Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
dans mon cas 31j+12m=542
Je suppose que tu cherche le multiple de 31 le plus proche de 542, soit 558
donc 31j+12m+16=558
d'où 12m+16 est un multiple de 31, avec m=9 pour unique solution,
et en remplaçant 12m par sa valeur on trouve j=14
En fait j'ai peu de succès avec syracuse et comme tu demandes un défi, on pourrait la solutionner ensemble et tu aurais une bonne occasion de te rattraper.
@+

Bonjour.
Palindrome à retard
Prendre un nombre et son retourné, faire la somme des deux, recommencer jusqu'à trouver un palindrome.
La conjecture : est-ce que tous les nombres finissent par donner un palindrome ?
Par exemple 196, 10 000 000 itérations donnent un nombre de 4000 000 chiffres non palindrome.
Comme ces nombres sont analysés essentiellement par des programmeurs leur façon de les compter, pratique pour eux n'est pas forcément la notre.
Si 196 donne 10 000 000 nombres, sur l'ensemble de ces 10 000 000 nombres qui ne donnent jamais de palindrome, seul le premier est compté.
196+691=887
295+592=887
394+493=887
493+394=887
592+295=887
691+196=887
790+097=887
Jusqu'ici rien n'a changé, il n'y a toujours qu'un seul nombre, 196, qui ne donne pas de palindrome
Si des chaines de nombres même de 100 000 nombres qui ne donnent jamais de palindrome rejoignent par exemple la chaine de 196 alors elles ne comptent plus, or ici dans ce système toutes les chaines finissent par se rejoindre à part les 5 premières entre elles et à une vitesse quelquefois assez lente.
Les premiers nombres non palindromiques sont 196, 879, 1997, 7059, 10553, 10563,
si dans 1 000 000 d'itérations la chaine qui débute par 879 rejoint celle de 1997, alors cette dernière disparait, elle n'est plus comptabilisés alors qu'elle n'a pas donné de palindrome.
on sait qu'un nombre qui donne une retenue ne donnera pas de palindrome sauf pour des cas peu nombreux donc négligeables.
196 donne un nombre non palindrome de 4 000 000 chiffres, combien de chance pour que la somme de ce nombre plus son retourné ne donne pas de retenues, donc un palindrome à l'étape suivante : 1 chance sur 2 puissance 2 000 000 , puis environ encore la même probabilité pour l'étape suivante.

@+

Bonjour.
[tex]\frac{3x+1}{{2}^{n}}[/tex]
C'est l'unique fonction que j'utilise, appelons la s(x)
s(17)=13
s(13)=5      13 donne 5 en une étape impair (en ne comptant que les nombres impairs)
s(13)=40-20-10-5, 13 donne 5 en 4 étapes (en comptant les résultats intermédiaires)
17-13-5      17 donne 5 en deux étapes impairs, il passe deux fois par s(x)
Désormais je ne parlerais d'étapes impairs mais d'étapes
Dans le tableau, 6 donne un nombre inférieur en 0 étape, il passe 0 fois par s(x)
5 donne un nombre inférieur en 1 étape, il passe 1 fois par s(x)
Dans le tableau le nombre de départ est le premier de chaque ligne.

@+

Bonjour.
Dois-je recommencer le chapitre des boucles ?

@+

Analyse de 3x-1

-1 n'est pas une puissance de 3, il va y avoir des boucles (très peu) à cause du décalage, les boucles sont toujours au début, moins de cent.
en 1, repérer les boucles
en 2, les supprimer par un artifice
en 3, tous les nombres étaient distribués sur ces 3 boucles, trouver la distribution

