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#1 Re : Entraide (supérieur) » topologie(propriété des segments emboités et de la borne sup) » 01-12-2005 17:43:23

Cet exercice me parait plutot difficile car il (me) demande des habitudes de raisonnements d'analyse.
Il est intéressant car il questionne et relie des propriétés fondamentales des nombres réels.

Soit E une partie bornée non vide de K et soit M l'ensemble des majorants de E dans K.
Si E a un élément maximal, c'est une borne sup de E
Si M a un élément minimal, c'est une borne sup de E
Sinon il existe une suite strictement croissante x(n) dans E et il existe une suite strictement décroissante y(n) dans M.
Les segments [x(n),y(n] sont emboités.
Le problème est que ces segments peuvent rester "grands" : leur intersection peut être non réduite à un seul élément.
Donc on va raffiner :
Soit x(0) dans E et y(0) dans M. On pose a=y(0)-x(0)
On défini par récurence deux suites x(n) et y(n) .
x(n) sera une suite croissante d'éléments de E et  y(n) une suite décroissante d'éléments de M:
Si x(n) = y(n), c'est une borne sup et on posera x(n+1)=x(n) et y(n+1)=y(n)
sinon on considère le milieu z(n) du segment [x(n),y(n)] : z(n)=(x(n)+y(n))/(2e)
Si z(n) est dans M on pose x(n+1)=x(n) et y(n+1)=z(n)
Sinon z(n) est majoré par un élément de E qu'on choisit pour x(n+1), et on pose y(n+1)=y(n)

Cette fois-ci les segments x(n),y(n)] sont emboités mais leur "longueur" (y(n)-x(n)= a/((2e)^n)) "tend vers 0".
Soit z un élément commun à tous ces segments. On prouve par l'absurde que z est une borne sup de E.
Si z est dans M et n'est pas une borne sup on a un autre élément m de M tel que m<z.
Comme K est archimédien, il existe k tel que a/(2e)^k < z-m (cela se prouve indépendamment et n'est pas difficile)
on a alors x(k)>m ce qui est absurde
Si z n'est pas dans M, il est majoré par un élément t de E
Si z=t , c'est une borne sup. Sinon soit k tel que a/(2e)^k < t-z. (même principe que ci-dessus)
on a alors y(k)<t, ce qui est absurde.

CQFD

NB : Un corps ordonné Archimédien avec la ppté des segments emboités, ça ressemble beaucoup à R :
Toute suite de Cauchy y a une limite :
Preuve :
Soit z(n) une telle suite, et supposons qu'elle n'a pas de limite.
Colorons en bleu un élément s'il est majoré (au sens large) par une infinité de termes de la suite.
Colorons en rouge un élément s'il est minoré par une infinité de termes de la suite.
Un élément ne peut recevoir les deux couleurs (sinon c'est une limite, ce n'est pas très dur à prouver)
Tout élément est coloré.
Les bleus sont inférieurs aux rouges.

De la suite z(n) est on extrait une suite infinie de bleus
et une suite infinie de rouges.
En les renumérotant on peut noter ces suites b(n) et r(n).

On extrait de b(n) une sous-suite croissante (c'est possible par définition des bleus)
On extrait de r(n) une sous-suite décroissante (c'ets possible par définition des rouges)

On a alors des segments [b(n),r(n)] emboités. ...
il n'ya qu'un élément dans l'intersection, c'est la limite cherchée.

Dans K on retrouve les entiers positifs : ce sont les éléments de la forme e+e+...+e
On retrouve donc Z et Q
On retrouve donc R (en définissant les réels comme les classes d'équivalences des suites de Cauchy)
Reste à voir que tout élément de K est limite d'une suite de Cauchy d'éléments de Q.
Mais cela est facile car, du fait que K est Archimédien, tout intervalle non réduit à un point contient un rationnel.

Finalement K est isomorphe à R

(Si on définit R par les coupure dans les rationnels, on peut adapter le même raisonnement et obtenir la même conclusion)

Cela fournit une autre preuve de l'exercice :
Tout corps ordonné archimédien avec la propriété des segment emboités est isomorphe à R, et donc a la propriété de la borne supérieure !

