre au début, en laissant la partie plus complexe à la fin, pour que l'on comprenne comment j'y étais arrivé... lol

C'est peut-être qu'il n'y a pas qu'une seule manière de penser?!  (humour)

Peut-être aussi que je pense à l'envers... Certes...

Je méditerai là dessus...

   Mea culpa.

____

Par rapport à ce que tu exposes ensuite, c'est très savant, très intéressant, mais je ne pensais pas que le problème se situait au niveau de la résolution d'équations comme celles que tu exposes. Il me semblait qu'il était seulement question de trouver un moyen simple de vérifier les cas où M est confondu avec l'orthocentre. Pour cette fin, j'imaginais que mes égalités rempliraient leur objectif...

Je n'avais donc pas compris que ton idée était d'exprimer AM², BM² et CM² en fonction des seuls AB², BC² et AC², puisque dans mon esprit l'on partait de valeurs connues qui étaient non seulement AB, BC et AC mais également AM, BM et CM  et qu'en définitive il n'était que question que de vérifications.

Après tes explications et réactions, je vois bien à présent que la problématique à laquelle tu t'attaques est beaucoup plus complexe que celle sur laquelle je croyais que tu m'invitais à réfléchir, et qu'elle va de paire - je n'en doute pas un instant - avec un objectif qui dépasse mes capacités cognitives...

Dis moi si j'ai bien compris: tu cherches une formule permettant de calculer directement AM, BM et CM seulement pour les cas où M est l'orthocentre du triangle ABC, à partir donc de ses cotés.

   Est-ce bien cela?

Non non ce n'est pas le cas, je t'assure, c'est juste que le langage mathématique en général ne m'est pas très familier, c'est tout. Je rappelle aussi que je n'ai pas de formation académique dans cette matière, que je n'y ai pas touché depuis le lycée... Et que ça fait bien loin maintenant!

_____

En te lisant et te relisant, je comprends maintenant ce que tu disais au sujet des valeurs approchées...

Je viens de lire ton EDIT c'est très clair, oui.

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J'ai aussi rectifié mes notations fantaisistes du post #232       ;)

@+

Re,

Pour l'orthocentre il y a bien plus simple!!    :) :) :)

En effet, dans le cas où M est confondu avec l'orthocentre de ABC, les trois conditions suivantes sont forcément réunies et réciproquement:

     [tex]AC^2-BC^2 = AM^2-BM^2 [/tex]

     [tex]AB^2-AC^2 = BM^2-CM^2 [/tex]

     [tex]BC^2-AB^2 = CM^2-AM^2 [/tex]

_______

     [EDIT]:

[  Ceci découle de cela:

J'avais initialement écrit qu'il suffisait de vérifier au niveau des cotés AB, BC et AC si les pieds des hauteurs du triangle ABC sont confondus avec les pieds des hauteurs concernées des triangles ABM, BCM et ACM en utilisant les formules:

[tex]AD_1 = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB}[/tex]       [tex]D_1[/tex] est le pied de la hauteur abaissée de C sur [AB]

[tex]AD_2 = \frac{AB^2+AM^2-BM^2}{2AB}[/tex]      [tex]D_2[/tex] est pied de la hauteur abaissée de H sur [AB]   

[tex]BE_1 = \frac{BC^2+AB^2-AC^2}{2BC}[/tex]         [tex]E_1[/tex] est le pied de la hauteur abaissée de A sur [BC]   

[tex]BE_2 = \frac{BC^2+BM^2-CM^2}{2BC}[/tex]      [tex]E_2[/tex] est le pied de la hauteur abaissée de M sur [BC]   

[tex]CF_1 = \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC}[/tex]         [tex]F_1[/tex] est le pied de la hauteur abaissée de B sur [AC]

[tex]CF_2 = \frac{AC^2+CM^2-AM^2}{2AC}[/tex]      [tex]F_2[/tex] est le  est le pied de la hauteur abaissée de M sur [AC]    ]

@+

Re,

Ok oui, j'avais bien compris le sens des deux lignes en questions. J'ai vu aussi que tu a bien fait la correction dans le post #224.   ;)

___

Pour ce qui est de l'orthocentre il y a me semble-t'il la possibilité d'exploiter la relation d'Euler que tu as toi même évoquée:  Si H orthocentre, avec G le centre de gravité et O le centre du cercle circonscrit, l'on a:

OH = 3 OG          OG = 1/2 GH         OH = 3/2 GH          Par conséquent : connaissant G et O l'on peut déterminer H:

[  Dans la même idée il est possible de déterminer uniquement à partir de O, à quelle distance H se situe par rapport à ce point.

Il suffit d'utiliser:

     [tex]OH =\sqrt{9 R^2-(AB^2+BC^2+AC^2)}[/tex]        (R = le rayon du cercle circonscrit)

[EDIT]: Ceci ne serait en réalité valable que pour un premier test, car il ne serait possible ainsi que de vérifier si M est à la bonne distance de O, ce qui est déjà pas si mal certes, mais insuffisant...  ]

@+

Bonjour,

Comment ça beaucoup plus de triangles que le tiens? Ton module en oubliait-il?

