Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Non non tu ne me déranges pas, j'ai peut-être été un peu sec c'est vrai dans mon dernier message.
L'énoncé est relativement mal fait (je trouve), parce que pour l'autre inclusion quelles sont les hypothèses ? Que $z_{n}$ est convergente, et converge vers $x_{0} + y_{0}$ mais que sont $x_{0}$ et $y_{0}$ ? Les limites des suites que l'on veut montrer convergente... C'est le serpent qui se mord la queue. L'énoncé aurait dû être formulé de la manière suivante :

$(P_{L}(z_{n}))_{n})$ et $(P_{ L^{\perp}}(z_{n}))_{n})$ sont convergentes vers $x_{0} \in L$ et $y_{0} \in  L^{\perp}$ respectivement, si et seulement si, la suite $(z_{n})_{n}$ est convergente.
De plus si c'est le cas (autrement dit si l'une des assertions est vraie) alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} z_{n} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P_{L}(z_{n})) + \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P_{L^{\perp}}(z_{n}))$.
Ça éclaircie un peu ce que tu veux montrer ?

Bonjour,

En faisant une somme d'intégrale et en remarquant que : $\forall y \in [k;k+1]$ $x^{2^{k}} \geq x^{2^{y}}$ (car $x <1$), et après tu intègre, et je te laisse conclure...

Re,

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire mais je m'avance : on est sûr que la série ne converge que pour des valeurs de z se trouvant dans le disque ouvert de rayon 1. Le problème je pense vient du fait que tu penses que l'on a montré que la série convergeait pour $x = R$ ce qui n'est pas le cas...

Bonjour,

Non pas du tout, il y a bien plus de fonctions mesurables pour la tribu borélienne que de fonctions continues (inclusion stricte). La confusion vient du fait que tu penses (enfin je suppose) qu'un borélien est forcément un ouvert, ce qui n'est pas le cas, un ouvert en est un par contre.

Bonjour,

Je pense que c'est possible, prenons X et Y deux ensembles (quelconques) et $C_{x}$ (resp. $C_{y}$) un ensemble de parties de X (resp. Y).
On a déjà que : $C_{x}\times C_{y} \subset \sigma(C_{x}) \otimes \sigma(C_{y})$, et puisque $\sigma(C_{x}) \otimes \sigma(C_{y})$ est une tribu (c'est la tribu produit), on a que $\sigma(C_{x}\times C_{y}) \subset \sigma(C_{x}) \otimes \sigma(C_{y})$.

Pour l'autre inclusion je ne suis pas sûr, il faudrait voir en utilisant les applications projections...

Bonsoir,

Je suppose que tu voulais écire : $f(x,y) = xy \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ si $(x,y) \not = (0,0)$ et 0 sinon.
Quel est la question de l'exercice ? Et qu'as tu fais dans l'exercice ?

Re,

Donc ?
Petite indication, tu viens d'obtenir que $2c \in C$, tu vois où je veux en venir ?
Autre petite indication : essaye dans un premier temps de montrer : $c\mathbb{N} \subset C$ (tu n'auras pas besoins du fait que $-c \in C$).

Bonjour,

Tout à fait d'accord (encore une fois) avec @yoshi, méthode qui a en plus le mérite de raisonner par équivalence et de montrer en plus que A peut prendre n'importe qu'elle valeur de $]-1;19[$...

@Urdelulu, ce que tu as écris n'est pas tout à fait correct :
Par exemple "Pour y fixé, A est maximum pour x=7 car A=3*7-y", sachant que $(x,y) \in ]3;7[ \times ]2;10[$ (faire bien attention, ce sont des intervalles ouverts, x ne peut pas prendre 3 ou 7 comme valeurs ! D'où ton erreur de vocabulaire) A n'atteindra jamais -1 ou 19... Ce n'est donc pas son maximum (resp. minimum), le maximum d'un ensemble n'est pas toujours défini... En effet le le maximum d'un sous ensemble S de $\mathbb{R}$ ($S \subset \mathbb{R}$) est le plus grand élément de S contenu dans S (M est le maximum de S ssi $M\in S$ et $\forall x \in S, x\leq M$), et dans notre cas, A ne pourra jamais atteindre ses bornes (tout comme x et y).

