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Vous dîtes cela parce que la série de terme général [tex]\dfrac{x^{n-1}}{n}[/tex] ne converge pas simplement en 1 ?
En tous les cas il y a convergence simple sur [0;1[.

J'ai compris, c'est une application du théorème de la médiane.
Oui effectivement, sans passer par le théorème de la médiane, ce que j'ai fait revient à écrire [tex]2((1-x_A)^2+y_A^2)=x_A^2+y_A^2[/tex] ce qui donne bien [tex]OA=\sqrt{2}PA[/tex].

J'ai fait une construction geogebra avec la donnée supplémentaire [tex]OA=\sqrt{2}PA[/tex] qui permet de construire le carré de diagonale [tex][OA][/tex] (c'est donc un carré de côté [tex]PA[/tex] donc les deux autres sommets sont sur le cercle de centre A et de rayon PA), cela donne bien les tangentes perpendiculaires au cercle s'interceptant en [tex]O[/tex]. En déplaçant A sur le cercle de centre [tex]\Omega[/tex] et de rayon [tex]\sqrt{2}[/tex], on voit que tous les points du cercle sont solutions du problème.

Bonjour,
Suivant l'idée de jolebreuil, je vais donc éliminer le rayon r.
Je pars donc de [tex](L_1) : x_A^2+y_A^2=2r^2 [/tex] et [tex](L_2) : (1-x_A)^2+y_A^2=r^2[/tex].
J'effectue [tex]L_1-2L_2[/tex] et j'obtiens [tex]-x_A^2-y_A^2+4x_A-2=0[/tex].
Je réarrange cette équation pour faire apparaître une équation de cercle et j'obtiens [tex](x_A-2)^2+(y_A-0)^2=\sqrt{2}^2[/tex].
Ce qui signifie que les centres des cercles répondants aux conditions de l'énoncé sont sur le cercle [tex]C[/tex] de centre [tex](2,0)[/tex] et de rayon [tex]\sqrt{2}[/tex]. À ce stade j'ai l'impression de n'avoir fait qu'un raisonnement par implication et non par équivalence. Donc il me semble que je ne peux pas affirmer que tous les points de [tex]C[/tex] conviennent.

Bonjour,
Je pense avoir trouvé l’expression de f avec les fonctions usuelles. Si je ne me suis pas trompée, alors [tex]f’(x)=-\dfrac{1}{x}\ln(1-x)+\dfrac{1}{1-x}\ln(x)[/tex]. En cherchant je suis arrivée à l’expression [tex]f(x)=[/tex] [tex]-\ln(x)\ln(1-x)[/tex].
Merci et bonne soirée.

La suite de l'exercice demande d'étudier la continuité de f.
J'ai donc essayé de montrer la convergence normale des deux séries sur [0;1].
Dans les deux cas, le sup sur [0,1] du terme général est [tex]\dfrac{1}{n^2}[/tex] qui est le terme général du série de Riemann convergente donc on a convergence normale donc la continuité est préservée en passant à la somme de la série donc [tex]f[/tex] est continue sur [0;1].
Dans ce cas, on a pu montrer la convergence normale mais si on est dans un cas où la série ne converge pas normalement on doit montrer la convergence uniforme.
Ici, il s'agirait de montrer que [tex]\sup_{[0;1]}\sum_{k>n}\dfrac{x^n}{n^2}[/tex] tend vers 0 quand n tend vers [tex]+\infty[/tex].
A-t-on la droit d'intervertir le sup et la somme infinie ? C'est à dire d'écrire [tex]\sup_{[0;1]}\sum_{k>n}\dfrac{x^n}{n^2}=\sum_{k>n}\sup_{[0;1]}\dfrac{x^n}{n^2}=\sum_{k>n}\dfrac{1}{n^2}[/tex] qui est le reste d'ordre n d'une série convergente donc la limite est 0 en [tex]+\infty[/tex].

Par ailleurs on demande d'exprimer f'(x) avec les fonctions usuelles.
Comme on ne demande pas d'étudier la dérivabilité de [tex]f[/tex], je suppose que l'on ne demande pas de montrer que la série des dérivées converge uniformément sur I.
J'ai donc dérivé sans prendre de précaution et j'obtiens ceci :
[tex]f'(x)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{x^{n-1}}{n}-\sum_{n\geq 1}\dfrac{(1-x)^{n-1}}{n}=\dfrac{1}{x}\sum_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{n}-\dfrac{1}{1-x}\sum_{n\geq 1}\dfrac{(1-x)^{n}}{n}[/tex]
On reconnaît ensuite le développement en série entière de la fonction logarithme et il me semble donc que l'on peut écrire :
[tex]f(x)=-\dfrac{1}{x}\ln(1-x)+\dfrac{1}{1-x}\ln x[/tex]

Dans la dernière question on demande de déduire [tex]f(x)[/tex], il faut donc primitiver l'expression obtenue précédemment.
Or je sais que [tex]\dfrac{(\ln(1-x))^2}{2}[/tex] est une primtive de [tex]-\dfrac{1}{1-x}\ln(1-x)[/tex] mais le problème c'est que j'ai [tex]-\dfrac{1}{x}[/tex] et non [tex]-\dfrac{1}{1-x}[/tex].
Pouvez-vous me dire où je me suis trompée ?

Merci.

Je viens de me rendre compte que si x=1, [tex]\sum \dfrac{x^n}{n^2}=\sum \dfrac{1}{n^2}[/tex] converge car c'est une somme de Riemann convergente (2>1), de plus [tex]\sum \dfrac{(1-x)^n}{n^2}=\sum 0 [/tex].
Donc on peut inclure 1 dans le domaine de définition.
Même raisonnement pour [tex]x=0[/tex] donc D=[0;1].

Lorsque [tex]x>1[/tex], on a [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{x^n}{n^2}=+\infty[/tex] par croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances (je ne sais pas si c'est une formulation correcte). Donc la série [tex]\sum \dfrac{x^n}{n^2}[/tex] diverge grossièrement.
De même pour [tex]x<0[/tex], on a [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{(1-x)^n}{n^2}=+\infty[/tex] par croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances. Donc la série [tex]\sum \dfrac{(1-x)^n}{n^2}[/tex] diverge grossièrement.

Si on voulait justifier jusqu'au bout que quand on est dans le cas [tex]x>1[/tex] et [tex]x<0[/tex], alors f(x) n'est pas définie, on rentre dans des explications à rallonge que je ne saurais pas synthètiser pour faire court et rester rigoureuse.