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Bonjour,

J'ai une question concernant les composantes connexes.

On considère [tex]([a,b],\gamma)[/tex] un chemin. Comme [tex]im(\gamma)[/tex] est une partie compacte de [tex]\mathbb{C}[/tex], alors [tex]im(\gamma)[/tex] est un fermé de [tex]\mathbb{C}[/tex], et donc [tex]U=C\backslash im(\gamma)[/tex] est un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex].

Soit [tex]r>0[/tex] tel que [tex]im(\gamma)\subset D(0,r)[/tex]. L'ensemble [tex]C\backslash D(0,r)[/tex] est un ouvert connexe de [tex]\mathbb{C}[/tex] contenu dans [tex]U[/tex].
Comment en déduit-on alors que [tex]U[/tex] admet une unique composante connexe non bornée ?

Merci !

Bonjour,

On dit que la suite de v.a.r. [tex](X_n)[/tex] converge presque sûrement vers X si, et seulement si, pour tout [tex]\epsilon >0, P(\cap_{m\in \mathbb{N}}\cup_{n\ge m}{|X_n-X|\ge 0})=0[/tex].

Dans mon cours, il est dit que pour des comparaisons ultérieures, il sera préférable de considérer la caractérisation précédente sous la forme :

[tex]\forall \epsilon >0, lim_{m\to +\infty} P(\sup_{n\ge m} |X_n-X|\ge \epsilon)=0[/tex].

Pour la démonstration, il est dit qu'en effet, d'une part on a :

[tex]\cup_{n\ge m}\{|X_n-X|\ge \epsilon\}\subset \{\sup_{n\ge m} |X_n-X|\ge \epsilon\}[/tex].

et d'autre part...

Déjà, si je m'arrête à cette première partie, je pense comprendre l'inclusion, mais je ne parviens pas à la démontrer formellement.

Pouvez-vous me guide ?

Bonjour,

Je note [tex]X=C^1([0,1],\mathbb{R})[/tex] et [tex]E=\{f\in X, f(0)=0\}[/tex] le sous-espace vectoriel de X.
Je définis également [tex]\|f\|_{\infty}:=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|[/tex] et [tex]\|f\|'_{\infty}:=\sup_{t\in [0,1]}|f'(t)|[/tex].

J'ai démontré que [tex](X,\|.\|)[/tex] et [tex](E,\|.\|')[/tex] étaient deux espaces vectoriels normés.

Je souhaite désormais montrer que [tex]\forall f\in E, \forall r>0, B_{\|.\|'_{\infty}}(f,r)\subset B_{\|.\|_{\infty}}(f,r)[/tex].

Voilà où j'en suis... Soit [tex]g\in E[/tex]. Alors [tex]\|f-g\|'_{\infty}<r[/tex].

J'ai alors défini [tex]h:=f-g[/tex]. On a alors que [tex]\sup_{t\in [0,1]}|h'(t)|<r[/tex] et donc que [tex]\forall t\in [0,1], |h'(t)|<r[/tex].
Puis, d'après le l'inégalité des accroissements finis, on a que [tex]\forall x,y\in [0,1], |h(x)-h(y)|<r|x-y|<r[/tex].

En particulier, pour [tex]y=0[/tex], il vient que [tex]h(0)=f(0)-g(0)=0[/tex] car [tex]f,g\in E[/tex] et donc que [tex]\forall x\in [0,1], |h(x)|<r[/tex].

En particulier, [tex]\sup_{x\in [0,1]} |h(x)|=sup_{x\in [0,1]} |f(x)-g(x)|=\|f-g\|_{\infty}<r[/tex] et donc [tex]g\in B_{\|.\|_{\infty}}(f,r)[/tex].

Qu'en pensez-vous ?