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Duopole de deux firmes cherchant à se positionner sur un marché. Pour modéliser cette
situation, on va considérer une ville linéaire de longueur 1, sur laquelle les consommateurs sont uniformément distribués. soit deux firmes i= A,B Avec A et B les deux firmes concurrentes. Leurs fonctions de coûts diffèrent d'un critère d’efficacité B(beta) positif. elles sont telles que:cA = cq et cB = B(beta)cq Autrement dit, la firme B a une efficacité pour produire le service différente de A si béta différent de 1 et beta<1 alors la firme B est plus efficace. si beta>1 alors la firme B est moins efficace en coût.
Soit xi = li appartient [0; 1] la localisation de la firme i. On a xA = lA et xB = lB les emplacements, respectivement, de la firme A et de la firme B. Un consommateur localisé en x appartient [0; 1] subit un coût d'opportunité (transport) quadratique t(li-x)² lorsque il achète le service de la firme i:
Détermination de l'équilibre de Nash avec coût différenciés et un paramètre de
différenciation beta

(a) Déterminez le consommateur indi¤érent xn sur ce marché. En déduire les demandes DA et DB.
(b) Donnez les fonctions de profits explicitées.
(c) Déterminez la fonction de réaction de chaque firme, chaque firme maximisant son profit via son propre prix.
(d) Déterminez l'équilibre de Nash.
(e) Supposons maintenant que chaque firme soit positionnée à une extrémité de l'axe : lA = 0 et
lB = 1: Déduire de la question précédente les prix à l'équilibre. Ces prix sont-il positifs ? Quel est l'effet de t ? Interprétez.