Tu veux dire que ce choix ralentit seulement l'exécution ou bien pire qu'il amène des erreurs ou des incomplétudes?

____

Entre le post #224 et le post #225 il y a une différence dans le module 'def ScalenesAigus(minp,maxp)':

Dans le post #225 les lignes    'a2,b2,c2=a**2,b**2,c**2'     et     'if  a2+b2-c2>0 and a2+c2-b2>0 and b2+c2-a2>0:'    ont disparu.

Est-ce voulu?

@+

Bonsoir,

Je reviens avec ça:

Si G est le centre de gravité de ABC:

[tex]AG=\frac{1}{3}\sqrt{ 2.(AB^2+AC^2)-BC^2}[/tex]

[tex]BG=\frac{1}{3}\sqrt{ 2.(AB^2+BC^2)-AC^2}[/tex]

[tex]CG=\frac{1}{3}\sqrt{ 2.(BC^2+AC^2)-AB^2}[/tex]

T'es-tu basé sur cela pour ton test de M confondu avec G?

@+

Re,

Oui, plus le périmètre considéré est grand, plus les triangles sont nombreux, forcément...

Par conséquent, des lois générales seraient les bien venues... Des lois par exemple permettant de produire uniquement l'ensemble des triangles dont M est également l'orthocentre ou un autre point particulier...

Je ne sais pas si de telles lois générales existent.

[EDIT]: Donc en attendant... Il n'y a pas le choix...  :)

@+

Re,

Si l'on utilisait:

    [tex]R=\frac{AB.BC.AC}{4 . A_{ABC}}[/tex]

Est-ce que cela permettrait d'aller plus vite?

@+

Salut,

Je passe oui, ou plutôt je traîne... J'ai mon ordi connecté en permanence mais je ne suis pas dessus non-stop...

Je surveille en effet s'il y a du nouveaux et je teste des trucs...

Je vois que tu bosses pas mal sur le sujet et je m'en réjouis! Ta deuxième version c'est donc pour les tests de cercles circonscrits et d'orthocentres, car les points qui leur correspondent ne sont pas forcément internes si je comprends bien?

Ce que j'ai mis en post #207 m'a paru suffisamment intéressant pour que je le présente.

@+

Re,

Les Maths de 3° suffisent à pas mal de choses.

Quels étaient les niveaux en math d'un Pythagore et d'un Archimède?

   ;)

@+

Re,

2 remarques:

- 1) Pour les bissectrices, ça devrait fonctionner tout aussi bien avec les triangles scalènes je crois. Ton programme de recherche des cas où M est le centre du cercle inscrit devrait être généralisable à tous les cas de figure.

- 2) Il serait assez troublant que M ne corresponde jamais à l'orthocentre ou au centre de gravité... Si tel était le cas, cela demanderait quelques explications...

@+

Re,

(((Comment modifier ton dernier petit programme pour qu'il donne aussi les triangles ABC non isocèles avec AM=BM=CM?)))

@+

Re,

Petit inventaire des cas possibles et ou à vérifier:

1) (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)     et     (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)     et     (AB≠AM)

2) (AB=AM ou AB=BM ou AB=CM ou BC=AM ou BC=BM ou BC=CM ou AC=AM ou AC=BM ou AC=CM)
         et     (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
         et     (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

     a) (AB=AM ou AB=BM ou BC=BM ou BC=CM ou AC=AM ou AC=CM)
              et     (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
              et     (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

     b) (AB=CM ou BC=AM ou BC=BM ou AC=BM)
             et     (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
             et     (AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

3) (AB=BC ou BC=CA ou AB=CA)
         et     (AM≠BM et BM≠CM et  AM≠CM)
         et     (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

4) (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)
         et     (AM=BM ou BM=CM ou AM=CM)
         et     (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

5) a) (AB=BC et AB≠AC et AM=CM et AM≠BM)     ou
        (AB=AC et AB≠BC et BM=CM et BM≠AM)      ou
        (BC=AC et BC≠AC et AM=BM et AM≠CM)
            et     (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)

     b) (AB=BC et AB≠AC et AM=BM et AM≠CM)     ou
         (AB=BC et AB≠AC et BM=CM et AM≠BM)     ou
         (AB=AC et AB≠BC et AM=BM et AM≠CM)     ou
         (AB=AC et AB≠BC et AM=CM et AM≠BM)     ou
         (BC=AC et BC≠AB et AM=CM et AM≠BM)     ou
         (BC=AC et BC≠AB et BM=CM et AM≠BM)
             et     (AB≠AM et AB≠BM et AB≠CM et BC≠AM et BC≠BM et BC≠CM et AC≠AM et AC≠BM et AC≠CM)
       