1-1
3-1
---------------------------5-7-5(5 et 7) font partie de la même boucle
7-5
9-13-19-7
11-1
13-19-7
15-11
---------------------------17-25-37-55-41-61-91-17
19-7
21-31-23-17
23-17
25-37-55-41-61-91-17
27-5
29-43-1
31-23
33-49-73-109-163-61-91-17
35-13
37-55-41-61-91-17
39-29
41-61-91-17
43-1
45-67-25
47-35
49-73-109-163-61-91-17
51-19
53-79-59-11
55-41
57-85-127-95-71-53
59-11
61-91-17
63-47
65-97-145-217-325-487-365-547-205-307-115-43
67-25
69-103-77-115-43
71-53
73-109-163-61
75-7
77-115-43
79-59
81-121-181-271-203-19
83-31
85-127-95-71
87-65
89-133-199-149-223-167-125-187-35
91-17
93-139-13
95-71
97-145-217-325-487-365-547-205-307-115-43
99-37
101-151-113-169-253-379-71

seulement 3 boucles
Pour la distribution, identique à syracuse
si je met 3x-1 et syracuse en miroir (l'ensemble des nombres de départ en miroir, la distribution n'est pas en miroir puisqu'elle se poursuit) la distribution de syracuse se poursuit dans 3x-1
exemple : pour un nombre impair x qui s'arrête en 2 étapes impaires (a2) l'espace reproductible est de 16, (écart entre deux nombres de départ qui ont un nombre d'étapes identique dans un vol en altitude) dans 3x-1 j'aurais :
93-139-13
77-115-43
61-91-17
45-67-25
29-43-1
13-19-7(3x-1)
quand vous obtenez un nombre négatif le multiplier par -1 puis désormais ajouter 16  pour retrouver par symétrie l'écart constant entre les nombres de départ (espace minimum reproductible) entre les fonctions 3x-1 et 3x+1
3-5-1
19-29-7
35-53-5(syracuse)
Ou deuxième solution poursuivre 3x-1 dans l'ensemble négatif, on obtient alors la fonction miroir de 3x+1
moins 3, moins 5, moins 1
moins 19, moins 29, moins 7
moins 35, moins 53, moins 5 ...etc
Dire que 3x+1 est bonne et 3x-1 est fausse est une erreur.
Il faut dire 3x+1 est bonne dans l'ensemble des entiers positifs et 3x-1 est bonne dans l'ensemble des entiers négatifs, cette dernière donne toujours -1 (pour x négatif)
Il suffit de poser 5 donne 1 et 17 donne 1 pour que 3x-1 donne toujours 1 avec la distribution de syracuse dans l'ensemble des entiers positifs.
La distribution des vols en altitude de 3x-1 est la même que 3x+1 sauf qu'alors 5 et 17 ne s'arrêtent jamais et que les nombres se distribuent sur 3 boucles d'où l'intérêt du premier chapitre : prouver qu'il n'y pas de boucles, ou si il y en a déterminer leur nombre et le prouver, je n'en parlerais pas ici pour ne pas surcharger. D'ailleurs dans la conjecture de syracuse il n'est fait allusion que de l'ensemble positif.
Rappel des boucles pour la partie positive de syracuse.
Tous les nombres impairs ont une infinité d'antécédents pairs différents.
les antécédents pairs de 5 sont différents des antécédents pairs de 7
il existe au moins un nombre pair entre deux nombres impairs
quels sont les nombres pairs qui diminué de l'unité sont divisibles par 3
exemple pour 7
7
14
28-9
56
112-37
224
448-149...etc
les antécédents impairs de 7 sont 9, 37, 149 ...etc avec une infinité de 4x+1 avec x impair ( chacun étant le 4x+1 du précédent ) et un seul antécédent en 4x+3 ou 4x+1 avec x pair suivant qu'il est divisible par 2 ou par 4
ceci étant démontré et sachant que l'équation 3x+1 divisé par une puissance de 2 et donnant x n'admet qu'une solution (x=1) est-il possible de trouver une autre boucle dans syracuse ?
impossible, prenez une chaine, peu importe la longueur, tronquez la, peu importe l'endroit, mettre un nombre déjà sorti en amont, condition nécessaire pour avoir une boucle, ce nombre alors aura au moins deux antécédents qui ne seront pas des 4x+1 avec x impair.
exemple avec 9-7-11-17-13 arrêtée à 13, je met 7 nombre sorti en amont
9-7-11-17-13-7
13 est le 4x+1 de 3, donc 3 devrait aussi donner 7, or 9 donne 7
7 a donc 2 antécédents qui ne sont pas des 4x+1 avec x impair, or ceci est impossible, en contradiction avec la partie démontrée.

