Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Pour cette deuxième partie de la question 1), tu peux utiliser une inégalité ("bien connue") sur la racine carré, qui est d'ailleurs très utiles dans d'autres circonstances !
D'abord je t'explique comment on peut avoir l'idée de vouloir montrer l'inégalité que je vais te présenter :

tu veux montrer : $u_{n+1} < u_{n} + \frac{1}{2^{n+1}}$, or tu sais que $u_{n+1} = \sqrt{u_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}}$ ce qui donne quand même très envie de montrer que : $\sqrt{u_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}} < \sqrt{u_{n}^{2}} + \sqrt{\frac{1}{2^{n}}}$, et là même pas besoin d'autres inégalités puisque si l'on montre ça eh bien on montre ce que l'on voulait (car le terme de gauche correspond bel et bien au terme de gauche de l'inégalité que l'on veut), on veut donc montrer en général :

$\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (pour $a,b \geq 0$). (Choses que je te laisse montrer)

Et tu peux facilement montrer que l'on égalité ssi l'un des deux termes (a ou b) est nul, ce qui conclut...

Bonjour,

Que veux tu dire par "Relation d'équivalence :  $\lambda $ - presque partout" ? Tu veux parler des fonctions qui sont presque partout égale à la fonction indicatice ?

Bonjour,

Qu'as tu fais dans cet exercice ? Et si tu n'arrives pas à commencer avec cet exercice précise pourquoi, ou ce qui te bloque.

Cordialement

Bonjour,

Si j'ai bien compris, par exemple 2*5 est une formule bien formée (que l'on ne considère pas comme élément de B mais comme une suite de symbôle, les formules bien formée permettent donc d'étudier les différentes "representations" d'un même élément de B) ? (Pour $n\geq 6$) et on a égalité entre deux formules ssi ils ont les mêmes symbôles et dans le même ordre. (C'est une notion similaire à celle des "mots" en théorie des groupes non ?).

Et du coup φ(B²,*) est l'ensemble des fonctions à deux variables, définie sur B à valeur dans l'ensemble des formules (bien formées par définition de φ(B²,*)), et du coup vous identifiez chaques éléments de l'ensemble des formules bien formée à un élément de B (pour pouvoir avoir l'éventuelle inclusion : F(B²,B) ⊂ φ(B²,*)).

Ce qui veut dire qu'à moins que vous précisez que la loi est associative (ce que je ne pense pas que l'exercice fait car j'ai l'impression que l'on étudie les magmas en général, il y a un rapport directe avec la théorie des catégories j'ai l'impression, notamment à cause du mot universelle, et j'ai l'impression que l'on cherche une loi permettant de former un objet universel final... dans une certaine catégorie), il faut mettre des parenthèses lorsque l'on compose deux formules bien formée, au risque si l'on considère trois élément de B, a, b et c, a*b*c n'est pas de sens (en dehors de celui de formules) car on pourrait avoir $a*(b*c) \not = (a*b)*c $.
Ais je bien compris ce que vous vouliez dire ?

Bonsoir,

Si $(U_{n})$ est bien défini comme tu l'as dit au poste #3 alors il y a un problème, tu as bien dit au poste #1 et #4 que $U_{0} = 0$, or d'après ce que tu as écris (#3) tu as : $U_{0} = 3.0 - 1 = -1 \not = 0$, je pense donc que ce que tu devais lire sur le cours de ton camarade est : $U_{n+1} = 3U_{n}-1$ avec $U_{0}=0$. Maintenant grande question, Est ce que sur la feuille de ton camarade y avait t'il marqué : $U_{0}=0$ ? Si c'est toi qui l'a rajouté, je pencherai plutôt sur cet avis : $U_{n} = 3n-1$ et tu t'es trompé pour $U_{0}$...
Alors ?

Bonjour,

Ta phrase est assez étrange, soit il manque un mot : "je dois trouver les sous groupes de $\left<\alpha ,\beta  \right>$", soit tu voulais plutôt écrire : "je dois déterminer le sous groupe $\left<\alpha ,\beta  \right>$". Lequel est ce ?

Autant le deuxième ça ne m'a pas l'air trop dur, autant le premier ne m'a pas l'air si simple.

Bonsoir,

P(x) est une propriété portant sur x ou un ensemble ? Concrètement, qu'est P ? J'aurai eu tendance à dire que c'est une propriété portant sur x vu la formulation, en général quand on écrit dans une phrase mathématiques, "juste" P(x) ça veut dire que la propriété P portant sur x est vraie.

