Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

@Zebulor, Hmmm je suis peut-être allé un peu vite dans mes raisonnements je vais donc réécrire en un peu plus complet (je reprends les notations que j'ai adopté au début de mon raisonnement) :
$\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y=\frac{(x_{1}+y_{1})(x_{1}+y_{1}+1)}{2}+y_{1}$
ce qui se réécrit : $\sum\limits_{k=1}^{x+y}k + y = \sum\limits_{k=1}^{x_{1}+y_{1}}k +y_{1}$ d'où :
$\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y}k + y = y_{1}$ (du coup je ne vois pas pourquoi ce serai $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+2}^{x+y}k + y = y_{1}$... Je loupe peut-être quelque chose ?).

NB : Si jamais il y a une erreur à ce niveau, si il y a un problème pour la suite, car l'hypothèse $y_{1}+x_{1} < x+y$ ne suffira pas à assurer que $y_{1}+x_{1}+2 \leq x+y$...

Ensuite, raisonnons par l'absurde et supposons que (j'ai relu mon argumentaire, et c'est vrai qu'il est un peu décousu je vais donc le réécrire pour qu'il soit plus complet et clair) : $y_{1}+x_{1} < x+y$.

On a donc $y_{1}+x_{1}+1 \leq x+y$, et ainsi : $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k + y \geq x_{1} + y_{1} + 1 + y >x_{1} + y_{1} + y \geq y_{1}$. Donc $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k + y > y_{1}$.

Ainsi $ y_{1} = \sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k + y > y_{1}$ donc $y_{1} > y_{1}$ (ce qui revient à écrire $0>0$ ce qui est faux, enfin écrire $y_{1} > y_{1}$ est tout aussi clairement faux donc je me suis un peu embêté pour rien).
Donc $x_{1}+y_{1} = x + y$ (car si $x_{1}+y_{1} < x + y$ est faux cela signifie que $x_{1}+y_{1} \geq x + y$ or on a $x_{1}+y_{1} \leq x + y$, donc on a égalité).

Or on a $\sum\limits_{k=1}^{x+y}k + y = \sum\limits_{k=1}^{x_{1}+y_{1}}k +y_{1}$ donc $\sum\limits_{k=1}^{x+y}k - \sum\limits_{k=1}^{x_{1}+y_{1}}k+ y = y_{1}$ et donc (puisque $x_{1}+y_{1} = x + y$) $y=y_{1}$, et en réutilisant l'égalité $x_{1}+y_{1} = x + y$ on simplifie par $y$ et on obtient : $x_{1}$.

Elle a l'air intéressante cette autre piste, pourrais tu développer un peu ton idée ? C'est toujours bien d'avoir plusieurs point de vues sur un problème !

Bonsoir,

@95spitfire, qu'est-ce que $dx$ et $dy$ ? J'aurai eu tendance à les définir comme une projection canonique de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ : $dx.(h_{1},h_{2})=h_{1}$ et $dx.(h_{1},h_{2})=h_{2}$.
Parce que sinon je ne vois pas à quoi ça correspond sachant que : $df(x,y).h = \sqrt{\frac{y}{x}}h_{1} + \sqrt{\frac{x}{y}}h_{2}$ (avec $h=(h_{1},h_{2}$), ce qui s’écrirait (avec la définition que j'ai proposé) : $df(x,y) = \sqrt{\frac{y}{x}}dx + \sqrt{\frac{x}{y}}dy$. (la notation $df(x,y).h$ signifie : la différentielle de f en $(x,y)$ selon la direction $h=(h_{1},h_{2})$). Après je "confonds" peut-être avec une notion que je ne connais pas. Et du coup je ne vois pas comment vous obtenez la relation suivante : $\frac{dx}{\sqrt{x}}+\frac{dy}{\sqrt{y}} = 0$ (enfin si mais seulement "à la physicienne" (ce que je ne dis pas que vous avez fait), ça marcherai éventuellement, mais ce n'est pas très rigoureux).

Je me permets de rajouter aussi, que (à moins que je ne loupe quelque chose) le point que vous exhibez est sur la frontière de C, or on est sûr que l'ensemble des points extrémaux est inclut dans l'ensemble des points critiques (ceux qui font de la différentielle la fonction nulle) que si la fonction est défini sur un ouvert, et non sur autre chose. Qui plus est l'ensemble de définition de $f$ ($C=\{(x,y)|x,y>0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1\}$) n'est ni ouvert ni fermé ! On n'est donc même pas assuré que le minima (ou la maxima) soit atteint par la fonction sur cette ensemble de définition.