#3 Re : Entraide (collège-lycée) » Problème Arithmétique » 01-12-2005 14:01:20

(3²)" - 2" = x mod 7
Quel est la signification des signes " ?

#4 Re : Entraide (supérieur) » algèbre élémentaire éléments irréductibles » 01-12-2005 13:55:15

Prouver par récurrence revient toujours à raisonner par l'absurde en appliquant
le théorème (en fait c'est un axiome) suivant :
Tout ensemble d'entiers qui est non vide a un plus petit élément.
(cette forme du principe de récurrence s'appelle le principe de descente infinie)

Dans ton cas : les carrés des modules des nombres considérés sont des entiers.

On considère l'ensemble C des contre-exemples possibles (à ce qu'on veut démontrer
(un contre-exemple est ici un nombre de M autre que 0 et qui n'est pas un produits fini d'irréductibles)
On suppose C non vide : Les carrés des modules des nombres de C forme donc un ensemble non vide d'entiers, appelons-le E. E a un plus petit élément e.
e  est le carré d'un module d'un nombre c de C
Ce nombre c n'est pas  irréductible dans M (puisque c'est un contre-exemple)
donc c est  le produit de deux nombres non nuls de M , c' et c"
Le module d'un produit  est le produit des modules
Donc e est le produit de deux entiers e' et e" , qui sont les carrés des modules de c' et c"
e' et e" sont supérieurs à 1 (car 1 et -1 sont les seuls éléments de M de module 1) donc inférieurs à e
Donc ni e' ni e" ne sont dans E : les nombres c' et c" ne sont pas des contre-exemples.
Chacun d'eux est un produit fini d'irréductibles. Donc c lui-même est un produit fini d'irréductible.
Donc c  n'est pas un contre-exemple.
Cette contradiction prouve que l' hypothèse "C non vide" est fausse
CQFD

#5 Re : Café mathématique » lR est dénombrable par lN » 01-12-2005 13:02:46

renouve a écrit :

Si vous ne me croyer toujours pas, écrivé moi votre opinion et je vous répondré. De toutes manière j'ai plein d'autres preuves.

réponse : Une preuve suffit, a condition qu'elle en soit une !

Tu dis :
" Dans notre systeme de notation décimal des nombre réels, avec un chiffre on peut fournir dix valeur. Et à cause des nombre négatif il faut doubler cette valeur. Combien y a t-il de chiffre au maximum pour écrire un nombre réel ? ¥ avant la virgule et ¥ après la virgule. Donc 2¥. Avec 2¥ chiffre ont peut fournir 2¥*10*2 valeur, donc 40¥. Est -ce que 40¥ est de même type que ¥ ? Oui, c'est réprésentable par 40 ligne pointillé. Alors l'ensemble lR est dénombralble car sont Cardinal est de type ¥."

Réponse : Avec 2¥ chiffres on peut fournir (10 puissance 2¥) valeurs : c'est bien là la grande différence !!
Ce qu'a prouvé Cantor c'est que quelque soit l'ensemble E de  cardinal x , un ensemble de cardinal (2 puissance x) ne peut pas être mis en bijection avec E.

En particulier si Aleph0 désigne le cardinal de l'ensemble N des entiers naturels, il n'y a pas de bijection entre N et l'ensemble SI des suites infinies de 0 et de 1.
Par contre (et ton idée de preuve marchera pour cela), il y a bijection entre N et l'ensemble SF des suites finies de 0 et de 1

#6 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » les suites! » 01-12-2005 12:28:21

Manu918 a écrit :

svp, j'ai besoin d'aide pour mes trois dernieres questions :
1. trouver une suite divergente qui ne tend pas vers + ou - oo

- a) On prend n'importe quelle suite divergente
- b) On intercalle une infinité de 0, n'importe où dans la suite précédente

2. trouver une suite non bornée qui ne diverge pas vers + ou - oo
"diverger vers" ?? il vaut mieux dire "tendre vers".
- a) On prend n'importe quelle suite qui tend vers + oo (ou vers -oo) 
- b) On intercalle une infinité de 0, n'importe où dans la suite précédente

3. trouver une suite convergente qui n'est pas monotone

- a) On prend n'importe quelle suite positive convergent vers 0
- b) On change de signe une terme sur deux .

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