C'est pour ça que l'on a introduit la notion de borne supérieur (et sa notion "symétrique", celle de bornes inférieur), pour parler d'un majorant d'un ensemble, mais non contenu dans cet ensemble : elle est défini de la manière suivante :
Soit A un ensemble, si
- $A \subset \mathbb{R}$
- A est borné (c'est à dire : $\exists M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall x \in A, x \leq M$)
alors on définit la borne supérieur de A, noté $sup A$ comme le plus petit des majorants de A (ce qui veut aussi dire que tout élément de $\mathbb{R}$ strictement inférieur à $sup A$ n'est pas un majorant de A).

Et pour la borne inférieur, il faut non pas que A soit majoré mais minoré, et dans ce cas la borne inférieur de A est le plus grand des minorants.

Maintenant si tu te poses la question de savoir si la borne supérieur existe toujours sous les conditions que j'ai énoncé plus haut, et bien la réponse est oui, et dans certaines définitions (parce que oui il n'y en a pas qu'une, mais elles définissent toute $\mathbb{R}$, mais de façon différente) de l'ensemble des réels ($\mathbb{R}$), on peut y mettre comme axiome l'existence de la borne supérieur.

Bonsoir,

Tout d'abord je vais retranscrire ton énoncé :
Soit $(H, \langle ., . \rangle)$ un espace de Hilbert, $L$ un sous espace fermé de $H$ et $(z_{n})_{n}$ une suite de H.
Montrer que si les suite $(P_{L}(z_{n}))_{n})$ et $(P_{ L^{\perp}}(z_{n}))_{n})$ sont convergentes vers $x_{0} \in L$ et $y_{0} \in  L^{\perp}$ respectivement, si et seulement si, la suite $(z_{n})_{n}$ est convergente et converge vers $x_{0} + y_{0}$.

NB : La notation dans ton énoncé est plutôt étrange $(z_{n})$ tendrait vers le premier de ses termes... à mon avis il y a une erreur d'énoncé.

$P_{L}(z_{n}))$ c'est la projection pour $n \in \mathbb{N}$ de $z_{n}$ dans $L$, c'est à dire :
Puisque $L$ est fermé, on a que $L^{\perp} \bigoplus L = H$, on peut décomposer $z_{n}$ en : $z_{n} = x_{n} + y_{n}$ (ma notation n'est pas très judicieuse par rapport à l'énoncé...) avec $x_{n} \in L$ et $y_{n} \in L^{\perp}$, et cette décomposition est unique, on a alors $P_{L}(z_{n})) = x_{n}$ et de même : $P_{L^{\perp}}(z_{n})) = y_{n}$.
Et la projection est continue... Et $H$ est en particulier un espace métrique, la caractérisation séquentielle de la continuité y est donc vraie...

Re,

Je ne pensais pas aux problèmes de compréhension que ça pourrait éventuellement impliquer (d'ailleurs je ne suis pas sûr que j'y aurai pensé à moins que l'on me dise directement "je ne comprends pas comment tu as fait..."), mais c'est vrai qu'enseigner les fractions de cette façon est bien plus constructive que de faire ce que je fais. Je comprends donc ton point de vue et y adhère !

Bonjour,

Qu'est ce qu'est cette notation : $P_{L}(z_{n})$ ? En lisant l'énoncé j'ai l'impression que c'est la projection de $z_{n}$ sur $L$ non ?

Cordialement

Bonsoir,

La borne supérieur (dans $\mathbb{R}$ parce qu'une borne supérieur dans $\mathbb{Q}$ n'existe pas en général) de $A$ existe dès que :
- $A \subset \mathbb{R}$
- $A \not = \emptyset$
- $A$ est majorée.
Et tu peux constater que $] -\infty, 8[\cap \mathbb{Q}$ répond à ces 3 conditions. Tu n'as pas besoin de dire que $\mathbb{Q}$ est dense (d'ailleurs je ne vois pas en quoi cela justifie l'existence de la borne supérieure, enfin si, je pense que tu penses que puisque $\mathbb{Q}$ est dense on peut approcher aussi près que l'on veut n'importe quel réel par un rationnel, d'un certain point de vue c'est vrai, mais la borne sup donne plutôt le nombre le plus près des plus grands nombres d'une partie).

Après si tu compte utiliser le fait que $\mathbb{Q}$ est dense pour montrer que $Sup(] -\infty, 8[\cap \mathbb{Q})=8$ ça peut marcher. La caractérisation qui y ait fait allusion est pratiquement la solution du problème, écris juste cette caractérisation et essaye de voir ce qu'il en est...