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Bonsoir, je suis étudiant en L3 Maths et je vais au rattrapage...
Je suis donc en train de refaire un exercice de l'examen de Calcul Différentiel de juin 2017.

[tex]\textrm{Dans tout l'exercice,  }E\textrm{ et }F\textrm{ sont des espaces vectoriels de dimension finies }(\dim E=n\textrm{, }\dim F=m),\\\textrm{et }\Omega\textrm{ est un ouvert de }E.[/tex]

[tex]\textbf{A.}\hspace{0,8cm}\textrm{Soit }g:\Omega\subset E\rightarrow F\textrm{ une application }C^1\textrm{, }a\in\Omega\textrm{ et }b\in F\textrm{. On pose }M=g^{-1}(\{b\})\textrm{. On suppose}\\\textrm{que }a\in M\textrm{ et que d}g(a)\textrm{ est surjective. On note }E_1=\ker\textrm{d}g(a)\textrm{ et soit }E_2\textrm{ un supplémentaire de }E_1\textrm{ :}\\E=E_1\oplus E_2.[/tex]

[tex]\hspace{0.6cm}1.\hspace{0.5cm}\textrm{Montrer que d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).[/tex]

[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{On a }\ker\textrm{d}g(a)_{|E_2}=E_2\cap\ker\textrm{d}g(a)=\{0\}\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}:E_2\rightarrow F\textrm{ est injective. De +, on a}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{d}g(a)_{|E_2}=\textrm{d}g(a)(E_2)=\textrm{d}g(a)(E_2+\ker\textrm{d}g(a))=\textrm{d}g(a)(E)=F\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}\textrm{ est surjective.}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{Ainsi d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).[/tex]

[tex]\hspace{0,6cm}2.\hspace{0.5cm}\textrm{Montrer qu'il existe }\Omega_1\textrm{ et }\Omega_2\textrm{ des voisinages ouverts de }0\textrm{ dans }E_1\textrm{ et }E_2\textrm{ respectivement, tels}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{que }a+\Omega_1+\Omega_2\subset\Omega.[/tex]

Et là, je suis complètement paumé...

Pourriez-vous m'aider svp ?