Sinon, il y a un peu plus simple, je lance donc une piste pour que ceux qui veulent chercher ait une piste :
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ et on va chercher à faire apparaître $\frac{1}{\sqrt{xy}}$ ou $\frac{1}{xy}$, on divise donc par $\sqrt{xy}$ et on obtient : $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{xy}}$. Et après on fait apparaitre $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ en élevant au carré cette égalité pour essayer d'utiliser l'inégalité montrée en 1), ce que je laisse faire ! (Si besoin d'aide n'hésitez pas à demander pour la suite !)

Bonjour,

L'injectivité se fait plutôt simplement à coup d'inégalité et d'absurdité :
soit $(x,x_{1},y,y_{1}) \in \mathbb{N}^{4}$ tel que : $f(x,y)=f(x_{1},y_{1})$.
et quitte à échanger les indices on peut écrire : $x_{1}+y_{1} \leq x+y$.
Ainsi $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k + y = y_{1}$.
Or si $x_{1}+y_{1} < x+y$ alors $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k > y_{1}$ donc $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k + y > y + y_{1} \geq y_{1}$.
Ce qui est absurde (car $0=0$) donc $x_{1}+y_{1} = x+y$, donc $y=y_{1}$ (car $\sum\limits_{k=x_{1}+y_{1}+1}^{x+y} k  = 0$).
Et puisque $x_{1}+y_{1} = x+y$ on a alors $x=x_{1}$

Bonsoir,

Vu le titre je pense que tu veux parler de la divergence d'une intégrale généralisée ?
Tu as équivalence dans le cas des fonctions positives sur l'intervalle d'intégration, mais après à moins que quelqu'un connaisse des cas particuliers intéressant, tu peux trouver des contre exemples de cette implication dans le cas général.

Cordialement

Bonsoir,

Hum, il y en a encore deux (voir 3 mais c'est peut-être dû à mon incompréhension), $\mathbb{Z}_{q}^{\mathbb{N}}$ est l'ensemble des suites dans $\mathbb{Z}_{q}$, or $X_{m}$ est une partie de $\mathbb{Z}_{q}$ et non une suite d'éléments de celui-ci. L'ensemble des parties d'un ensemble A (quelconque) se note : $P(A)$.
Si la deuxième fonction $f$ est un cas particulier de la 1ère dans le cas où $n=m$ alors la deuxième fonction est mal définie car elle devrait être définie sur $P(\mathbb{Z}_{q})$ et à valeur sur $P(\mathbb{Z}_{q})$.
Et la 3ème confusion est que je ne comprends pas ce qu'est votre fonction ($f$), vous avez défini m et n en dehors de cette fonction, donc à moins que l'ensemble de définition de cette fonction soit le singleton $\{X_{m}\}$ je ne comprends pas comment votre fonction est définie, et ne vois d'ailleurs toujours pas quelle bijection vous voulez autrement dit : une bijection entre quelles ensembles ?
Si c'est entre $X_{m}$ et $Y_{n}$ je peux vous assurez qu'il n'y a qu'un seul cas où une telle bijection peut exister c'est celui où $n=m$ (car les ensembles sont finis).

Cordialement

Re, 
En relisant l'énoncé je me suis dit que A pourrait aussi être l'air d'une des six parts coupées, car sinon je ne vois l'utilité de : "On partage le gâteau en six parts égale.".
@Cleo précise ce que tu ne comprends pas, parce que "ne rien comprendre" est très peu probable, par exemple sais tu ce qu'est un disque ? Est ce la phrase "On considère un gâteau qui a la forme d'un disque de rayon r=13cm" qui te gêne' ou trouve flou ou ... ? Si tu ne précises pas quels sont les points que tu ne comprends pas il va être très dur de t'aider.

Bonjour,

Effectivement ça n'a pas l'air très simple... Cependant les calculs sont faisable, donc regardons si ça aboutit (je ne le sais pas encore par ailleurs) :
J'ai fais quelques calculs et par intégration pas partie successives tu obtiens pour tout entier naturel n:
$\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x.t}.t^{N} \, \mathrm{d}t = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{N!}{(N-k+1)!}.\frac{e^{x}.(-1)^{k-1}}{x^{k}} + \frac{N!.(-1)^{n}}{(N-n)!.x^{n}}.\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x.t}.t^{N-n} \, \mathrm{d}t$.