Bon, en supposant que P(x) signifie "une propriété portant sur x", voici une première implication :
Supposons $\lnot (\forall x \in E, P(x))$ (le $\lnot$ c'est l'un des symboles utilisés en logique pour signifier "non").
Comme c'est souvent le cas pour des propriétés très simple au premier abord mais pas si simple à montrer, on raisonne par l'absurde :
Supposons que $\not \exists x \in E, \lnot P(x)$ ($\pi$).
On a alors que : $\forall x \in E, P(x)$ (car sinon on a $\exists x \in E, \lnot P(x)$, ce qui contredit ($\pi$)), ce qui contredit l'hypothèse de départ, donc ($\pi$) est fausse et ainsi : $\exists x \in E, \lnot P(x)$.

NB : Pour faire une "vraie" démonstration correcte et acceptée par des logiciens, il faudrait passer dans le langage de la logique formelle et ne pas utiliser de métamathématiques, mais vu que c'est pour une première année de prépa et que mes souvenirs là-dessus remonte un peu, je pense que ça suffira.

Cordialement

Bonsoir,

Pas de problème.
La propriété que l'on veut démontrer est : $f^{(n)}(t) = \frac{k_{n}}{\sqrt{1+t}(1+t)^{n}}$ avec $k_{n} = (-1)^{n} \prod\limits_{i=0}^{n-1} (\frac{1}{2}+i)$.

Initialisation :
Pour $n=0$, on a $f^{(0)}=f$ et $k_{0}=1$ (par convention un produit vide est égal à 1 et une somme vide égale à 0) et on vérifie aisément l'égalité.

Hérédité : Supposons l'égalité vraie au rang n.
$f^{(n)}(t) = \frac{k_{n}}{\sqrt{1+t}(1+t)^{n}}$ , donc : $f^{(n+1)}(t) = -k_{n}\frac{\frac{(1+t)^{n}}{2\sqrt{1+t}}+n(1+t)^{n-1} \sqrt{1+t}}{(1+t)^{2n+1}}$.

Et en réécrivant tu obtiens : $f^{(n+1)}(t) = -k_{n}\frac{\frac{(1+t)^{n-1}\sqrt{1+t}}{2}+n(1+t)^{n-1} \sqrt{1+t}}{(1+t)^{2n+1}}$ et donc :

$f^{(n+1)}(t) = -k_{n}(1+t)^{n-1}\sqrt{1+t}\frac{\frac{1}{2}+n}{(1+t)^{2n+1}}$, ainsi :

$f^{(n+1)}(t) = -k_{n}(\frac{1}{2}+n)\frac{(1+t)^{n-1}\sqrt{1+t}}{(1+t)^{2n+1}}$ ce qui donne finalement :

$f^{(n+1)}(t) = \frac{k_{n+1}}{(1+t)^{n+1}\sqrt{1+t}}$

Et la récurrence est établie.

Ne t'excuse pas de poser des questions, tant que tu y as un réfléchi avant il n'y a pas de problème.

Bonjour,

Tu as raison, mais ça se corrige très facilement en multipliant par $\sqrt{n+1}$.

Re,

En re-regardant la contraposé, oui il y a un moyen (en fait un peu moins direct que le lemme de Gauss mais tout aussi faisable). Tu peux toujours raisonner par l'absurde comme je l'ai fais en supposant que $m|2n$ ce qui est équivalent à dire :
il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que, $2n = km$. Et après tu regardes à quoi peut bien ressembler $k$ pour qu'il vérifie une telle égalité.

Bonjour,

Tu as très bien traduis la proposition avec les quantificateurs (hormis le fait que tu ais écris $2n|m$ à la place de $m|2n$) , qui peut d'ailleurs s'écrire encore plus synthétiquement :
$\forall (m,n) \in (2\mathbb{N}+1)^{2}, (m|2n \implies  m|n)$

Par contre la contraposé de la proposition n'est pas celle qe tu as écrite, tu t'es un peu mélangé les pinceaux : la contraposé de $A \implies B$ est $ non(B) \implies non(A)$ (c'est comparable à l'inclusion, si $A \subset B$ et $x \not \in B$ alors $x \not \in A$). Ce qui donne dans ton cas : $\forall (m,n) \in (2\mathbb{N}+1)^{2}, (m \not \mid n \implies m\not \mid 2n)$.

Et pour montrer la contraposé tu peux commencer par raisonner par l'absurde en supposant que : $m|2n$. Et dans ton raisonnement par l'absurde tu peux utiliser le lemme de Gauss : si $c|ab$ et $pgcd(a,c)=1$ alors $c|b$.