Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Yassine (puisque tu sembles être le seul à t'intéresser à ce sujet...)

Voilà, j'ai repris un peu de temps pour me repencher sur tout ça.

Je suis arrivé aux résultats suivants :

Soit P1(x1, y1, z1) le point de départ et P2(x2, y2, z2) celui d'arrivée.

- 1ère étape, rotation en latitude, avec la matrice simplifiée :
cos(phi)       sin(phi)
-sin(phi)      cos(phi)

Il vient :
sin(phi) = (x2.z1 - x1.z2)/(x1.x1 + z1.z1)
cos(phi) = ( x2 - z1.sin(phi) )/x1

- 2ème étape, avec le produit de matrice    X2 = Rz.Ry.X1

En posant A = x1.cos(phi) + z1.sin(phi)

sin(théta) = (y2.A - x2.y1) / (y1.y1 - A.A)
cos(théta) = (x2 + y1.sin(théta) ) / A

J'ai refais plusieurs fois les calculs, je ne pense pas m'être trompé... Mais une fois que je les applique numériquement, rien ne correspond à ce à quoi je m'attends...!

A moins que mon erreur réside dans l'application informatique du résultat... Est-ce que quelqu'un pourrait vérifier mes résolutions d'équation, svp ?

Merci d'avance !

Bon, désolé, mais ça coince...

(Pour simplifier, je travaille avec une sphère de rayon 1).

J'ai commencé par la rotation en latitude (phi donne la colatitude), selon l'axe des x (y=0).

La matrice simplifiée devient donc :
cos(phi)       sin(phi)
-sin(phi)      cos(phi)

Soit P1(x1, y1, z1) le point de départ et P2(x2, y2, z2) celui d'arrivée.

Il vient :
cos(phi) = ( x1*x2 + z1*z2 ) / ( x1*x1 + z1 * z1 )   
sin(phi) = ( cos(phi)*z1 - z2 ) / x1

En essayant quelques valeurs pour les latitudes/longitudes de départ et d'arrivées (en convertissant les coordonnées cartésiennes en polaires), je trouve des valeurs satisfaisantes pour phi. (dans la mesure où je ne peux en juger qu'au pifomètre, avec de petites variation de +/- 20° autour d'une position).

Je m'attaque à la deuxième partie :

Je fais le produit de matrices Ry * Rz.  (dans ce sens, puisque j'ai commencé par la rotation en latitude).

J'obtiens donc trois équations, où sont connus :
- x1, y1, z1, coordonnées du point de départ
- x2, y2, z2, coordonnées du point d'arrivée
- cos(phi) et sin(phi), d'après la solution de la première étape.

deux inconnues :
- cos(theta) et sin(theta), qui définissent ma rotation en longitude.

Deux inconnues, trois équations : logiquement, la solution est là.

Logiquement, oui, sauf que malgré tous mes efforts, impossible d'arriver à une solution satisfaisante...

Au final, j'ai réduit les 3 équations ainsi :

sin(théta) = ( -y1.z1.sin(phi) + x2.y1 + x1.y2.cos(phi) ) / ( x1.x1.cos(phi) - y1.y1.cos(phi) )

cos(théta) = - ( y2 - x1.sin(théta) ) / y1

Le souci, c'est qu'en réinjectant les données du point 1 dans la matrice Ry * Rz avec les valeurs des sinus et cosinus trouvés... je n'obtiens pas les coordonnées du point 2....

Quid ?

Merci Yassine pour vous être penché sur mon petit souci ! :-)

Je crois avoir saisi la méthode... à un détail près !

Pour ma part, dans l'état actuel de ma résolution, je passe d'abord par une rotation en latitude (Ry dans la fiche WP) puis en longitude (Rz itou).

Je ne vois pas comment vous passez de la matrice 3X3 à la matrice 2x2...

Si je suis votre méthode, comment "traduire" Ry en matrice 2x2 afin de trouver Phi ?

(l'étape suivante, je devrais pouvoir m'en sortir...)

Merci d'avance !

J'aurais envie d'écrire que la réponse au 2) est f=5/126 et au point 3) f = 1/126...

Mais intuitivement, je sens que c'est faux, puisque toutes les possibilités ne sont pas équiprobables. (je n'arrive pas à le justifier, mais ça me semble "évident" - désolé pour le terme !) ;)

Vers quelle(s) formule(s) faudrait-il se tourner pour calculer ces deux probabilités ?

Bonjour à vous,

Oui, effectivement, je n'avais pas précisé, mais c'est sans remise.

Je suis un peu étonné par votre réponse au 1)...

Pour moi, cette valeur (50*49*48*47*46)/(1*2*3*4*5) correspond au nombre possible de tirages différents dans le cas où toutes les boules sont différentes. (50 nuances de gris, par exemple. Disons, 50 numéros différents, ça fera moins littéraire !;) )

Or, dans ma vision des choses (qui est peut-être faussée), si l'on construit cet arbre des possibilités (50*49*48*47*46), il y a plusieurs branches qui conduisent à la même combinaison de couleurs, non ? Donc le nombre de possibilité devrait être inférieur ?

Non ?