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Pour trouver le rapport de l'homothétie, je considère que les 2 vecteurs sont colinéaires

$\overrightarrow{OC'} = k.\,\overrightarrow{OC}<=> \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\frac{4\sqrt{5}}{5}\right) = k.(2\,;\,4)$

$\frac{2\sqrt{5}}{5} = k\,.\,2 <=> \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{2} = k<=> k = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Bonjour Yoshi, pour la (b), j'ai trouvé une somme de deux fractions  de dénominateur 25
et pour la (c), pour en déduire que C est le point d'intersection de la droite (OC) et du cercle (L), j'ai dis que le cercle qui a pour diamètre [AB] est un cercle de centre O et de rayon 2 ce qui  est même  longueur pour  (OC)

je vais refaire la démo

on suppose que $\overrightarrow{OC'} = k.\overrightarrow{OC}$ , qu'il existe un réel k tel que les vecteurs soient colinéaires

ces deux vecteurs s'écrivent

$\overrightarrow{OC'} = x'.\vec i + y'.\vec j$

$\overrightarrow{OC} = x.\vec i + y.\vec j$ d'où $ k.\overrightarrow{OC'} = k.x.\vec i + k.y.\vec j$

$\overrightarrow{OC'} = k.\overrightarrow{OC}<=> x'.\vec i + y'\vec j = kx.\vec i + k.y.\vec j$

$x' = k.x$ et $y' =k.x$

Maintenant je dois montrer que les rapports x/x' et y/y' sont égaux
en remplaçant $x'$ par $k.x$ et $y'$ par $k.x$  et en simplifiant , on trouve k = k
puisque k=k alors x/x' = y/y' et c'est là où je me trompe

c'est xy' - x'y = 0 donc c'est $2\times \frac{4\sqrt{5}}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5}\times 4 = \frac{8\sqrt{5}}{5}- \frac{8\sqrt{5}}{5} = 0$

Pour les coordonnées du point C, j'ai trouvé (2;4)

Bonjour Yoshi, je te remercie d'avoir répondu à ma demande.
Hier après-midi,j'ai travaillé sur le # 4 et j'ai besoin de précision quand tu expliques que c'est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalés.
Je suis en train de commencer les exercices que tu m'as donné.

Bonjour Yoshi, je profite des vacances pour revoir des Dm de l'année dernières, et j'ai entrepris ce programme de révision parce que je me perds un peu dans le programme de cette année qui est "chargé " , notamment travail avec les changements de base..
Donc déjà je te remercie d'avoir répondu à ma demande..
Pour les 2 Théorèmes de la droite des milieux, oui, je m'en souviens ( tu m'as bien fait travaillé)
Par contre je ne comprends pas trop quand tu m'expliques que la droite des milieux est un cas particulier mais si tu n'as pas le temps cette semaine, je ne vais pas te déranger pour  cette semaine, je vais déjà travailler sur ce que tu m'as posté..

Puisque M$(x\,;\,x^2)$ alors si $x = \frac{5}{2}$ alors $y = \frac{25}{4}$
et on montrerait de même que l'ordonnée du 2e point est 4

pour le # 45 , j'ai d'abord pensé tracer les lignes verticales et dire l'ordonnée qui correspondant à ....
et puis je me suis que le point est sur une parabole donc l'ordonnée de x est forcément $x^2$

Trou de souris , non
mais j'ai trouvé ceci :

Bonsoir Yoshi, il y'a deux points M : vérification par le calcul

A$(4\,;\,3)$ et B$(-4;7)$
soit $\overrightarrow{AB} : (-4-4\,;\,7-3) : (-8\,;\,4)$
je prends un point qui $\in$ à la parabole : M$(x\,;\,x^2)$.
$\overrightarrow{AM} : (x_M-x_A\,;\,y_M-y_A) : ( x - 4\,;\,x^2-3)$
Et je dis : Puisque ces deux vecteurs sont colinéaires alors j'utilise : xy'-x'y=0
$-8\times (x^2-3)-4\times (x-4) $ = 0
            ( je divise par -4)
$2\times(x^2-3) +(x-4) = 0$
$2x^2 -6 +x -4 = 0$

          $\Delta = (1)^2 - 4 (2) -10  = 1 + 80 = 81 = (9)^2$

           $x_1 = \frac{1-9}{4} = -2$

           $x_2=\frac{1+9}{4} = \frac{5}{2}$

Et je trace les lignes verticales pour trouver les deux points d'intersection de la droite (AB) et de la parabole

A$(4\,;\,3)$ et B$(-4\,;\,7)$
$\overrightarrow{AB} : (-4-4\,;\,7-3)$ soit $\overrightarrow{AB} : (-8\,;\,4)$
on prend un point n'importe où sur la parabole donc c'est M$(x\,;\,x^2)$
d'où : $\overrightarrow{AM} : (x_M - 4\,;\, y_M - 3) $ soit  $\overrightarrow{AM}: (x- 4\,;\,x^2 - 3)$

je viens de comprendre, c'est parce que l'on parle du vecteur $\vec u$ et du vecteur $k\vec u$