@+

Bonjour.
Je vois que tu zappes le chapitre des boucles pour passer à celui de la distribution, au fait tous les messages précédents sont perdus définitivement ?
La conjecture est : tous les nombres tendent-ils vers 1 ?
Ici on voit que syracuse est foisonnante, pour la résoudre par une distribution des durées de vol en altitude, deux solutions, distinguer les cas par leur forme, c'est le système le plus répandu sur le net et aussi celui qui est voué à l'échec, en effet il faut une preuve pour chaque cas et le nombre de cas est infini, deuxième solution, distinguer les nombres d'étapes nécessaires pour passer d'une densité x à une densité y=x:2 dans un espace fini et reproductible et voir si la suite de ces nombres
est prévisible.
L'espace fini et reproductible est nécessaire pour prouver qu'il ne s'agit pas d'heuristique.
Pour ta question, tout ce que je peux dire c'est que tes nombres vont à 1 puisque tous les nombres vont à 1, par contre le genre de réponses que je peux te donner
c'est pour un espace donné, choisi par moi, un nombre d'étapes donné et choisi par moi le nombre de nombres qui résistent dans un vol en altitude.
Le terme choisi ne veut pas dire petit.
Quand à tes nombres, faut pas rêver il n'y auras pas beaucoup d'amélioration par rapport au système que tu utilises aujourd'hui.
Je me dépêche je vais chercher des clopes.
@+

Bonjour.

Bien, j'aime bien les gens tenaces.

Une question, pour f(x)=(3x+7)+1 avec x=5

Tu écris f(x)=(15+7)+1=22+1=23 ou directement le résultat

Une variante de syracuse ou +1 est remplacé par +3, je n'écris pas les nombres pairs

Il s'agit de deux fonctions différentes mais une bijection est facile entre les deux.
syracuse entre parenthèses

1-3
------------3-3(1-1)
5-9-15-3
7-3
------------9-15-3(3-5-1)
11-9-15-3
13-21-33-51-39-15-3
-----------15-3(5-1)
17-27-21-33-51-39-15-3
19-15-3
-----------21-33-51-39-15-3(7-11-17-13-5-1)
On ne va pas l'analyser ici, ce sera fait au quatrième chapitre, juste dire si il y a des boucles dans l'une il y en a dans l'autre, si il n'y a pas de boucles dans l'une il n'y en a pas dans l'autre.

Cette nouvelle fonction est en 2x+1, c'est à dire que les antécédents de 9 sont 5, 11, 23, 47, 95 ...etc les non multiples de 3 n'ont pas d'antécédents impairs
Les antécédents de 15 sont 9, 19, 39, 79, 159...etc idem à chaque fois il y a un unique antécédent qui ne soit pas un 2x+1 avec x pair, ici 9

Je peux démontrer que si il y avait une boucle, il y aurait un nombre avec deux antécédents qui ne seraient pas  des 2x+1 avec x pair or c'est impossible qu'un nombre ait 2 antécédents de cette sorte, mais si tu fais une fixette sur tes nombres
pairs je laisse tomber.

@+

Bonjour.

Bien, ça devient sérieusement brouillon. Tu connais mon attachement aux nombres impairs, et sous tes pressions, ce message perd en clarté.
Il faudra que tu fasses quelques concessions notamment que
7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1
et 7-11-17-13-5-1
sont équivalents tant au niveau des boucles que du chemin. Si l'une va à 1 l'autre va à 1, si il y a une boucle dans l'une il y en aura une dans l'autre.

Pour la fonction syracuse même si je l'ai quelquefois appelé 3x+1 il s'agit de la fonction qui associe à un élément de départ impair une image impair.
Si je dis l'unique antécédent de 13 qui ne soit pas un 4x+1 avec x impair, je parle de 17
1
5
13
17-69-277...etc
11
Dans  cette disposition tous les 4x+1 avec x impair et x impair lui-même, (par exemple ici : 17 69 et 277) ont une durée de vol identique, essentiel pour la deuxième partie : distribution.