     c) ((AB=BC et AC=AM) et (AB≠AC et AM≠BM et AM≠CM et AB≠BM et AB≠CM)     ou
         ((AB=BC et AC=CM) et (AB≠AC et CM≠AM et CM≠BM et AB≠AM et AB≠BM)     ou
         ((AB=AC et BC=BM) et (AB≠BC et BM≠AM et BM≠CM et AB≠AM et AB≠CM)     ou
         ((AB=AC et BC=CM) et (AB≠BC et CM≠AM et CM≠BM et AB≠AM et AB≠BM)     ou
         ((BC=AC et AB=AM) et (BC≠AB et AM≠BM et AM≠CM et BC≠BM et BC≠CM)     ou
         ((BC=AC et AB=BM) et (BC≠AB et BM≠AM et BM≠CM et BC≠AM et BC≠CM)

     d) ((AB=AM et BM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM))     ou
         ((AB=BM et AM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM))     ou
         ((BC=BM et CM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et BC≠CM))     ou
         ((BC=CM et BM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et BC≠BM))     ou
         ((AC=AM et CM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AC≠CM))     ou
         ((AC=CM et AM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AC≠AM))

6) a) (AB=BC=AC) et (AB≠AM et AM≠BM et BM≠CM et AM≠CM)

    b) (AM=BM=CM) et (AM≠AB et AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC)

    c) ((AB=AM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠CM et BC≠CM et AC≠CM))     ou
        ((BC=BM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM et BC≠AM et AC≠AM))     ou
        ((AC=AM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM et BC≠BM et AC≠BM))

    d) ((AB=AM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM et BC≠BM et AC≠BM))     ou
        ((AB=BM=CM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM et BC≠AM et AC≠AM))     ou
        ((BC=BM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠CM et BC≠CM et AC≠CM))     ou
        ((BC=CM=AM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠BM et BC≠BM et AC≠BM))     ou
        ((AC=AM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠CM et BC≠CM et AC≠CM))     ou
        ((AC=CM=BM) et (AB≠BC et BC≠AC et AB≠AC et AB≠AM et BC≠AM et AC≠AM))

    e) ((AB=BC=CM) et (AB≠AC et AB≠AM et AB≠BM et AC≠AM et AC≠BM et AM≠BM))     ou
        ((AB=AC=CM) et (AB≠BC et AB≠AM et AB≠BM et BC≠AM et BC≠BM et AM≠BM))     ou
        ((BC=AB=AM) et (BC≠AC et BC≠BM et BC≠CM et AC≠BM et AC≠CM et BM≠CM))     ou
        ((BC=AC=AM) et (BC≠AB et BC≠BM et BC≠CM et AB≠BM et AB≠CM et BM≠CM))     ou
        ((AC=AB=BM) et (AC≠BC et AC≠AM et AC≠CM et BC≠AM et BC≠CM et AM≠CM))     ou
        ((AC=BC=BM) et (AC≠AB et AC≠AM et AC≠CM et AB≠AM et AB≠CM et AM≠CM))

7) a) ((AB=BC=AC et AM=BM) et (AM≠CM))     ou
         ((AB=BC=AC et BM=CM) et (BM≠AM))     ou
         ((AB=BC=AC et CM=AM) et (CM≠BM))     ou

     b) ((AB=BC et AM=BM=CM) et (AB≠AC))     ou
         ((BC=AC et AM=BM=CM) et (BC≠AB))     ou
         ((AC=AB et AM=BM=CM) et (AC≠BC))

     c) ((AB=BC et AC=AM=CM) et (AC≠BM))     ou
          ((BC=AC et AB=AM=BM) et (AB≠CM))     ou
          ((AB=AC et BC=BM=CM) et (BC≠AM))

     d) ((AB=BC et AC=AM=BM) et (AC≠CM))     ou
         ((AB=BC et AC=CM=BM) et (AC≠AM))     ou
         ((BC=AC et AB=AM=CM) et (AB≠BM))     ou
         ((BC=AC et AB=BM=CM) et (AB≠AM))     ou
         ((AC=AB et BC=BM=AM) et (BC≠CM))     ou
         ((AC=AB et BC=CM=AM) et (BC≠BM))

8) a) (AB=BC et AC=BM et AM=CM)     ou
         (BC=AC et AB=CM et BM=AM)     ou
         (AC=AB et BC=AM et CM=BM)

    b) (AB=BC et AC=AM et CM=BM)     ou
        (AB=BC et AC=CM et AM=BM)     ou
        (BC=AC et AB=BM et AM=CM)     ou
        (BC=AC et AB=AM et BM=CM)     ou
        (AC=AB et BC=CM et BM=AM)     ou
        (AC=AB et BC=BM et CM=AM)

9) (AB=BC et AC=AM=BM=CM)     ou
     (BC=AC et AC=AM=BM=CM)     ou
     (AC=AB et AC=AM=BM=CM)

Je pense que la liste est complète.

@+