Alors la bonne nouvelle avec cette expression "très pas belle" c'est que tu fais apparaitre le $x$ et $e^{x}$ que l'on voulait, ce qui me fait penser que l'on ait sur la bonne voie... Je n'ai pas le temps de voir si ça marche, mais on pourrait essayer de faire apparaitre un coefficient binomiale d'une manière ou d'une autre pour faire disparaitre cette somme.

Bonsoir,

Je n'ai pas effectué les calculs mais si tu remplaces $\tau$ par $t^{4}$ dans l'inégalité obtenue en 1) tu as quelque chose de plus ressemblant et après en intégrant (il faudra jouer probablement un peu avec les inégalités à cause des valeurs absolues, je pense que l'inégalité triangulaire de l'intégrale devrait suffire : $|\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t| \leq \displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)| \, \mathrm{d}t$ et après tu utilises la croissance de l'intégrale).

N'hésite pas à demander si la piste n'aboutit pas ;)

Re,

Pour ta 1ère question :
L'inégalité s'applique pour tout $x \geq \frac{1}{4}$ (si je ne me trompe pas), et donc elle est vraie sur tous les entiers naturels, tu as donc :
$\sqrt{n+2}\leq 1+\sqrt{n}$ et donc : $\frac{1}{\sqrt{n+2}} \geq \frac{1}{1+\sqrt{n}}$.
Ainsi on a :
$\frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} (1+\sqrt{k})} \leq \frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} \sqrt{k+2}}$
Et par changement d'indice tu as (et en utilisant le fait que $\sqrt{1}=1$) :
$\frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} \sqrt{k+2}} = \frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=3}^{n+3} \sqrt{k}}\\
=\frac{\sqrt{2.n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+3} \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{2}}{\prod\limits_{k=n+1}^{n+3} \sqrt{k}}\\
=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(n+1).(n+2).(n+3)}}$
(Au passage le 2 apparait à cause du fait que je rajoute un $\sqrt{2}$ au dénominateur)
C'est plus claire ou reste t'il des points obscurs ?

Pour ta deuxième question :
C'est une question ? Je comprends peut-être mal ce que tu as écris mais j'ai l'impression que tu me dis qu'il n'y avait qu'un seul point obscure alors qu'avant tu me dis qu'il y en a plusieurs ^^

Bonsoir,
Ce n'est pas avec l'égalité corrigé que l'on déduit la convergence de $(v_{n})$ vers 0, mais avec ça :

Tout est dans le poste #13, mais je peux réexpliquer un peu plus clairement :

Cette fois tu es d'accord avec ma justification que $(v_{n})$ converge vers 0 ?
L'égalité qui se trouve aussi dans le poste #13, se réécrit ainsi :
$\sum_{k=0}^{n+1} u_{n} = 2u_{0} - v_{n+1}$

Et là tu fais tendre n vers $+\infty$ et tu as que la somme $S$ de $\sum u_{n}$ est égale à $2u_{0}$.
C'est plus claire formulé comme ça ? Si non n'hésite pas à poser des questions.

Re,
avec plaisir !

J'ai fait une erreur de raisonnement dans ce paragraphe (ça n'enlève pas la validité de ce qui suivait dans le message à moins que l'on y trouve une faute plus tard) :

$\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n} u_{k+1} + \sum_{k=0}^{n} v_{k+1}$ se réécrit :
$\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n+1} u_{k} - 2u_{0} + \sum_{k=0}^{n+1} v_{k}$

Donc mon raisonnement est faux dans la mesure où ça ne conclut pas à une absurdité cet argument.
Oups... M'enfin je pense quand même que c'était bien la somme de $\sum u_{n}$ qu'il fallait calculer !

Bonjour,

@LCTD tu parles bien du second terme de $S_{v_n}= \sum_{n=0}^\infty v_n = v_0 + \sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2})$, c'est à dire : $\sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2})$ ?

Si c'est bien de ce terme là que tu parles, eh bien il ne peut pas tendre vers 0 car c'est une série à termes strictement positifs, donc la série ne peut converger vers 0 (sachant qu'une série à termes positifs est croissante on a : $\sum_{n=1}^N  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2}) \geq u_{1}.\sqrt{2} > 0$).
Pourrais tu développer un peu plus tes arguments lorsque tu n'en es pas sûr, ça permettrai d'avancer un peu plus dans une résolution, et ne t'en fais pas, tous le monde fait des erreurs !