Des fonctions comme 1.5x+0,5  3x+1  6x+2  12x+4  24x+8  ...etc deviennent équivalentes si l'on écrit que les nombres impairs. Voir quatrième partie : fonction forcée, fonction avec plusieurs diviseurs ...etc 

Dans un système ou alternent les fonctions 3x+1 et y:2 avec x impair et y pair tu te complique sérieusement la tâche surtout que y:2 peut donner un nombre pair ou impair totalement imprévisible. Dans un système où un nombre impair donne (le même nombre impair cas unique pour 1) un nombre impair différent l'avantage est énorme.

Si malgré toutes ces explications simples tu n'es toujours pas convaincu, j'arrêterais la discussion qui serait alors qu'une perte de temps.

Quand tu dis qu'on est en fin de course de qui parle-tu?
Ta question sur : tel nombre x tend-t-il vers 1?
D'abord ici c'est le chapitre des boucles , même en supposant qu'il n'y a qu'une seule boucle,
x a deux alternative tendre vers 1 ou vers l'infini, de plus même dans le chapitre distribution, je ne répond pas à cette question directement, la conclusion de la distribution est que tout nombre tend vers 1 et donc aussi le tien.

Rappel pour les boucles.
7
14
28-9
56
112-37
224
448-149
Tous nombres a une infinité d'antécédents impairs en 4x+1 avec x impair mais un seul antécédent qui ne soit pas de cette forme
exemple : les antécédents de 7 sont 9, 37, 149 ...etc ou seul 9 n'est pas un 4x+1 avec x impair
149 est le 4x+1 de 37 qui est le 4x+1 de 9

Si il y avait une autre boucle dans syracuse on trouverait au moins pour un nombre deux antécédents impairs qui ne serait pas des 4x+1 avec x impair or c'est impossible.

Mais peut être que tu en a marre de syracuse ou de moi, quand tu dis qu'on est en fin de course, aussi je te propose des variantes de syracuse, cantor à ma sauce ou une variante des palindromes à retardement ou autre chose.

A toi de choisir.

@+

Bonjour.
Je vois que les nombres pairs te manquent, on peut considérer que 3x+1 est une fonction.
Définition d'une fonction : relation qui à chaque élément de son ensemble de départ associe au plus une image. Les nombres pairs ne font pas partie de l'ensemble de départ de la fonction 3x+1, les nombres pairs seront considérés comme des résultats intermédiaires de la fonction 3x+1
Si tous les nombres impairs bouclent sur 1, les nombres pairs qui finissent par donner un nombre impair aussi.
Comme je ne perçoit pas de primes pour des records de longueur, supprimer la moitié des nombres me semble se justifier. Si tu veux mettre les nombres pairs, tu les mets.

Essaie de faire une boucle avec uniquement des nombres pairs.
Dans une boucle 1-4-2-1-4-2-1-4-2-1, le 1 se répète ou si tu préfères, on le retrouve toujours.

Pour la suite, je vais essayer d'être concis.
Les nombres donnent un seul nombre, exemple 7-11, est-ce vrai pour les antécédents?
Un nombre a une infinité d'antécédents en 4x+1 avec x impair mais un seul en 4x+3 ou (exclusif) en 4x+1 avec x pair,exemple : 15 et 17
15-23, 15 est le seul antécédent de 23 qui n'est pas un 4x+1 avec x impair
61-23
245-23
17-13, 17 est le seul antécédent de 13 qui n'est pas un 4x+1 avec x impair
69-13
277-13
Tous les nombres sont donc différents entre eux dans une chaine du multiple de 3 au 4x+1 avec x impair inclus, et toutes les chaines sont différentes entre elles, tous les nombres sont écrits une fois et une seule sinon un nombre aurait 2 antécédents appelés a1 et a2 qui désignerait des antécédents en 4x+3 ou 4x+1 avec x pair.
Inventons des fausses boucles
9-7-11-17-7 les deux antécédents de 7, a1=9 et a2=17 impossible!
3-5
33-25-19-29-5 les deux antécédents de 5, a1=3 et a2=7 impossible! 29 est le 4x+1 de 7 donc si 29 donne 5, 7 donnerait aussi 5
Je ne vois pas quoi ajouter.

@+